初中数学动点问题专题

中考动点专项所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一种或多种动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决此类问题的核心是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.核心:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想注重对几何图形运动变化能力的考察从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和措施，来摸索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗入空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历摸索的过程，以能力立意，考察学生的自主探究能力，增进培养学生解决问题的能力图形在动点的运动过程中观测图形的变化状况，需要理解图形在不同位置的状况，才干做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐渐转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容涉及空间观念、应用意识、推理能力等从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有助于我们教师在教学中研究对策，把握方向只的这样，才干更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程原则的导向本文拟就压轴题的题型背景和辨别度测量点的存在性和辨别度小题解决手法提出自己的观点专项一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一种点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们如何建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式例1(·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一种动点P,PHOA,垂足为H,OPH的重心为G.(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH,GP,求有关的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量的取值范畴).HMNGPOAB图1(3)如果PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=NH=OP=2.(2)在RtPOH中, , .在RtMPH中,.=GP=MP= (0<<6).(3)PGH是等腰三角形有三种也许状况:GP=PH时,解得. 经检查, 是原方程的根,且符合题意.GP=GH时, ,解得. 经检查, 是原方程的根,但不符合题意.PH=GH时,.综上所述,如果PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为或2.二、应用比例式建立函数解析式 例2（·山东）如图2,在ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=CE=. (1)如果BAC=30°,DAE=105°,试拟定与之间的函数解析式； AEDCB图2 (2)如果BAC的度数为,DAE的度数为,当,满足如何的关系式时,(1)中与之间的函数解析式还成立?试阐明理由.解:(1)在ABC中,AB=AC,BAC=30°, ABC=ACB=75°, ABD=ACE=105°.BAC=30°,DAE=105°, DAB+CAE=75°, 又DAB+ADB=ABC=75°, CAE=ADB, ADBEAC, , , .OFPDEACB3(1)(2)由于DAB+CAE=,又DAB+ADB=ABC=,且函数关系式成立,=, 整顿得.当时,函数解析式成立.例3(·上海)如图3(1),在ABC中,ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O是边AC上的一种动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EPED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.PDEACB3(2)OF(1)求证: ADEAEP.(2)设OA=,AP=,求有关的函数解析式,并写出它的定义域. (3)当BF=1时,求线段AP的长.解:(1)连结OD.根据题意,得ODAB,ODA=90°,ODA=DEP.又由OD=OE,得ODE=OED.ADE=AEP, ADEAEP.(2)ABC=90°,AB=4,BC=3, AC=5. ABC=ADO=90°, ODBC, ,OD=,AD=. AE=. ADEAEP, , . ().(3)当BF=1时， 若EP交线段CB的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.ADE=AEP, PDE=PEC. FBP=DEP=90°, FPB=DPE,F=PDE, F=FEC, CF=CE. 5-=4,得.可求得,即AP=2.若EP交线段CB于点F,如图3(2), 则CF=2.类似,可得CF=CE.5-=2,得.可求得,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP的长为2或6. 