高中物理 第2章 圆周运动 3 圆周运动的实例分析教师用书 教科版必修2

3圆周运动的实例分析学 习 目 标知 识 脉 络1.知道向心力可以由一个力或几个力的合力提供，会分析具体问题中的向心力来源(难点)2能用匀速圆周运动规律分析、处理生产和生活中的实例(重点、难点)3知道向心力、向心加速度公式也适用于变速圆周运动，会求变速圆周运动中物体在特殊点的向心力和向心加速度(重点、难点)汽 车 过 拱 形 桥和 “旋 转 秋 千”先填空1汽车过拱形桥(1)经最高点时的受力情况汽车经拱形桥顶点时，竖直方向受到重力和支持力作用(2)动力学方程：mgNm.(3)对桥面压力：Nmgm.2“旋转秋千”(1)物理模型：细线下面悬挂一个钢球，用手带动钢球使它在某个水平面内做匀速圆周运动形成一个圆锥摆，如图231所示图231(2)向心力的来源：由重力和悬线拉力的合力提供由F合mgtan m2r，rlsin .得： cos 周期T2 .再判断1汽车驶过凸形桥最高点，速度很大时，对桥的压力可能等于零()2汽车过凸形桥或凹形桥时，向心加速度的方向都是向上的()3汽车驶过凹形桥低点时，对桥的压力一定大于重力()4乘坐“旋转秋千”的人在水平面内做匀速圆周运动()5体重越大的人坐在秋千上旋转时，缆绳与中心轴的夹角越小()后思考1公路在通过小型水库泄洪闸的下游时常常要修建凹形桥，也叫“过水路面”，如图232，汽车在凹形桥上通过时，汽车的向心力由什么力提供？汽车对桥的压力是否等于重力？图232【提示】汽车的向心力由支持力和重力的合力提供，即FnFNmg，汽车对桥的压力大于重力2旋转秋千的缆绳与中心轴的夹角由哪些因素决定？【提示】由绳长和角速度两个因素决定，与人的体重无关合作探讨小球分别在轻绳(如图233甲)和轻杆(如图233乙)的一端绕另一端在竖直平面内运动，请思考：图233探讨1：小球要在竖直平面内完成圆周运动，经过最高点时的最小速度能为零吗？【提示】轻绳上的小球最小速度不能为零轻杆上的小球最小速度可以为零探讨2：小球经过最高点时，与绳(或杆)之间的作用力可以为零吗？【提示】小球轻过最高点时与绳或杆的作用力可以为零核心点击1汽车过桥问题的分析(1)汽车过凸形桥：汽车在桥上运动，经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力如图234甲所示图234由牛顿第二定律得：GFNm，则FNGm.汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对相互作用力，即FNFNGm，因此，汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越小当0v<时，0<FNG.当v时，FN0，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险(2)汽车过凹形桥如图乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提供向心力，则FNGm，故FNGm.由牛顿第三定律得：汽车对凹形桥面的压力FNGm，大于汽车的重力2竖直平面内圆周运动的两种模型(1)轻绳模型如图235所示，轻绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，由mgm，得v.图235在最高点时：v时，拉力或压力为零v>时，物体受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大v<时，物体不能达到最高点(实际上球未到最高点就脱离了轨道)即绳类模型中小球在最高点的临界速度为v临.(2)轻杆模型如图236所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为：图236v0时， 小球受向上的支持力Nmg.0<v<时，小球受向上的支持力且随速度的增大而减小v时，小球只受重力v>时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大即杆类模型中小球在最高点的临界速度为v临0.1(2016东营高一检测)如图237所示，在某次军事演习中，一辆战车以恒定的速度在起伏不平的路面上行进，则战车对路面的压力最大和最小的位置分别是()图237AA点，B点BB点，C点CB点，A点 DD点，C点【解析】战车在B点时由FNmgm知FNmgm，则FN>mg，故对路面的压力最大，在C和A点时由mgFNm知FNmgm，则FN<mg且RC>RA，故FNC>FNA，故在A点对路面压力最小，故选C.