复数讲义教师版

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date复数讲义-教师版复文教育 教学内容 一、知识要点【复数基本概念及运算性质】1.虚数单位: 它的平方等于-1，即 2. 与1的关系: 就是1的一个平方根，即方程x2=1的一个根，方程x2=1的另一个根是3. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 4.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、bR)是实数a；当b0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+dia=c，b=d注意两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小6. 复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、bR)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 虚轴上的点除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数7复数z1与z2的和与差的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.8. 复数的加法运算满足交换律与结合律9乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i. 两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数.10.乘法运算律： (1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3; (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.11.除法运算规则： (a+bi)÷(c+di)= i.（分母实数化）12. 复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量、，那么，以OP1、OP2为两边作平行四边形OP1SP2，对角线OS表示的向量就是z1+z2的和所对应的向量 13复数减法的几何意义：两个复数的差zz1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应14*.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。，15.复数的代数式运算技巧：（1）常用公式： （2）“1”的立方根的性质： 【实系数一元二次方程的根问题】已知是实系数一元二次方程的两个根，则：1）当时，方程有两个实根 。2）当时，方程有两个共轭虚根，其中 。此时有 且。两种题型： 1. 已知是实系数一元二次方程的两个根，求的方法：（1）当时，(2)当时， 2. 已知是实系数一元二次方程的两个根，求的方法：（1）当时，即，则 即，则 （2）当时，二、专题训练【真题演练】（06高考）若复数同时满足2，（为虚数单位），则 （07高考）已知是实系数一元二次方程的两根，则的值为 A、 B、 C、 D、【答案】A （04高考）已知复数满足, 其中为虚数单位, 若,求a的取值范围.【解】由题意得 z1=2+3i, 于是=,=. <,得,.（05高考）证明：在复数范围内，方程（为虚数单位）无解.证明原方程化简为设 、，代入上述方程得 将（2）代入（1），整理得无实数解，原方程在复数范围内无解.【强化训练】1（1）计算： 答案：（2）设复数z满足关系，求z；解：设z=a+bi（a,b为实数），由已知可得由复数相等可得：，解得，所以设z=a+bi-x+yi（a,b为实数）复数问题实数化。（3）若，解方程解：设x=a+bi (a,bR)代入条件得:,由复数相等的定义可得： ,a=4，b=3，x=4+3i。2.(1)复数z满足，则z对应的点在复平面内表示的图形为（A）A直线 B圆 C椭圆 D抛物线解：令z=x+yi（x，yR），则x2+(y+1)2x2+(y1)2=1，y=1/4。故选A。（2）设复数z满足：，求|z|的最大值与最小值；解：|z|的最大值为，最小值为；（3）已知zC，|z2|=1且复数z2对应的点落在直线y=x上，求z。解：设z2=a+ai，|z2|=1，或。3. 设且是纯虚数，求的最大值。 解：令z=x+yi（x，yR），则，是纯虚数，即，由数形结合可知本题是求圆上的点到A(0,1)的最大距离。max=|PA|=。 第 九 次课后作业 学生姓名： 一、（1）复数等于( ) A.1i B.1+i C.1+ i D.1i解析: 复数=，选C（2）若复数同时满足2，（为虚数单位），则 解：已知；（3）设a、b、c、dR，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是A.adbc=0 B.acbd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0解析：（1）复数=为实数，选D；（4）已知（ ）(A)1+2i (B) 12i (C)2+i (D)2i 解析：，由、是实数，得，故选择C。（5）设为实数，且，则 。解析：，而 所以，解得x1，y5，所以xy4。二、求满足条件:(i为虚数单位)的复数z 解原方程化简为, 设z=x+yi(x、yR),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i, x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±, 原方程的解是z=-±i.三、已知，对于任意的xR均有|z1|z2|成立,试求实数a的取值范围。解：|z1|z2|，对成立。当，即时，不等式成立；当时。综上得-