北京市丰台区高三二模数学理科含答案

北京市丰台区高三第二学期统一练习（二）数学（理科）第一部分（选择题 共40分）一 、选择题共8小题，每题5分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目规定的一项.1. 复数的虚部为（A）3 （B） （C）4 （D） 2. 设向量a=(x,1), b=(4,x),且a,b方向相反，则x的值是（A）2 （B）-2 （C） （D）03.展开式中的常数项是（A）6 （B）4 （C）-4 （D）-64. 已知数列an， 则“an为等差数列”是“a1+a3=2a2”的（A）充要条件 （B）必要而不充足条件（C）充足而不必要条件 （D）既不充足又不必要条件5. 下列四个函数中，最小正周期为，且图象有关直线对称的是（A） （B） （C） （D）6. 在平面区域内任取一点，若满足的概率不小于，则的取值范畴是（A） （B） （C） （D） 7. 用5,6,7,8,9构成没有反复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一种奇数数字的五位数的个数是(A) 18 (B) 36 (C) 54 (D) 728. 已知偶函数f(x)（xR），当时，f(x)=-x(2+x)，当时，f(x)=(x-2)(a-x)（）.有关偶函数f(x)的图象G和直线:y=m（）的3个命题如下： 当a=4时，存在直线与图象G恰有5个公共点； 若对于，直线与图象G的公共点不超过4个，则a2； ，使得直线与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等.其中对的命题的序号是(A) (B) (C) (D) 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每题5分，共30分.9. 圆的半径是_。10.已知变量具有线性有关关系，测得的一组数据如下：，其回归方程为，则的值是 。11. 如图，已知O的弦AB交半径OC于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD的长为_。 12. 若双曲线C: 的离心率为,则抛物线的焦点到C的渐近线距离是_。13. 曲线在处的切线方程是_，在x=x0处的切线与直线和y轴围成三角形的面积为 。14. 在圆上有一点P(4,3)，点E,F是y轴上两点，且满足,直线PE，PF与圆交于C，D，则直线CD的斜率是_。三、解答题共6小题，共80分.解答要写出文字阐明，演算环节或证明过程.15（本小题13分） 已知的三个内角分别为A,B,C,且（）求A的度数；（）若求的面积S.16（本小题13分）国家对空气质量的分级规定如下表：污染指数05051100101150151200201300>300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染 某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下：3414018731212104045782365792078160421013816315422273615149103135201648 根据以上信息，解决下列问题：（）写出下面频率分布表中a,b,x,y的值；（）某人筹划今年6月份到此都市观光4天，若将（）中的频率作为概率，她遇到空气质量为优或良的天数用X表达，求X的分布列和均值EX.频率分布表分组频数频率0,50 14(50,100 ax(100,1505(150,200by(200,2502合计30117. （本小题13分）如图(1)，等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，于E，现将ADE沿DE折起到PDE的位置（如图（2）. （）求证：PBDE；（）若PEBE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长. 图（1） 图（2）18.（本小题13分）已知函数 .（）当时，求函数f(x)在1,e上的最大值和最小值；（）若a>0，讨论的单调性.19.（本小题14分）已知椭圆C：的短轴的端点分别为A,B,直线AM,BM分别与椭圆C交于E,F两点，其中点M (m,) 满足，且.（）求椭圆C的离心率e；（）用m表达点E,F的坐标；（）若BME面积是AMF面积的5倍，求m的值. 20.（本小题14分）已知等差数列的通项公式为an=3n-2，等比数列中，.记集合 ，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列.（）求数列bn的通项公式，并写出数列的前4项；（）把集合中的元素从小到大依次排列构成数列，求数列的通项公式，并阐明理由；（）求数列的前n项和丰台区高三第二学期统一练习（二）数学（理科）一 、选择题共8小题，每题5分，共40分.题号12345678答案ABACC DBD二、填空题共6小题，每题5分，共30分.9. 1； 10. 0.9； 11. 2； 12.； 13. 3x+y-4=0, 2； 14. .三、解答题共6小题，共80分.解答要写出文字阐明，演算环节或证明过程.15（本小题13分） 已知的三个内角分别为A,B,C,且（）求A的度数；（）若求的面积S.