求线段最小值

“求两线段长度值和最小”问题全解析山东沂源县徐家庄中心学校左进祥在近几年的中考中，常常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同窗们对此类问题有一种比较全面的结识和理解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，但愿对同窗们有所协助  一、在三角形背景下探求线段和的最小值  1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值  例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,BAC=45°，BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为              分析：在这里，有两个动点，因此在解答时，就不能用我们常用对称点法我们要选用三角形两边之和不小于第三边的原理加以解决  解：如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE由于BAC的平分线交BC于点D，因此EAM=NAM，又由于AM=AM， 因此AMEAMN，因此ME=MN因此BM+MN=BM+MEBE由于BM+MN有最小值当BE是点B到直线AC的距离时，BE取最小值为4，以BM+MN的最小值是4故填4  1.2在等边三角形中探求线段和的最小值  例2（ 山东滨州）如图4所示，等边ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为         . 分析：规定线段和最小值，核心是运用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可 解：由于等边ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,因此点C与点B有关AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，由于CM=BM，因此EM+CM=BE，过点E作EFBC，垂足为F，由于AE=2，AC=6，因此EC=4，在直角三角形EFC中，由于EC=4, ECF=60°，FEC=30°，因此FC=2,EF=2 由于BC=6，FC=2，因此BF=4在直角三角形BEF中，BE= =.  二、在四边形背景下探求线段和的最小值  2.1在直角梯形中探求线段和的最小值 例3（江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，ABC90°，ADBC，AD4，AB5，BC6，点P是AB上一种动点，当PCPD的和最小时，PB的长为_分析：在这里有一种动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，因此解答时可以用对称法 解：如图3所示，作点D有关直线AB的对称点E，连接CE，交AB于点P，此时PCPD和最小，为线段CE由于AD4，因此AE=4由于ABC90°，ADBC，因此EAP90° 由于APEBPC,因此APEBPC，因此.由于AE=4，BC6，因此，因此，因此,由于AB5，因此PB=3.  2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值  例4如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为              分析：根据等腰梯形的性质懂得，点A的对称点是点D，这是解题的一种核心点另一方面运用好直角三角形的性质是解题的又一种核心 解：如图4所示，由于点D有关直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PAPB和最小，为线段BD过点D作DGBC，垂足为G，由于四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，ABC=60°，因此C=60°，GDC=30°，因此GC=,DG=由于ABC60°，ADBC，因此BAD120°由于AB=AD，因此ABD=ADB=30°，因此ADBC=30°，因此BD=2DG=2×=因此PA+PB的最小值为  2.3在菱形中探求线段和的最小值  例5如图5菱形ABCD中，AB=2，BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一种动点，则PE+PB的最小值为            分析：根据菱形的性质懂得，点B的对称点是点D，这是解题的一种核心点 解：如图5所示，由于点B有关直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PEPB和最小，为线段ED由于四边形ABCD是菱形，且BAD=60°，因此三角形ABD是等边三角形由于E是AB的中点，AB=2，因此AE=1，DEAB，因此ED= =因此PEPB的最小值为  2.4在正方形中探求线段和的最小值  例6如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一种动点，则DN+MN的最小值为            分析：根据正方形的性质懂得，点B的对称点是点D，这是解题的一种核心点 解：如图6所示，由于点D有关直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DNMN和最小，为线段BM由于四边形ABCD是正方形，因此BC=CD=8由于DM=2，因此MC=6，因此BM=10.因此DN+MN的最小值为10. 例7（?达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小值为                    cm（成果不取近似值）分析：在这里PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一种定值1，因此要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题由于题目中有一种动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，因此解答时可以用对称法 解:如图7所示，根据正方形的性质懂得点B与点D有关AC对称，连接DQ，交AC于点P，连接PB因此BP=DP，因此BP+PQ=DP+PQ=DQ在RtCDQ中，DQ= ，因此PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1故答案为+1  三、在圆背景下探求线段和的最小值  例8（荆门）如图8，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PAPB的最小值为(    ) (A)2    (B)     (C)1    (D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度 解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD由于AMN30°，B为AN弧的中点， 因此弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°根据圆心角与圆周角的关系定理得到：BON30°由垂径定理得：弧DN的度数为60°因此BODBON +DON= 30°+60°=90°.因此DB=.因此选择B  四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值  例9（山东济宁）如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1. （1）求反比例函数的解析式； （2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重叠），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小. 分析：运用三角形的面积和交点坐标的意义，拟定出点A的坐标是解题的第一种核心 要想拟定出PA+PB的最小值，核心是明白如何才干保证PA+PB的和最小，同窗们可以联想我们此前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了 解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第一象限，因此OM=x,AM=y 由于三角形OAM的面积为1，因此因此xy=2，因此反比例函数的解析式为y= （2）由于y=x与y=相交于点A，因此=x，解得x=2，或x=-2.由于x0，因此x=2，因此y=1，即点A的坐标为（2，1）由于点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，因此点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），因此点B有关x轴的对称点D的坐标为（1，-2）设直线AD的解析式为y=kx+b，因此， 解得k=3，b=-5，因此函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=，因此当点P在（，0）时，PA+PB的值最小  五、在二次函数背景下探求线段和的最小值  例10（玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，） ，AOB的面积是. （1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上与否存在点C，使AOC的周长最小？若存在，求出点C的 坐标；若不存在，请阐明理由； 分析：在这里AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，因此AO是一种定长，因此要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题由于题目中有一种动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，因此解答时可以用对称法 解：（1）由题意得: 因此OB=2由于点B在x轴的负半轴上，因此点B的坐标为（-2，）； （2）由于B(-2,0),O(0,0),因此设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为（1，）代入解析式得：3a=，因此a=，因此函数的解析式为y=+x （3）存在点C. 如图10，根据抛物线的性质懂得点B与点O是对称点，因此连接AB与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C，此时AOC的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E 过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.由于BCEBAF,因此, 因此，因此CE=由于点C在第二象限，因此点C的坐标为（-1，）  六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值  例11（天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点. （1）若E为边OA上的一种动点，当CDE的周长最小时，求点E的坐标； （2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标. 分析：本题的最大亮点是将一种动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并较好的运用到平面直角坐标系中 解：（1）如图12，作点D有关x轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DE. 若在边OA上任取点（与点E不重叠），连接C、D、. 由D+ C=+ CC= D+CE=DE+CE，因此的周长最小. 由于 在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，因此 BC=3，DO=O=2. 因此点C的坐标为（3，4），点的坐标为（0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则，解得k=2，b=-2，因此函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，因此点E的坐标为（1，0）； （2）如图13，作点D有关x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x轴交于点E，在EA上截EF=2.由于 GCEF，GC=EF，因此 四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF. 又 DC、EF的长为定值，因此此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.  由于 在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,因此 BC=3，DO=O=2,BG=1. 因此点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，因此函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，因此点E的坐标为（，0）,因此点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）