2016-2017学年高中数学第一章三角函数1.5正弦函数的图像与性质学案北师大版必修4

5正弦函数的图像与性质1了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法(重点)2掌握“五点法”画正弦曲线的方法和步骤，能用“五点法”作出简单的正弦曲线(难点)3能用正弦函数的图像理解和记忆正弦函数的性质(重点、难点)基础初探教材整理1“五点法”作正弦函数的图像阅读教材P25P27“例1”以上部分，完成下列问题在函数ysin x，x0,2的图像上，起着关键作用的有五个关键点：(0,0)，(，0)，(2，0)描出这五个点后，函数ysin x，x0,2的图像就基本上确定了因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线顺次将它们连接起来，就得到这个函数的简图我们称这种画正弦函数曲线的方法为“五点法”如图151.图151判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数ysin x在0,2和4，6上的图像形状相同，只是位置不同()(2)函数ysin x的图像介于直线y1和y1之间()(3)函数ysin x的图像关于x轴对称()(4)函数ysin x的图像与y轴只有一个交点()【解析】由函数ysin x的图像可知，ysin x的图像不关于x轴对称，与y轴只有一个交点，且图像介于直线y1和y1之间，在0,2和4，6上的图像形状相同，而位置不同【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2正弦函数的性质阅读教材P28P29“例2”以上部分，完成下列问题性质定义域R值域1,1最大值与最小值当x2k(kZ)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1周期性周期函数，T2单调性在(kZ)上是增加的；在(kZ)上是减少的奇偶性奇函数对称性图像关于原点对称，对称中心(k，0)，kZ；对称轴xk，kZ判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)正弦函数ysin x的定义域为R.()(2)正弦函数ysin x是单调增函数()(3)正弦函数ysin x是周期函数()(4)正弦函数ysin x的最大值为1，最小值是1.()【解析】由正弦函数性质知，(1)(3)(4)均正确，对于(2)，正弦函数在(kZ)上是单调增函数，在R上不具有单调性【答案】(1)(2)(3)(4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型五点法作图用“五点法”画出函数y3sin x(x0,2)的图像【精彩点拨】借助于五点作图法按下列次序完成：列表描点连线成图【自主解答】(1)列表，如下表所示：x02ysin x01010y3sin x32343(2)描点，连线，如图所示：1解答本题的关键是要抓住五个关键点使函数中x取0，2，然后相应求出y值，再作出图像2五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，作图过程中要注重整体代换思想的运用，特别是在取值、描点上，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持平滑，注意凸凹方向再练一题1作出函数y12sin x，x0,2的简图【解】按五个关键点列表：x02sin x0101012sin x11131利用正弦函数的性质描点连线作图，如图：与正弦函数有关的定义域问题求下列函数的定义域(1)y；(2)y.【精彩点拨】先根据条件，求出sin x的取值范围，再借助于单位圆或正弦线或正弦函数的图像解决【自主解答】(1)为使函数有意义，需满足12sin2x0，即sin2 x，解得sin x，结合单位圆可知，2kx2k或2kx2k(kZ)原函数的定义域为(kZ)(2)为使函数有意义，需满足即正弦函数和单位圆如图所示：定义域为.1求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域时，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成2求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后，要注意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步变形都要保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围再练一题2求函数y的定义域. 【导学号：66470014】【解】要使函数有意义，只需2 sin x0.即sin x，如图所示，在区间上，适合条件的x的取值范围是x.所以该函数的定义域是(kZ)正弦函数的周期性与奇偶性求下列函数的周期，并判断其奇偶性(1)ysin(xR)；(2)y|sin x|(xR)【精彩点拨】(1)利用代换z2x，将求原来函数的周期转化为求ysin z的周期求解，或利用公式求解(2)作出函数图像观察求解【自主解答】(1)法一：令z2x，xR，zR，函数ysin z的最小正周期是2，就是说变量z只要且至少要增加到z2，函数ysin z(zR)的值才能重复取得，而z22x22(x)，所以自变量x只要且至少要增加到x，函数值才能重复取得，从而函数f(x)sin(xR)的周期是.