余弦定理证明过程(精选多篇)

余弦定理证明过程目录第一篇：余弦定理证明过程第二篇：余弦定理证明过程第三篇：余弦定理证明第四篇：余弦定理的证明方法第五篇：余弦定理的多种证明正文第一篇：余弦定理证明过程在abc中，设bca，acb，abc，试根据b，c，a来表示a。 分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作cd垂直于ab于d，那么在rtbdc中，边a可利用勾股定理用c、b表示，而cd可在rtac中利用边角关系表示，db可利用abad转化为ad，进而在rtac内求解。解：过c作cdab，垂足为d，则在rtcb中，根据勾股定理可得： a2c2b2在rtac中，c2b2a2又b2（ca）2c22caa2a2b2a2c22caa2b2c22ca 又在rtac中，adbcosa a2b2c22bccosa类似地可以证明b2a2c22accosb，c2a2b22abcosc第二篇：余弦定理证明过程余弦定理证明过程ma=(c2+(a/2)2-ac*cosb)=(1/2)(4c2+a2-4ac*cosb)由b2=a2+c2-2ac*cosb得，4ac*cosb=2a2+2c2-2b2，代入上述ma表达式：ma=(1/2)=(1/2)(2b2+2c2-a2)证毕。2在任意abc中,作adbc.c对边为c，b对边为b，a对边为a->bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c勾股定理可知：ac=ad+dcb=(sinb*c)+(a-cosb*c)b=sinb*c+a+cosb*c-2ac*cosbb=(sinb+cosb)*c-2ac*cosb+ab=c+a-2ac*cosb所以，cosb=(c+a-b)/2ac2如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(ccosa，csina).cb=(ccosa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，dac=-bca=-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(-c)，asin(-c)即d点坐标是(-acosc，asinc),ad=(-acosc，asinc)而ad=cb(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)asinc=csina-acosc=ccosa-b由得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，asina=bsinb=csinc.由得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由可得a2sin2c=c2sin2aa2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:mb=(1/2)mc=(1/2)ma=(c2+(a/2)2-ac*cosb)=(1/2)(4c2+a2-4ac*cosb)由b2=a2+c2-2ac*cosb得，4ac*cosb=2a2+2c2-2b2，代入上述ma表达式：ma=(1/2)=(1/2)(2b2+2c2-a2)同理可得：mb=mc=4ma=(c2+(a/2)2-ac*cosb)=(1/2)(4c2+a2-4ac*cosb)由b2=a2+c2-2ac*cosb得，4ac*cosb=2a2+2c2-2b2，代入上述ma表达式：ma=(1/2)=(1/2)(2b2+2c2-a2)证毕。第三篇：余弦定理证明余弦定理证明在任意abc中,作adbc.c对边为c，b对边为b，a对边为a->bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c勾股定理可知：ac=ad+dcb=(sinb*c)+(a-cosb*c)b=sinb*c+a+cosb*c-2ac*cosbb=(sinb+cosb)*c-2ac*cosb+ab=c+a-2ac*cosb所以，cosb=(c+a-b)/2ac2如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(ccosa，csina).cb=(ccosa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，dac=-bca=-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(-c)，asin(-c)即d点坐标是(-acosc，asinc),ad=(-acosc，asinc)而ad=cb(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)asinc=csina-acosc=ccosa-b由得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，asina=bsinb=csinc.由得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由可得a2sin2c=c2sin2aa2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:mb=(1/2)mc=(1/2)ma=(c2+(a/2)2-ac*cosb)=(1/2)(4c2+a2-4ac*cosb)由b2=a2+c2-2ac*cosb得，4ac*cosb=2a2+2c2-2b2，代入上述ma表达式：ma=(1/2)=(1/2)(2b2+2c2-a2)同理可得：mb=mc=4ma=(c2+(a/2)2-ac*cosb)=(1/2)(4c2+a2-4ac*cosb)由b2=a2+c2-2ac*cosb得，4ac*cosb=2a2+2c2-2b2，代入上述ma表达式：ma=(1/2)=(1/2)(2b2+2c2-a2)证毕。