动点三、应用求图形面积的措施建立函数关系式ABCO图8H例4（·上海）如图,在ABC中,BAC=90°,AB=AC=,A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重叠),设BO=,AOC的面积为.(1)求有关的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当O与A相切时,AOC的面积.解:(1)过点A作AHBC,垂足为H.BAC=90°,AB=AC=, BC=4,AH=BC=2. OC=4-., ().(2)当O与A外切时,在RtAOH中,OA=,OH=, . 解得.此时,AOC的面积=.当O与A内切时,在RtAOH中,OA=,OH=, . 解得.此时,AOC的面积=.综上所述,当O与A相切时,AOC的面积为或.专项二：动态几何型压轴题动态几何特点-问题背景是特殊图形，考察问题也是特殊图形，因此要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题始终是中考热点，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常用题型作简朴简介，解题措施、核心给以点拨。一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题1（徐汇区）如图，中，点在边上，且，以点为顶点作，分别交边于点，交射线于点（1）当时，求的长； （2）当以点为圆心长为半径的和以点为圆心长为半径的相切时，求的长； （3）当以边为直径的与线段相切时，求的长 题型背景和辨别度测量点本题改编自新教材九上相似形24.5(4)例六,典型的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基本上改编出第一小题,当E点在AB边上运动时，渗入入圆与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题辨别度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而运用方程思想来求解辨别度性小题解决手法1直线与圆的相切的存在性的解决措施：运用d=r建立方程2圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的解决措施：运用d=R±r()建立方程3解题的核心是用含的代数式表达出有关的线段. 略解解：（1） 证明 ，代入数据得，AF=2（2）设BE=,则运用（1）的措施， 相切时分外切和内切两种状况考虑： 外切，；内切，当和相切时，的长为或（3）当以边为直径的与线段相切时，类题 一种动点：09杨浦25题（四月、五月）、09静安25题、 两个动点：09闸北25题、09松江25题、09卢湾25题、09青浦25题（二）线动问题在矩形ABCD中，AB3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E.(1)若直线l过点B，把ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A重叠，求BC的长；ABCDEOlA(2)若直线l与AB相交于点F，且AOAC，设AD的长为，五边形BCDEF的面积为S.求S有关的函数关系式，并指出的取值范畴；摸索：与否存在这样的，以A为圆心，以长为半径的圆与直线l相切，若存在，祈求出的值；若不存在，请阐明理由题型背景和辨别度测量点ABCDEOlF本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等有关知识编制得到第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线沿AB边向上平移时，探求面积函数解析式为辨别测量点一、加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了辨别度测量点二辨别度性小题解决手法1找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法2直线与圆的相切的存在性的解决措施：运用d=r建立方程3解题的核心是用含的代数式表达出有关的线段. 略解(1)A是矩形ABCD的对称中心ABAAACABAB，AB3AC6 (2)， ()若圆A与直线l相切，则，(舍去)，不存在这样的，使圆A与直线l相切类题09虹口25题（三）面动问题 如图，在中，、分别是边、上的两个动点（不与、重叠），且保持，觉得边，在点的异侧作正方形.（1）试求的面积；（2）当边与重叠时，求正方形的边长；（3）设，与正方形重叠部分的面积为，试求有关的函数关系式，并写出定义域；（4）当是等腰三角形时，请直接写出的长 题型背景和辨别度测量点本题改编自新教材九上相似形24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度，在原题的基本上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D点在AB边上运动时，正方形整体动起来，GF边落在BC边上时，正好和教材中的例题相应，可以说是相似三角形相应的小高比大高=相应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设立辨别测量点一，用等腰三角形的存在性来设立辨别测量点二 辨别度性小题解决手法1找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的核心，如上图3-1、3-2重叠部分分别为正方形和矩形涉及两种状况2对的的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3、3-4、3-5用方程思想解决3解题的核心是用含的代数式表达出有关的线段. 