解: （）, .2分, .4分°. .6分（）在中, ,或(舍),.10分 . .13分16（本小题13分）国家对空气质量的分级规定如下表：污染指数05051100101150151200201300>300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染 某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下：3414018731212104045782365792078160421013816315422273615149103135201648 根据以上信息，解决下列问题：（）写出下面频率分布表中a,b,x,y的值；（）某人筹划今年6月份到此都市观光4天，若将（）中的频率作为概率，她遇到空气质量为优或良的天数用X表达，求X的分布列和均值EX.频率分布表分组频数频率0,50 14(50,100 ax(100,1505(150,200by(200,2502合计301解：（）, .4分 （）由题意，该市4月份空气质量为优或良的概率为P=，.5分 . .10分的分布列为: X01234P .11分XB(4，), . .13分17. （本小题13分）如图(1)，等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，于E，现将ADE沿DE折起到PDE的位置（如图（2）. （）求证：PBDE；（）若PEBE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE的长. 图（1） 图（2）解: （），,DEPE, .2分， DE平面PEB, , BP DE; .4分（）PEBE， PEDE，,因此，可由DE,BE,PE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图），5分设PE=a，则B(0,4-a ,0),D(a,0,0)，C(2,2-a,0),P(0,0,a)，7分xyz，,8分设面PBC的法向量,令, , 10分 .10分, .12分BC与平面PCD所成角为30°, . .11分 ， 解得：a=,或a=4(舍)，因此，PE的长为.13分18.（本小题13分）已知函数 .（）当时，求函数f(x)在1,e上的最大值和最小值；（）若a>0，讨论的单调性.解：（）的定义域为, .1分当时， .2分令在1,e上得极值点x20增减 .4分 .5分. .7分（）， .8分 时，由>0得0<x<2或x>,因此f(x)的单调增区间是(0,2),由<0得2<x<,因此f(x)的单调减区间是(2,)； .10分时，在（0，+¥）上恒成立，且当且仅当，在（0，+¥）单调递增； .11分 当时，由>0得0<x<或x>2,因此f(x)的单调增区间是(0,),由<0得<x<2,因此f(x)的单调减区间是(,2). .13分19.（本小题14分）已知椭圆C：的短轴的端点分别为A,B（如图）,直线AM,BM分别与椭圆C交于E,F两点，其中点M (m,) 满足，且.（）求椭圆C的离心率e；（）用m表达点E,F的坐标；（）若BME面积是AMF面积的5倍，求m的值.解：（）依题意知,; 3分（）,M (m,)，且， 4分直线AM的斜率为k1=,直线BM斜率为k2=, 直线AM的方程为y= ,直线BM的方程为y= , 6分由得， 8分由得，； 10分（）,，, .12分 ，整顿方程得，即，又， ，为所求. 14分20.（本小题14分）已知等差数列的通项公式为an=3n-2，等比数列中，.记集合 ，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列.（）求数列bn的通项公式，并写出数列的前4项；（）把集合中的元素从小到大依次排列构成数列，求数列的通项公式，并阐明理由；（）求数列的前n项和解：（）设等比数列的公比为q，则q3=8，q=2，bn=2n-1， .2分数列的前4项为1,4,7,10，数列bn的前4项为1,2,4,8，数列的前4项为1，2，4，7； .3分（）据集合B中元素2，8，32，128A，猜想数列的通项公式为dn =22n-1.4分dn=b2n ，只需证明数列bn中，b2n-1A，b2nA（）. 证明如下：b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=3×4n-1,即b2n+1=b2n-1+3×4n-1，若mN*,使b2n-1=3m-2，那么b2n+1=3m-2+3×4n-1=3(m+4n-1)-2，因此，若b2n-1A，则b2n+1A.由于b1A，反复使用上述结论，即得b2n-1A（）。同理，b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=2×4n-2×4n-1=3×2×4n-1,即b2n+2=b2n+3×2×4n-1，由于“3×2×4n-1” 数列的公差3的整数倍，因此阐明b2n 与b2n+2同步属于A或同步不属于A，当n=1时，显然b2=2A，即有b4=2A，反复使用上述结论，即得b2nA，dn =22n-1； 8分（）（1）当n=1时，因此由于，因此S1=1； .9分（2）当n2时，由（）知，数列bn中，b2n-1A，b2nA，则，且k<n，使得. . 11分下面讨论正整数k与n的关系：数列中的第n项不外如下两种状况： 或者 ，若成立，即有，若成立，即有 ，有或者，显然=N*，因此.综上所述，. .14分