法二：f(x)sin中，2，T.又sinsin，且sinsin，ysin是非奇非偶函数(2)作出y|sin x|的图像如图：由图像可知，y|sin x|的周期为.其图像关于y轴对称，y|sin x|是偶函数1利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“x”增加到“xT”，函数值重复出现，T是函数的一个周期这一理论依据2常见三角函数周期的求法(1)对于形如函数yAsin(x)，0的周期求法，通常用定义T来求解；(2)对于形如y|Asin x|的周期情况，常结合图像法来解决再练一题3求下列函数的周期，并判断其奇偶性(1)f(x)2sin；(2)f(x)|sin 2x|.【解】(1)在f(x)2sin中，T4.又f(x)f(x)，且f(x)f(x)，f(x)2sin是非奇非偶函数(2)作出f(x)|sin 2x|的图像如图：由图知，y|sin 2x|的周期为，又其图像关于y轴对称，因而是偶函数正弦函数的单调性(1)比较下列各组三角函数值的大小sin 与sin；sin 1，sin 2，sin 3，sin 4(由大到小排列)(2)求函数ysin的单调递增区间【精彩点拨】(1)将所给角通过诱导公式化到同一单调区间内，然后利用ysin x的单调性比较大小(2)将视为z，利用ysin z的单调性求解【自主解答】(1)sinsin，sinsin，sin>sin，所以sin<sin.因为sin 2sin(2)，sin 3sin(3)，且0<3<2<.函数ysin x在上是增加的，所以sin(2)>sin 1>sin(3)>0，即sin 2>sin 1>sin 3>sin 4.(2)ysinsin.由2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ.所以原函数的单调递增区间为，kZ.1比较sin 与sin 的大小时，可利用诱导公式，把sin 与sin 转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较2比较sin 与cos 的大小，常把cos 转化为sin后，再依据单调性进行比较3当不能将两角转到同一单调区间上时，还可以借助于图像或值的符号比较4在求形如yA sin(x)(A>0，>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“x”看作一个整体“z”，即通过求yA sin z的单调区间求原函数的单调区间再练一题4比较sin与sin的大小【解】sinsinsin，sinsinsin.0<<<.又ysin x在上单调递增sin<sin，即sin<sin.探究共研型与正弦函数有关的值域问题探究1求函数值域时首先应注意什么？【提示】求解函数值域时首先应看函数的定义域，在函数定义域内来求值域探究2对于yA sin2xBsin xC型的函数怎样求值域？【提示】利用换元法转化为二次函数求最值求下列函数的值域(1)y32 sin x；(2)ysin2xsin x.【精彩点拨】(1)利用|sin x|1即可求解(2)配方求解，要注意|sin x|1这一情况【自主解答】(1)1sin x1，1sin x1，132 sin x5，函数y32 sin x的值域为1,5(2)令tsin x，则1t1，yt2t22，当t时，ymax2.此时sin x，即x2k或x2k，kZ.当t1时，ymin.此时sin x1，即x2k，kZ.函数ysin2x sin x的值域为.此类求复合函数最大值、最小值问题关键在于依据函数值的计算过程，把原函数转化为两个基本初等函数的最大(小)值问题解答过程要特别注意：内函数(本例中tsin x)的值域恰好是外函数的定义域再练一题5求函数ysin2x4 sin x1的值域【解】ysin2x4 sin x1(sin x2)25.由1sin x1，得当sin x1时函数的最大值为4，当sin x1时，函数的最小值为4，所以函数的值域为4,4 .构建体系1正弦函数ysin x，xR的图像上的一条对称轴是() 【导学号：66470015】Ay轴Bx轴C直线x D直线x【解析】结合函数ysin x，xR的图像可知直线x是函数的一条对称轴【答案】C2函数f(x)3sin x的最小正周期是()ABCD2【解析】由3sin(2x)3sin x知f(x)的最小正周期为2.【答案】D3f(x)2 sin x在上的最大值为_【解析】f(x)2 sin x在上是减少的，所以f(x)max2sin.【答案】4函数f(x)sin2x1的奇偶性是_【解析】f(x)sin(x)21sin2x1f(x)，所以f(x)为偶函数【答案】偶函数5比较下列各组数的大小(1)sin 2 016和cos 160；(2)sin和cos.【解】(1)sin 2 016sin(3605216)sin 216sin(18036)sin 36，cos 160cos(18020)cos 20sin 70.sin 36<sin 70，sin 36>sin 70，即sin 2 016>cos 160.(2)cossin，又<<<，ysin x在上是减少的，sin>sincos，即sin>cos.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_12