略解解：（1）.（2）令此时正方形的边长为，则，解得.（3）当时， ，当时， . （4）.类题 改编自09奉贤3月考25题，将条件（2）“当点M、N分别在边BA、CA上时”,去掉，同步加到第（3）题中.ABFDEMNC已知：在ABC中，AB=AC，B=30º，BC=6，点D在边BC上，点E在线段DC上，DE=3，DEF是等边三角形，边DF、EF与边BA、CA分别相交于点M、N （1）求证：BDMCEN； （2）设BD=，ABC与DEF重叠部分的面积为，求有关的函数解析式，并写出定义域（3）当点M、N分别在边BA、CA上时,与否存在点D，使以M为圆心, BM为半径的圆与直线EF相切, 如果存在，祈求出x的值；如不存在，请阐明理由例1：已知O的弦AB的长等于O的半径，点C在O上变化（不与A、B）重叠，求ACB的大小 .分析：点C的变化与否影响ACB的大小的变化呢?我们不妨将点C变化一下,如何变化呢？也许在优弧AB上，也也许在劣弧AB上变化，显然这两者的成果不同样。那么，当点C在优弧AB上变化时，ACB所对的弧是劣弧AB，它的大小为劣弧AB的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结AO、BO，则由于AB=OA=OB，即三角形ABC为等边三角形，则AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：ACB=AOB=300，当点C在劣弧AB上变化时，ACB所对的弧是优弧AB，它的大小为优弧AB的一半，由AOB=600得，优弧AB的度数为3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：ACB=1500，因此，本题的答案有两个，分别为300或1500.反思：本题通过点C在圆上运动的不拟定性而引起成果的不唯一性。从而需要分类讨论。这样由点C的运动变化性而引起的分类讨论在解题中常常浮现。变式1：已知ABC是半径为2的圆内接三角形，若，求C的大小.本题与例1的区别只是AB与圆的半径的关系发生了某些变化,其解题措施与上面一致,在三角形AOB中,则,即,从而当点C在优弧AB上变化时，C所对的弧是劣弧AB，它的大小为劣弧AB的一半，即,当点C在劣弧AB上变化时，C所对的弧是优弧AB，它的大小为优弧AB的一半，由AOB=1200得，优弧AB的度数为3600-1200=2400，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：C=1200，因此或C=1200.变式2: 如图,半经为1的半圆O上有两个动点A、B，若AB=1，判断AOB的大小与否会随点A、B的变化而变化，若变化，求出变化范畴，若不变化，求出它的值。四边形ABCD的面积的最大值。解：（1）由于AB=OA=OB，因此三角形AOB为等边三角形，则AOB=600，即AOB的大小不会随点A、B的变化而变化。（2）四边形ABCD的面积由三个三角形构成，其中三角形AOB的面积为，而三角形AOD与三角形BOC的面积之和为，又由梯形的中位线定理得三角形AOD与三角形BOC的面积之和，要四边形ABCD的面积最大，只需EH最大，显然EHOE=，当ABCD时，EH=OE，因此四边形ABCD的面积最大值为+=.对于本题同窗们还可以继续思考:四边形ABCD的周长的变化范畴.变式3: 如图,有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块.三角形的两个顶点分别为A、B，另一种顶点C在半圆上，问如何截取才干使截出的三角形的面积最大？规定阐明理由（广州市考题） 分析：要使三角形ABC的面积最大，而三角形ABC的底边AB为圆的直径为常量，只需AB边上的高最大即可。过点C作CDAB于点D，连结CO，由于CDCO，当O与D重叠，CD=CO，因此，当CO与AB垂直时，即C为半圆弧的中点时，其三角形ABC的面积最大。本题也可以先猜想，点C为半圆弧的中点时，三角形ABC的面积最大，故只需另选一种位置C1（不与C重叠），证明三角形ABC的面积不小于三角形ABC1的面积即可。如图显然三角形 ABC1的面积=AB×C1D，而C1D< C1O=CO,则三角形 ABC1的面积=AB×C1D<AB×C1O=三角形 ABC的面积,因此,对于除点C外的任意点C1,均有三角形 ABC1的面积不不小于三角形三角形 ABC的面积,故点C为半圆中点时,三角形ABC面积最大.本题还可研究三角形ABC的周长何时最大的问题。提示：运用周长与面积之间的关系。要三角形ABC的周长最大，AB为常数，只需AC+BC最大，而（AC+BC）2=AC2+CB2+2AC×BC=AB2+4×ABC的面积，因此ABC的面积最大时，AC+BC最大，从而ABC的周长最大。从以上一道题及其三个变式的研究我们不难发现,解决动态几何问题的常用措施有:一、 特殊探路，一般推证例2：（广州市中考题第11题）如图，O1和O2内切于A，O1的半径为3，O2的半径为2，点P为O1上的任一点（与点A不重叠），直线PA交O2于点C，PB切O2于点B，则的值为（A） （B） （C） （D）分析：本题是一道选择题，给出四个答案有且只有一种是对的的，因此可以取一种特殊位置进行研究，当点P满足PBAB时，可以通过计算得出PB=BC×AP=BP×AB，因此 BC=， 在三角形BPC中，PC=，因此，=选（B）固然，本题还可以根据三角形相似得，即可计算出结论。作为一道选择题，到此已经完毕，但如果是一道解答题，我们得出的结论只是一种特殊状况，还要进一步证明对一般状况也成立。