【答案】C2如图238所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是()图238AA的速度比B的大BA与B的向心加速度大小相等C悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等D悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小【解析】在转动过程中，A、B两座椅的角速度相等，但由于B座椅的半径比较大，故B座椅的速度比较大，向心加速度也比较大，A、B项错误；A、B两座椅所需向心力不等，而重力相同，故缆绳与竖直方向的夹角不等，C项错误；根据Fm2r判断A座椅的向心力较小，所受拉力也较小，D项正确【答案】D3长度为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量m2 kg的小球求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g取10 m/s2)(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0 r/s；(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s. 【导学号：67120028】【解析】小球在最高点的受力如图所示：(1)杆的转速为2.0 r/s时，2n4 rad/s由牛顿第二定律得FmgmL2故小球所受杆的作用力FmL2mg2(0.542210)N138 N即杆对小球提供了138 N的拉力由牛顿第三定律知小球对杆的拉力大小为138 N，方向竖直向上(2)杆的转速为0.5 r/s时，2n rad/s同理可得小球所受杆的作用力FmL2mg2(0.5210)N10 N.力F为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的压力大小为10 N，方向竖直向下【答案】(1)小球对杆的拉力为138 N，方向竖直向上(2)小球对杆的压力为10 N，方向竖直向下竖直平面内圆周运动的分析方法物体在竖直平面内做圆周运动时：1明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型2明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点3分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解火 车 转 弯先填空1火车在内低外高的路面上转弯(1)向心力来源：如图239向心力由重力和支持力的合力提供(2)向心力方程：mgtan_m图2392飞机转弯受力如图2310所示，向心力由空气作用力F和重力mg的合力提供图2310再判断1火车弯道的半径很大，故火车转弯需要的向心力很小()2火车转弯时的向心力是车轨与车轮间的挤压提供的()3火车通过弯道时具有速度的限制()后思考除了火车弯道具有内低外高的特点外，你还了解哪些道路具有这样的特点？图2311【提示】有些道路具有外高内低的特点是为了增加车辆做圆周运动的向心力，进而提高了车辆的运动速度，因此一些赛车项目的赛道的弯道要做得外高内低，比如汽车、摩托车、自行车赛道的弯道，高速公路的拐弯处等合作探讨火车在铁轨上转弯可以看成是匀速圆周运动，如图2312所示，请思考下列问题：重力G与支持力FN的合力F是使火车转变的向心力图2312探讨1：火车转弯处的铁轨有什么特点？【提示】火车转弯处，外轨高于内轨探讨2：火车转弯时速度过大或过小，会对哪侧轨道有侧压力？【提示】火车转弯时速度过大会对轨道外侧有压力，速度过小会对轨道内侧有压力核心点击1明确圆周平面火车转弯处的铁轨，虽然外轨高于内轨，但整个外轨是等高的，整个内轨是等高的因而火车在行驶的过程中，中心的高度不变，即火车中心的轨迹在同一水平面内故火车的圆周平面是水平面，而不是斜面即火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心2受力特点在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，火车所受支持力的方向斜向上，其竖直分力可以与重力平衡，其水平分力可以提供向心力，或者说火车所受支持力与重力的合力可以提供向心力3速度与轨道压力的关系(1)若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力充当向心力，则mgtan m，如图2313所示，则v0，其中R为弯道半径，为轨道平面与水平面的夹角(tan ，h为内外轨高度差，L为内外轨间距)，v0为转弯处的规定速度此时，内外轨道对火车均无挤压作用；图2313(2)若火车行驶速度v0>，外轨对轮缘有侧压力；(3)若火车行驶速度v0<，内轨对轮缘有侧压力4(多选)(2016连云港高一检测)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关下列说法正确的是()Av一定时，r越小则要求h越大Bv一定时，r越大则要求h越大Cr一定时，v越小则要求h越大Dr一定时，v越大则要求h越大【解析】设轨道平面与水平方向的夹角为，由mgtan m，得tan ，又因为tan sin ，所以.