第四篇：余弦定理的证明方法余弦定理的证明方法在abc中，ab=c、bc=a、(我们一定会做的更好：)ca=b则c2=a2+b2-2ab*cosca2=b2+c2-2bc*cosab2=a2+c2-2ac*cosb下面在锐角中证明第一个等式，在钝角中证明以此类推。过a作adbc于d，则bd+cd=a由勾股定理得：c2=(ad)2+(bd)2，(ad)2=b2-(cd)2所以c2=(ad)2-(cd)2+b2=(a-cd)2-(cd)2+b2=a2-2a*cd+(cd)2-(cd)2+b2=a2+b2-2a*cd因为cosc=cd/b所以cd=b*cosc所以c2=a2+b2-2ab*cosc在任意abc中,作adbc.c对边为c，b对边为b，a对边为a->bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c勾股定理可知：ac=ad+dcb=(sinb*c)+(a-cosb*c)b=sinb*c+a+cosb*c-2ac*cosbb=(sinb+cosb)*c-2ac*cosb+ab=c+a-2ac*cosb所以，cosb=(c+a-b)/2ac2如右图，在abc中，三内角a、b、c所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是(b，0)，由三角函数的定义得b点坐标是(ccosa，csina).cb=(ccosa-b，csina).现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，dac=-bca=-c，根据三角函数的定义知d点坐标是(acos(-c)，asin(-c)即d点坐标是(-acosc，asinc),ad=(-acosc，asinc)而ad=cb(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)asinc=csina-acosc=ccosa-b由得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，asina=bsinb=csinc.由得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由可得a2sin2c=c2sin2aa2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3abc的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为ma.mb,mc,应用余弦定理证明:mb=(1/2)mc=(1/2)ma=(c2+(a/2)2-ac*cosb)=(1/2)(4c2+a2-4ac*cosb)由b2=a2+c2-2ac*cosb得，4ac*cosb=2a2+2c2-2b2，代入上述ma表达式：ma=(1/2)=(1/2)(2b2+2c2-a2)同理可得：mb=mc=4ma=(c2+(a/2)2-ac*cosb)=(1/2)(4c2+a2-4ac*cosb)由b2=a2+c2-2ac*cosb得，4ac*cosb=2a2+2c2-2b2，代入上述ma表达式：ma=(1/2)=(1/2)(2b2+2c2-a2)证毕。第五篇：余弦定理的多种证明余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活对于任意三角形 三边为a,b,c 三角为a,b,c 满足性质a2=b2+c2-2*b*c*cosab2=a2+c2-2*a*c*cosbc2=a2+b2-2*a*b*cosccosc=(a2+b2-c2)/2abcosb=(a2+c2-b2)/2accosa=(c2+b2-a2)/2bc证明：如图：a=b-ca2=(b-c)2 （证明中前面所写的a,b,c皆为向量，2为平方）拆开即a2=b2+c2-2bc再拆开，得a2=b2+c2-2*b*c*cosa同理可证其他，而下面的cosa=(c2+b2-a2)/2bc就是将cosa移到右边表示一下。平面几何证法：在任意abc中做adbc.c所对的边为c，b所对的边为b，a所对的边为a则有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c根据勾股定理可得：ac2=ad2+dc2b2=(sinb*c)2+(a-cosb*c)2b2=sin2b*c2+a2+cos2b*c2-2ac*cosbb2=(sin2b+cos2b)*c2-2ac*cosb+a2b2=c2+a2-2ac*cosbcosb=(c2+a2-b2)/2ac从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角一定是直角,如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。 同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。好余弦定理及其证明怎么证明余弦定理余弦定理的三种证明正余弦定理推导过程用复数证明余弦定理第 11 页 共 11 页