例3：如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=4，OABC于O,点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重叠，点E不与B、A重叠。判断OEF的形状，并加以证明。判断四边形AEOF的面积与否随点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范畴，若不变化，求它的值. AEF的面积与否随着点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范畴，若不变化，求它的值。分析：本题结论很难发现，先从特殊状况入手。最特殊状况为E、F分别为AB、AC中点，显然有EOF为等腰直角三角形。还可发现当点E与A无限接近时，点F与点C无限接近，此时EOF无限接近AOC，而AOC为等腰直角三角形，几种特殊状况都可以得出EOF为等腰直角三角形。一般状况下成立吗？OE与OF相等吗？EOF为直角吗？能否证明。如果它们成立，便可以推出三角形OFC与三角形OEA全等，一般状况下这两个三角形全等吗？不难从题目的条件可得：OA=OC，OCF=OAE，而AE=CF，则OEAOFC，则OE=OF，且FOC=EOA，因此EOF=EOA+AOF=FOC+FOA=900，则EOF为直角，故EOF为等腰直角三角形。二、 动手实践，操作确认例4（广州市中考试题）在O中，C为弧AB的中点，D为弧AC上任一点（与A、C不重叠），则（A）AC+CB=AD+DB (B) AC+CB<AD+DB (C) AC+CB>AD+DB (D) AC+CB与AD+DB的大小关系不拟定分析:本题可以通过动手操作一下,度量AC、CB、AD、DB的长度，可以尝试换几种位置量一量，得出结论（C）例5：如图，过两同心圆的小圆上任一点C分别作小圆的直径CA和非直径的弦CD，延长CA和CD与大圆分别交于点B、E，则下列结论中对的的是（ * ） （A） （B） （C）（D）的大小不拟定分析：本题可以通过度量的措施进行，选（B）本题也可以可以证明得出结论，连结DO、EO，则在三角形OED中，由于两边之差不不小于第三边，则OEOD<DE,即OBOA<DE,因此,即三、 建立联系，计算阐明例6：如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为 .分析：能否将DN和NM进行转化，与建立三角形两边之和不小于第三边等问题，很自然地想到轴对称问题，由于ABCD为正方形，因此连结BN，显然有ND=NB，则问题就转化为BN+NM的最小值问题了，一般状况下：BN+NMBM,只有在B、N、M三点共线时，BN+NM=BM，因此DN+MN的最小值为BM=本题通过建立平面上三个点中构成的三角形中的两边之和不小于第三边及共线时的两边之和等于第三边的特殊状况求最小值，最后通过勾股定理计算得出结论。例7：如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=4，OABC于O,点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重叠，点E不与B、A重叠。判断四边形AEOF的面积与否随点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范畴，若不变化，求它的值. AEF的面积与否随着点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范畴，若不变化，求它的值。（即例3的第2、第3问）分析：(2)本题的措施诸多，其一，可以建立四边形AEOF与AE长的函数关系式，如设AE=x，则AF=，而三角形AOB的面积与三角形AOE的面积之比=，而三角形AOB的面积=，则三角形AOE的面积=，同理三角形AOF的面积=，因此四边形AEOF的面积=；即AEOF的面积不会随点E、F的变化而变化，是一种定值，且为2. 固然，本题也可以这样思考，由于三角形AOE与三角形COF全等，则四边形AEOF的面积与三角形AOC的面积相等，而AOC的面积为2，因此AEOF的面积不会随点E、F的变化而变化，是一种定值，且为2. 本题通过建立函数关系或有关图形之间的关系,然后通过简朴的计算得出结论的措施应用比较广泛. 第(3)问,也可以通过建立函数关系求得, AEF的面积=,又的变化范畴为,由二次函数知识得AEF的面积的范畴为:AEF的面积.本题也可以根据三角形AEF与三角形OEF的面积关系拟定AEF的面积范畴:不难证明AEF的面积OEF的面积，它们公用边EF，取EF的中点H，显然由于OEF为等腰直角三角形，则OHEF，作AGEF，显然AGAH=AG（=），因此AEF的面积OEF的面积，而它们的和为2，因此AEF的面积.本题包容的内涵十分丰富，还可以提出诸多问题研究：例如，比较线段EF与AO长度大小等（可以通过A、E、O、F四点在以EF为直径的圆上得出诸多结论）例8：如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果、同步出发，用t秒表达移动的时间（0 t 6），那么：（1）当t为什么值时，三角形QAP为等腰三角形？（2）求四边形QAPC的面积，提出一种与计算成果有关的结论；（3）当t为什么值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似？分析：（1）当三角形QAP为等腰三角形时，由于A为直角，只能是AQ=AP，建立等量关系，即时，三角形QAP为等腰三角形；（2）四边形QAPC的面积=ABCD的面积三角形QDC的面积三角形PBC的面积=36，即当P、Q运动时，四边形QAPC的面积不变。