可见v一定时，r越大，h越小，故A正确，B错误；当r一定时，v越大，h越大，故C错误，D正确【答案】AD5. (多选)火车在铁轨上转弯可以看做是做匀速圆周运动，火车速度提高易使外轨受损为解决火车高速转弯时使外轨受损这一难题，你认为理论上可行的措施是() 【导学号：67120029】图2314A减小弯道半径B增大弯道半径C适当减小内外轨道的高度差D适当增加内外轨道的高度差【解析】当火车速度增大时，可适当增大转弯半径或适当增大轨道倾角，以减小外轨所受压力【答案】BD6. (多选)(2013全国卷)公路急转弯处通常是交通事故多发地带如图2315所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势则在该弯道处()图2315A路面外侧高内侧低 B车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动C车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动D当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小【解析】抓住临界点分析汽车转弯的受力特点及不侧滑的原因，结合圆周运动规律可判断汽车转弯时，恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，说明公路外侧高一些，支持力的水平分力刚好提供向心力，此时汽车不受静摩擦力的作用，与路面是否结冰无关，故选项A正确，选项D错误当v<vc时，支持力的水平分力大于所需向心力，汽车有向内侧滑动的趋势，摩擦力向外侧；当v>vc时，支持力的水平分力小于所需向心力，汽车有向外侧滑动的趋势，在摩擦力大于最大静摩擦力前不会侧滑，故选项B错误，选项C正确【答案】AC火车转弯问题的两点注意(1)合外力的方向：火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下因为，火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合外力应沿水平面指向圆心(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力离 心 运 动先填空1定义：做圆周运动的物体，沿圆周运动的切线方向飞出或远离圆心而去的运动2条件：物体所受的合外力突然消失或合外力不足以提供向心力3离心机械：利用离心运动的机械4应用：脱水筒、离心机5危害与防止再判断1离心运动的方向一定沿圆周的切线方向()2汽车在转弯时为防止侧滑需要减速运动()3做离心运动的物体沿半径方向远离圆心()4做圆周运动的物体只有突然失去向心力时才做离心运动()后思考雨天，当你旋转自己的雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出(如图2316所示)，你能说出其中的原因吗？图2316【提示】旋转雨伞时，雨滴也随着运动起来，但伞面上的雨滴受到的力不足以提供其做圆周运动的向心力，雨滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出合作探讨如图2317所示，链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出汽车高速转弯时，若摩擦力不足，汽车会滑出路面请思考：图2317探讨1：链球飞出、汽车滑出是因为受到了离心力吗？【提示】不是是因为向心力不足或消失探讨2：物体做离心运动的条件是什么？ 【提示】物体受的合外力消失或小于圆周运动需要的向心力核心点击1离心运动的实质：离心运动是物体逐渐远离圆心的一种物理现象，它的本质是物体惯性的表现。做圆周运动的物体，总是有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到指向圆心的力2离心运动、近心运动的判断：物体做离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力F与所需向心力(m或mr2)的大小关系决定(如图2318所示)图2318(1)若Fmr2(或m)即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动(2)若Fmr2(或m)，即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动(3)若Fmr2(或m)，即“提供”不足，物体做离心运动(4)若F0，物体做离心运动，并沿切线方向飞出7如图2319所示，光滑的水平面上，小球在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是()图2319AF突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动BF突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动CF突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动DF突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心【解析】F突然消失时，小球将沿该时刻线速度方向，即沿轨迹Pa做离心运动，选项A正确；F突然变小时，小球将会沿轨迹Pb做离心运动，选项B、D均错误；F突然变大时，小球将沿轨迹Pc做近心运动，选项C错误【答案】A8(2016玉林高一检测)物体m用细绳通过光滑的水平板上的小孔与装有细沙的漏斗M相连，并且正在做匀速圆周运动，如图2320所示，如果缓慢减小M的质量，则物体的轨道半径r、角速度变化情况是() 【导学号：67120030】图2320Ar不变，变小Br增大，减小Cr减小，增大 Dr减小，不变【解析】细绳拉力提供物体m做圆周运动需要的向心力，当缓慢减小M时，对m的拉力减小，拉力不足以提供向心力，物体m做离心运动，运动半径r增大，由牛顿第二定律得MgTm2r，因为细绳拉力T减小，半径r增大，因此减小，选项B正确【答案】B9.