湖南省长沙市望城区白箬中学高三数学第二轮专题讲座复习等差数列等比数列性质的灵活运用

此资料由网络收集而来，如有侵权请告知上传者立即删除。资料共分享，我们负责传递知识。湖南省长沙市望城区白箬中学高三数学第二轮专题讲座复习：等差数列、等比数列性质的灵活运用高考要求 等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n项和公式的引申 应用等差、等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视 高考中也一直重点考查这部分内容 重难点归纳 1 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用 2 在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形 3 “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果 典型题例示范讲解 例1已知函数f(x)= (x<2) (1)求f(x)的反函数f-1(x);(2)设a1=1, =f-1(an)(nN*),求an;(3)设Sn=a12+a22+an2,bn=Sn+1Sn是否存在最小正整数m,使得对任意nN*,有bn<成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由 命题意图 本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，考查学生的逻辑分析能力 知识依托 本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题 错解分析 本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列为桥梁求an,不易突破 技巧与方法 (2)问由式子得=4,构造等差数列,从而求得an,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想 解 (1)设y=,x<2,x=,即y=f-1(x)= (x>0)(2)，是公差为4的等差数列，a1=1, =+4(n1)=4n3,an>0,an= (3)bn=Sn+1Sn=an+12=,由bn<,得m>,设g(n)= ,g(n)= 在nN*上是减函数，g(n)的最大值是g(1)=5,m>5,存在最小正整数m=6,使对任意nN*有bn<成立 例2设等比数列an的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列lgan的前多少项和最大？(lg2=0 3,lg3=0 4)命题意图 本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力 知识依托 本题须利用等比数列通项公式、前n项和公式合理转化条件，求出an;进而利用对数的运算性质明确数列lgan为等差数列，分析该数列项的分布规律从而得解 错解分析 题设条件中既有和的关系，又有项的关系，条件的正确转化是关键，计算易出错；而对数的运算性质也是易混淆的地方 技巧与方法 突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列Sn是n的二次函数，也可由函数解析式求最值 解法一 设公比为q,项数为2m,mN*,依题意有化简得 设数列lgan前n项和为Sn,则Sn=lga1+lga1q2+lga1qn1=lga1n·q1+2+(n1)=nlga1+n(n1)·lgq=n(2lg2+lg3)n(n1)lg3=()·n2+(2lg2+lg3)·n可见，当n=时，Sn最大 而=5,故lgan的前5项和最大 解法二 接前，,于是lgan=lg108()n1=lg108+(n1)lg,数列lgan是以lg108为首项，以lg为公差的等差数列，令lgan0,得2lg2(n4)lg30,n=5 5 由于nN*,可见数列lgan的前5项和最大 例3等差数列an的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_ 解法一由等差数列an的前n项和公式知，Sn是关于n的二次函数，即Sn=An2+Bn(A、B是常数）将Sm=30,S2m=100代入，得,S3m=A·(3m)2+B·3m=210解法二根据等差数列性质知 Sm,S2mSm,S3mS2m也成等差数列，从而有 2(S2mSm)=Sm+(S3mS2m)S3m=3(S2mSm)=210解法三 令m=1得S1=30，S2=100，得a1=30,a1+a2=100,a1=30,a2=70a3=70+(7030)=110S3=a1+a2+a3=210 学生巩固练习 1 等比数列an的首项a1=1,前n项和为Sn,若，则Sn等于( )C 2D 22 已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0<logm(ab)<1,则m的取值范围是_ 3 等差数列an共有2n+1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_ 4 已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数列，则=_ 5 设等差数列an的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0 (1)求公差d的取值范围；(2)指出S1、S2、S12中哪一个值最大，并说明理由 6 已知数列an为等差数列，公差d0,由an中的部分项组成的数列a,a,a,为等比数列，其中b1=1,b2=5,b3=17 (1)求数列bn的通项公式； (2)记Tn=Cb1+Cb2+Cb3+Cbn,求 参考答案:1 解析 利用等比数列和的性质 依题意，而a1=1,故q1,根据等比数列性质知S5，S10S5，S15S10,也成等比数列，且它的公比为q5,q5=,即q= 答案 B2 解析 解出a、b,解对数不等式即可 答案 (,8)3 解析 利用S奇/S偶=得解答案 第11项a11=294 解法一 赋值法 解法二 b=aq,c=aq2,x=(a+b)=a(1+q),y=(b+c)=aq(1+q), =2答案 25 (1)解 依题意有 得公差d的取值范围为d3 (2)解法一 由d0可知a1>a2>a3>>a12>a13,因此，在S1，S2，S12中Sk为最大值的条件为 ak0且ak+10,即a3=12,，d0,2k3d3,4,得5 5k7 因为k是正整数，所以k=6,即在S1，S2，S12中，S6最大 6 解 (1)由题意知a52=a1·a17，即(a1+4d)2=a1(a1+16d)a1d=2d2,d0,a1=2d,数列的公比q=3,=a1·3n1又=a1+(bn1)d=由得a1·3n1=·a1 a1=2d0,bn=2·3n11 (2)Tn=Cb1+Cb2+Cbn=C (2·301)+C·(2·311)+C(2·3n11)=(C+C·32+C·3n)(C+C+C)=(1+3)n1(2n1)= ·4n2n+,