（3）显然有两种状况：PAQABC，QAPABC，由相似关系得或，解之得或建立关系求解，涉及的内容多，可以是函数关系，可以是方程组或不等式等，通过解方程、或函数的最大值最小值，自变量的取值范畴等方面来解决问题；也可以是通过某些几何上的关系，描述图形的特性，如全等、相似、共圆等方面的知识求解。作为训练同窗们可以综合上述措施求解：练习1：广州市中考压轴题（全卷得分最低的一道）已知ABC为直角三角形，AC=5，BC=12，ACB为直角，P是AB边上的动点（与点A、B不重叠），Q是BC边上动点（与点B、C不重叠）第 I 条 如图，当PQAC，且Q为BC的中点，求线段CP的长。当PQ与AC不平行时，CPQ也许为直角三角形吗？若有也许，求出线段CQ的长的取值范畴；若不也许，请阐明理由。第1问很易得出P为AB中点，则CP=第2问：如果CPQ为直角三角形，由于PQ与AC不平行，则Q不也许为直角又点P不与A重叠，则PCQ也不也许为直角，只能是CPQ为直角，即以CQ为直径的圆与AB有交点，设CQ=2x，CQ的中点D到AB的距离DM不不小于CD，即，因此，由，即，而，故，亦即时，CPQ也许为直角三角形。固然尚有其他措施。同窗们可以继续研究。练习2：（广东省中考试题最后一题）在RtABC中，ABAC，BAC90°，O为BC的中点，（1）写出点O到ABC的三个顶点 A、B、C距离的大小关系。（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持ANBM，请判断OMN的形状，并证明你的结论。该题与例3类似，同窗们可以仿本大类习题的共性：1代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考察;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数2以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊状况下的函数值专项三：双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它重要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多种知识点为一体，集多种解题思想于一题. 此类题综合性强，能力规定高，它能全面的考察学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏.1 以双动点为载体，探求函数图象问题 例1 (杭州市)在直角梯形ABCD中，C=90°，高CD=6cm(如图1). 动点P，Q同步从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s. 而当点P达到点A时，点Q正好达到点C. 设P，Q同步从点B出发，通过的时间为t(s)时，BPQ的面积为y(cm)2(如图2). 分别以t，y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN. (1)分别求出梯形中BA，AD的长度； (2)写出图3中M，N两点的坐标； (3)分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式(注明自变量的取值范畴)，并在图3中补全整个运动中y有关x的函数关系的大体图象. 评析 本题将点的运动过程中形成的函数解析式与其相应的函数图象有机的结合在一起，两者相辅相成，给人以清新、淡雅之感. 本题彰显数形结合、分类讨论、函数建模与参数思想在解题过程中的灵活运用. 解决本题的核心是从函数图象中拟定线段AB、梯形的高与t的函数关系式，建立起y与t的函数关系式，进而根据函数关系式补充函数图象. 2 以双动点为载体，探求结论开放性问题 例2 (泰州市)如图5，RtABC中，B=90°，CAB=30°.它的顶点A的坐标为(10，0)，顶点B的坐标为(5，53)，AB=10，点P从点A出发，沿ABC的方向匀速运动，同步点Q从点D(0，2)出发，沿y轴正方向以相似速度运动，当点P达到点C时，两点同步停止运动，设运动的时间为t秒. (1)求BAO的度数. (2)当点P在AB上运动时，OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分，(如图6)，求点P的运动速度. (3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标. (4)如果点P，Q保持(2)中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，OPQ的大小随着时间t的增大而减小，当点P沿这两边运动时，使OPQ=90°的点P有几种?请阐明理由. 解 (1)BAO=60°. (2)点P的运动速度为2个单位/秒. 评析 本题是以双点运动构建的集函数、开放、最值问题于一体的综合题. 试题有难度、有梯度也有辨别度，是一道具有较好的选拔功能的好题. 解决本题的核心是从图象中获取P的速度为2，然后建立S与t的函数关系式，运用函数的性质解得问题(3).本题的难点是题(4)，考生要从题目的信息中拟定建立以B为直角顶点的三角形，以B为临界点进行分类讨论，进而拟定点的个数问题. 3 以双动点为载体，探求存在性问题 例3 (扬州市)如图8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).动点M，N同步从B点出发，分别沿BA，BC运动，速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q.当点N达到终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒. (1)若a=4厘米，t=1秒，则PM=厘米； (2)若a=5厘米，求时间t，使PNBPAD，并求出它们的相似比； (3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范畴； (4)与否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等?