如图2321所示是摩托车比赛转弯时的情形转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是()图2321A摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用B摩托车所受外力的合力小于所需的向心力C摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去D摩托车将沿其半径方向沿直线滑去【解析】摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，选项A错误；摩托车正常转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，选项B正确；摩托车将沿曲线做离心运动，选项C、D错误【答案】B分析离心运动需注意的问题1物体做离心运动时并不存在“离心力”，“离心力”的说法是因为有的同学把惯性当成了力2离心运动并不是沿半径方向向外远离圆心的运动3摩托车或汽车在水平路面上转弯，当最大静摩擦力不足以提供向心力时，即Fmaxm，做离心运动学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)学业达标1通过阅读课本，几个同学对生活中的圆周运动的认识进行交流甲说：“ 洗衣机甩干衣服的道理就是利用了水在高速旋转时会做离心运动” 乙说：“ 火车转弯时，若行驶速度超过规定速度，则内轨与车轮会发生挤压” 丙说：“ 汽车过凸形桥时要减速行驶，而过凹形桥时可以较大速度行驶” 丁说：“ 我在游乐园里玩的吊椅转得越快，就会离转轴越远，这也是利用了离心现象” 你认为正确的是()A甲和乙 B乙和丙C丙和丁 D甲和丁【解析】甲和丁所述的情况都是利用了离心现象，D正确；乙所述的情况，外轨会受到挤压，汽车无论是过凸形桥还是凹形桥都要减速行驶，A、B、C选项均错【答案】D2. (多选)(2016遂宁市期中)如图2322所示，在匀速转动的洗衣机脱水桶内壁上，有一件湿衣服随圆桶一起转动而未滑动，则()图2322A衣服随圆桶做圆周运动的向心力由静摩擦力提供B圆桶转速增大，衣服对桶壁的压力也增大C圆桶转速足够大时，衣服上的水滴将做离心运动D圆桶转速增大以后，衣服所受摩擦力也增大【解析】衣服做圆周运动的向心力由桶壁的弹力提供，A错误转速增大，衣服对桶壁压力增大，而摩擦力保持不变，B正确，D错误转速足够大时，衣服上的水滴做离心运动，C正确【答案】BC3. (2016泉州高一检测)如图2323所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为()图2323A. B2C. D【解析】小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即mgm2R，解得，选项C正确【答案】C4. (多选)在图2324示光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧的半径为R，则() 【导学号：67120031】图2324A在最高点A，小球受重力和向心力B在最高点A，小球受重力和圆弧的压力C在最高点A，小球的速度为 D在最高点A，小球的向心加速度为2g【解析】小球在最高点受重力和压力，由牛顿第二定律得FNmgma又FNmg，所以a2g，B、D正确【答案】BD5(多选)(2016济宁高一检测)在某转弯处，规定火车行驶的速率为v0，则下列说法中正确的是()A当火车以速率v0行驶时，火车的重力与支持力的合力方向一定沿水平方向B当火车的速率v>v0时，火车对外轨有向外的侧向压力C当火车的速率v>v0时，火车对内轨有向内的挤压力D当火车的速率v<v0时，火车对内轨有向内侧的压力【解析】在转弯处，火车以规定速度行驶时，在水平面内做圆周运动，重力与支持力的合力充当向心力，沿水平面指向圆心，选项A正确当火车的速率v>v0时，火车重力与支持力的合力不足以提供向心力，火车对外轨有向外的侧向压力；当火车的速率v<v0时，火车重力与支持力的合力大于火车所需的向心力，火车对内轨有向内的侧向压力，选项B、D正确，C错误【答案】ABD6(多选)如图2325所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是 ()图2325A小球通过最高点时的最小速度是B小球通过最高点时的最小速度为零C小球通过最低点时对管壁压力一定大于重力D小球在水平线ab以上的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力【解析】小球在光滑的圆形管道内运动到最高点时的最小速度为零，A错误、B正确；小球通过最低点时Nmgm，得Nmgm，故小球通过最低点时对管壁压力一定大于重力，C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时外侧管壁对小球不一定有作用力，D错误【答案】BC7(多选)如图2326所示，小球原来能在光滑水平面上做匀速圆周运动，若剪断BC间的细线，当A球重新做匀速圆周运动后，A球的()图2326A运动半径变大B速率变大C角速度变大D周期变大【解析】球A的向心力由线的拉力提供，开始时，F向(mBmC)g，若剪断BC间的细线，拉力提供的向心力F向mBgF向，故球A将做离心运动，所以运动半径要变大，A正确；重新做匀速圆周运动时由F向mAmAr2mAr2知B、C错，D对【答案】AD8有一种叫“飞椅”的游乐项目，如图2327所示长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动当转盘以角速度匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为.不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度与夹角的关系图2327【解析】对座椅受力分析，如图所示y轴上，Fcos mgx轴上，Fsin m2(rLsin )则由以上两式得tan 因此.【答案】能力提升9. (多选)如图2328所示，水平转台上放着A、B、C三个物体，质量分别为2m、m、m，离转轴的距离分别为R、R、2R，与转台间的动摩擦因数相同，转台旋转时，下列说法中正确的是() 【导学号：67120032】图2328A若三个物体均未滑动，C物体的向心加速度最大B若三个物体均未滑动，B物体受的摩擦力最大C转速增加，A物体比B物体先滑动D转速增加，C物体先滑动【解析】三个物体均未滑动时，做圆周运动的角速度相同，均为，根据a2r知，半径最大的向心加速度最大，A正确；三个物体均未滑动时，静摩擦力提供向心力，fA2m2R，fBm2R，fC2m2R，B物体受的摩擦力最小，B错误；转速增加时，角速度增加，当三个物体都刚要滑动时，对A：2mg2m2R，对B：mgm2R，对C：mg2m2R，所以当转速增加时，C的静摩擦力提供向心力首先达到不足，C物体先滑动，D正确；A与B要么不动，要么一起滑动，C错误【答案】AD10如图2329所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道ABCD，其A点与圆心等高，D点为轨道最高点，DB为竖直线，AC为水平线，AE为水平面，今使小球自A点正上方某处由静止释放，且从A点进入圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终通过最高点D，则小球在通过D点后()图2329A会落到水平面AE上B一定会再次落到圆轨道上C可能会落到水平面AE上D可能会再次落到圆轨道上【解析】小球刚好能过最高点时速度v，离开D后做平抛运动，下落高度为R，时间为t，水平位移xvtRR，所以小球一定落在AE上，故选A.【答案】A11如图2330所示，小球A质量为m，固定在轻细直杆L的一端，并随杆一起绕杆的另一端点O在竖直平面内做圆周运动，如果小球经过最高位置时，杆对小球的作用力大小等于小球的重力求：图2320(1)小球的速度大小；(2)当小球经过最低点时速度为，此时，求杆对球的作用力的大小和球的向心加速度的大小【解析】(1)小球A在最高点时，对球受力分析：重力mg，拉力Fmg或支持力Fmg根据小球做圆周运动的条件，合外力等于向心力，得mgFmFmg解两式，可得v或v0.(2)小球A在最低点时，对球受力分析：重力mg、拉力F，设向上为正方向根据小球做圆周运动的条件，合外力等于向心力，Fmgm，解得Fmgm7mg，故球的向心加速度a6g.【答案】(1)或0(2)7mg6g12在公路转弯处，常采用外高内低的斜面式弯道，这样可以使车辆经过弯道时不必大幅减速，从而提高通行能力且节约燃料若某处有这样的弯道，其半径为r100 m，路面倾角为，且tan 0.4，取g10 m/s2.(1)求汽车的最佳通过速度，即不出现侧向摩擦力时的速度；(2)若弯道处侧向动摩擦因数0.5，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求汽车的最大速度. 【导学号：67120033】【解析】(1)如图甲所示，当汽车通过弯道时，做水平面内的圆周运动，不出现侧向摩擦力时，汽车受到重力G和路面的支持力N两个力作用，两力的合力提供汽车做圆周运动的向心力则有mgtan m所以v0m/s20 m/s.(2)当汽车以最大速度通过弯道时的受力分析如图乙所示将支持力N和摩擦力f进行正交分解，有N1Ncos ，N2Nsin ，f1fsin ，f2fcos 所以有Gf1N1，N2f2F向，且fN由以上各式可解得向心力为F向 mg mg 根据F向m可得v m/s15 m/s.【答案】(1)20 m/s(2)15 m/s