若存在，求a的值；若不存在，请阐明理由. 评析 本题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题.试题由浅入深、层层递进，将几何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考察，本题的难点重要是题(3)，解决此题的核心是运用相似三角形的性质用t的代数式表达PM，进而运用梯形面积相等列等式求出t与a的函数关系式，再运用t的范畴拟定的a取值范畴. 第(4)小题是题(3)结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，要有全局观念以及对问题的整体把握. 4 以双动点为载体，探求函数最值问题 例4 (吉林省)如图9，在边长为82cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、C同步出发，沿对角线以1cm/s的相似速度运动，过E作EH垂直AC交RtACD的直角边于H；过F作FG垂直AC交RtACD的直角边于G，连结HG、EB.设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S1，AE、EB、BA围成的图形面积为S2(这里规定：线段的面积为0).E达到C，F达到A停止.若E的运动时间为x(s)，解答下列问题： (1)当0<X(2)若y是S1与S2的和，求y与x之间的函数关系式； (图10为备用图) 求y的最大值. 解 (1)以E、F、G、H为顶点的四边形是矩形，由于正方形ABCD的边长为82，因此AC=16，过B作BOAC于O，则OB=89，由于AE=x，因此S2=4x，由于HE=AE=x，EF=16-2x，因此S1=x(16-2x)， 当S1=S2时， 4x=x(16-2x)，解得x1=0(舍去)，x2=6，因此当x=6时， S1=S2. (2)当0x<8时，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x， 当8x16时，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16-x)=2x-16， 因此S1=(16-x)(2x-16)， 因此y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256. 当0x<8时，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，因此当x=5时，y的最大值为50. 当8x16时，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82， 因此当x=13时，y的最大值为82. 综上可得，y的最大值为82. 评析 本题是以双动点为载体，正方形为背景创设的函数最值问题.规定学生认真读题、领略题意、画出不同状况下的图形，根据图形建立时间变量与其他有关变量的关系式，进而构建面积的函数体现式. 本题在知识点上侧重对二次函数最值问题的考察，规定学生有夯实的基本知识、灵活的解题措施、良好的思维品质；在解题思想上着重对数形结合思想、分类讨论思想、数学建模等思想的灵活运用. 专项四：函数中因动点产生的相似三角形问题 例题 如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且通过原点O，与x轴的另一种交点为B。求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为）若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上与否存在点P，使得OBP与OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，阐明理由。例1题图图1图2分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种状况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形与否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的也许相应边分类讨论。 或运用已知三角形中相应角，在未知三角形中运用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表达各边的长度，之后运用相似来列方程求解。 练习1、已知抛物线通过及原点（1）求抛物线的解析式（由一般式得抛物线的解析式为）（2）过点作平行于轴的直线交轴于点，在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上，任取一点，过点作直线平行于轴交轴于点，交直线于点，直线与直线及两坐标轴围成矩形与否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，阐明理由（3）如果符合（2）中的点在轴的上方，连结，矩形内的四个三角形之间存在如何的关系？为什么？练习2、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。已知折叠，且。（1）判断与与否相似？请阐明理由；（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；（3）与否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请阐明理由。Oxy练习2图CBED练习3、在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和（1）求此二次函数的体现式；（由一般式得抛物线的解析式为）（2）若直线与线段交于点（不与点重叠），则与否存在这样的直线，使得觉得顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数体现式及点的坐标；若不存在，请阐明理由；CBA练习4图PyyCxBA练习3图（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重叠的任意一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范畴O练习4 (广东湛江市) 如图所示，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C（1）求A、B、C三点的坐标（2）过点A作APCB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积（3）在轴上方的抛物线上与否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似若存在，祈求出M点的坐标；否则，请阐明理由练习5、已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，点的坐标分别为，ACOBxy（1）求过点的直线的函数体现式；点，（2）在轴上找一点，连接，使得与相似（不涉及全等），并求点的坐标；（3）在（2）的条件下，如分别是和上的动点，连接，设，问与否存在这样的使得与相似，如存在，祈求出的值；如不存在，请阐明理由参照答案例题、解:由题意可设抛物线的解析式为抛物线过原点，.图1抛物线的解析式为,即 如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CDOB,由得,B(4,0),OB4.D点的横坐标为6 将x6代入,得y3,D(6,3); 图2根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(2,3), 当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1)如图2，由抛物线的对称性可知:AOAB,AOBABO.若BOP与AOB相似,必须有POBBOABPO 设OP交抛物线的对称轴于A点,显然A(2,1)直线OP的解析式为 由,得.P(6,3)过P作PEx轴,在RtBEP中,BE2,PE3,PB4.PBOB,BOPBPO,PBO与BAO不相似, 同理可阐明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.因此在该抛物线上不存在点P,使得BOP与AOB相似. 练习1、解：（1）由已知可得： 解之得，因而得，抛物线的解析式为：（2）存在设点的坐标为，则，要使，则有，即解之得，当时，即为点，因此得要使，则有，即Oxy图1CBED312A解之得，当时，即为点，当时，因此得故存在两个点使得与相似点的坐标为（3）在中，由于因此当点的坐标为时，因此因此，都是直角三角形又在中，由于因此即有因此，图2OxyCBEDPMGlNAF又由于，因此练习2解：（1）与相似。理由如下：由折叠知，又，。（2），设AE=3t，则AD=4t。由勾股定理得DE=5t。由（1），得，。在中，解得t=1。OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8），点E的坐标为（10，3），设直线CE的解析式为y=kx+b，解得，则点P的坐标为（16，0）。（3）满足条件的直线l有2条：y=2x+12，y=2x12。如图2：精确画出两条直线。练习3解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点和，由解得此二次函数的体现式为（2）假设存在直线与线段交于点（不与点重叠），使得觉得顶点的三角形与相似yxBEAOCD在中，令，则由，解得令，得设过点的直线交于点，过点作轴于点点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为要使或，已有，则只需，或成立若是，则有而在中，由勾股定理，得解得（负值舍去）点的坐标为将点的坐标代入中，求得满足条件的直线的函数体现式为或求出直线的函数体现式为，则与直线平行的直线的函数体现式为此时易知，再求出直线的函数体现式为联立求得点的坐标为若是，则有而在中，由勾股定理，得解得（负值舍去）点的坐标为将点的坐标代入中，求得满足条件的直线的函数体现式为存在直线或与线段交于点（不与点重叠），使得觉得顶点的三角形与相似，且点的坐标分别为或（3）设过点的直线与该二次函数的图象交于点将点的坐标代入中，求得此直线的函数体现式为设点的坐标为，并代入，得xBEAOCP·解得（不合题意，舍去）点的坐标为此时，锐角又二次函数的对称轴为，点有关对称轴对称的点的坐标为当时，锐角；图1CPByA当时，锐角；当时，锐角练习四解：（1）令，得 解得令，得 A B C （2）OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=APCB， PAB=过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形令OE=，则PE= PGM图2CByPA点P在抛物线上 解得，（不合题意，舍去）PE=四边形ACBP的面积=ABOC+ABPE=(3) 假设存在PAB=BAC = PAACMG轴于点G， MGA=PAC =在RtAOC中，OA=OC= AC=在RtPAE中，AE=PE= AP= 设M点的横坐标为，则M 点M在轴左侧时，则() 当AMG PCA时，有=GM图3CByPAAG=，MG=即 解得（舍去） （舍去）() 当MAG PCA时有=即 解得：（舍去） M 点M在轴右侧时，则 () 当AMG PCA时有=AG=，MG= 解得（舍去） M () 当MAGPCA时有= 即 解得：（舍去） M存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似M点的坐标为，练习5、解：（1）点，点坐标为设过点的直线的函数体现式为，图1由 得，直线的函数体现式为（2）如图1，过点作，交轴于点，在和中， ，点为所求又，（3）这样的存在图2在中，由勾股定理得如图1，当时，则，解得如图2，当时，则，解得例1(福建福州)如图，已知ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同步从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q达到点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t2时，判断BPQ的形状，并阐明理由；（2）设BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR/BA交AC于点R，连结PR，当t为什么值时，APRPRQ？分析:由t2求出BP与BQ的长度,从而可得BPQ的形状;作QEBP于点E,将PB,QE用t表达,由=×BP×QE可得S与t的函数关系式;先证得四边形EPRQ为平行四边形,得PR=QE,再由APRPRQ,相应边成比例列方程,从而t值可求.解:(1)BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,因此BP=AB-AP=6-2=4,即BQ=BP.又由于B=600,因此BPQ是等边三角形.(2)过Q作QEAB,垂足为E,由QB=2t,得QE=2t·sin600=t,由AP=t,得PB=6-t,因此=×BP×QE=(6-t)×t=t2+3t；(3)由于QRBA,因此QRC=A=600，RQC=B=600，又由于C=600,因此QRC是等边三角形,这时BQ=2t,因此QR=RC=QC=6-2t.由于BE=BQ·cos600=×2t=t,AP=t,因此EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,因此EP=QR,又EPQR,因此四边形EPRQ是平行四边形,因此PR=EQ=t,由APRPRQ,得到,即,解得t=,因此当t=时, APRPRQ.点评: 本题是双动点问题.动态问题是近几年来中考数学的热点题型.此类试题信息量大,对同窗们获取信息和解决信息的能力规定较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观测和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.例2(浙江温州)如图，在中，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于，当点与点重叠时，点停止运动设，（1）求点到的距离的长；（2）求有关的函数关系式（不规定写出自变量的取值范畴）；（3）与否存在点，使为等腰三角形？若存在，祈求出所有满足规定的的值；若不存在，请阐明理由 分析:由BHDBAC,可得DH;由RQCABC,可得有关的函数关系式;由腰相等列方程可得的值;注意需分类讨论.解：（1），点为中点，（2），即有关的函数关系式为：（3）存在.按腰相等分三种状况：ABCDERPHQM21当时，过点作于，则，ABCDERPHQ，当时，当时，则为中垂线上的点，于是点为的中点，综上所述，当为或6或时，为等腰三角形点评:建立函数关系式,实质就是把函数y用含自变量x的代数式表达;规定使为等腰三角形的的值,可假设为等腰三角形,找到等量关系,列出方程求解,由于题设中没有指明等腰三角形的腰,故还须分类讨论.五、以圆为载体的动点问题 动点问题是初中数学的一种难点，中考常常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，运用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题措施巧妙，耐人寻味。 例1. 在中，AC5，BC12，ACB90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重叠），Q是BC边上的动点（与点B、C不重叠），当PQ与AC不平行时，CPQ也许为直角三角形吗？若有也许，祈求出线段CQ的长的取值范畴；若不也许，请阐明理由。（广州市中考） 分析：不管P、Q如何运动，PCQ都不不小于ACB即不不小于90°，又由于PQ与AC不平行，因此PQC不等于90°，因此只有CPQ为直角，CPQ才也许是直角三角形，而要判断CPQ与否为直角三角形，只需构造以CQ为直径的圆，根据直径所对的圆周角为直角，若AB边上的动点P在圆上，CPQ就为直角，否则CPQ就不也许为直角。 以CQ为直径做半圆D。 当半圆D与AB相切时，设切点为M，连结DM，则 DMAB，且ACAM5 因此 设，则 在中，即 解得：，因此 即当且点P运动到切点M的位置时，CPQ为直角三角形。 当时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，CPQ为直角三角形。 当时，半圆D与直线AB相离，即点P在半圆D之外，0CPQ90°，此时，CPQ不也许为直角三角形。 因此，当时，CPQ也许为直角三角形。 例2. 如图2，