高三数学下学期入学考试试题 理

四川省绵阳市2017届高三数学下学期入学考试试题 理第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题的四个选项中,只有一项是符合要求.1若集合A=x|x24x5=0，B=x|x2=1，则AB=（）A1 B1 C5，1 D1，12设复数z满足（1i）z=2i，则z=（）A1+i B1i C1+i D1i3已知向量 ， ，则（ ）A. B. C. D.4已知，是三个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题是真命题的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则5.若，则的值为（ ）A B C D6. 设，均为正数，且，则，的大小关系为（ ）AB CD7执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A3 B4 C5 D68.在中，内角，所对的边分别为，且边上的高为，则最大值为（ ）A2B C D49已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A3 B12 C2 D710在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，则的最大值是（ ）A.4 B. C.6 D. 11.过椭圆：的左顶点且斜率为的直线交椭圆于另一点，且点在 轴上的射影恰好为右焦点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D12.若函数在区间上，均可为一个三角形的三边长，则称函数为“三角形函数”已知函数在区间上是“三角形函数”，则实数的取值范围为（ ）A B C D二、填空题:本大题共4题,每小题5分,共20分答案填在答题卡上13设等差数列an的前n项和为Sn，若a5=5a3，则= 14口袋中有三个大小相同、颜色不同的小球各一个，每次从中取一个，记下颜色后放回，当三种颜 色的球全部取出时停止取球，则恰好取了5次停止的不同取球种数为 15已知a0，x，y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1，则a= 16设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准 线相交于点C，|BF|=2，则BCF与ACF的面积之比= 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）若，求的面积.18（本小题满分12分）某网络营销部门为了统计绵阳市网友2016年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如表）：网购金额（单位：千元）频数频率（0，0.530.05（0.5，1xp（1，1.590.15（1.5，2150.25（2，2.5180.30（2.5，3yq合计601.00若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3：2（1）试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）（2）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查设为选取的3人中“网购达人”的人数，求的分布列和数学期望19.（本小题满分12分）已知正三棱柱中，点为的中点，点在线段上.（1）当时，求证；（2）是否存在点，使二面角等于60？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.20（本小题满分12分）已知中心在坐标原点O，焦点在y轴上的椭圆C的右顶点和上顶点分别为A、B，若AOB的面积为且直线AB经过点P（2，3）（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（，0）的动直线l交椭圆C于M，N两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以MN为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由21（本小题满分12分）已知函数g（x）=+lnx在1，+）上为增函数，且（0，），f（x）=mxlnx（mR）（1）求的值；（2）设h（x）=，若在1，e上至少存在一个x0，使得f（x0）g（x0）h（x0）成立，求m的取值范围选做题。（请考生从第22，23题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分，） 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为 (为参数)，曲线的极坐标方程为.（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）在同一坐标系下，曲线是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由.23.已知函数f（x）=+ax（a0）在（1，+）上的最小值为15，函数g（x）=|x+a|+|x+1|（1）求实数a的值；（2）求函数g（x）的最小值高2014级高三下期入学考试 理科数学 答案BAADD CBCAB CD考点：正余弦定理与三角函数的值域13.914口袋中有三个大小相同、颜色不同的小球各一个，每次从中取一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取了5次停止种数为42【考点】排列、组合的实际应用【分析】恰好取5次球时停止取球，分两种情况3，1，1及2，2，1，利用组合知识求解即可【解答】解：分两种情况3，1，1及2，2，1当取球的个数是3，1，1时，满足条件的事件数是C31C43C21=24；当取球的个数是2，2，1时，满足条件的事件数是C31C42C22=18；这两种情况是互斥的，利用加法原理可得恰好取了5次停止种数为24+18=42，故答案为4215a=16设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则BCF与ACF的面积之比=（）【考点】抛物线的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【分析】根据=，进而根据两三角形相似，推断出=，根据抛物线的定义求得=，根据|BF|的值求得B的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x=代入，即可求得A的坐标，进而求得的值，则三角形的面积之比可得【解答】解：如图过B作准线l：x=的垂线，垂足分别为A1，B1，=，又B1BCA1AC、=，由拋物线定义=由|BF|=|BB1|=2知xB=，yB=，AB：y0=（x）把x=代入上式，求得yA=2，xA=2，|AF|=|AA1|=故=故选A17.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且.（）求的值；（）若，求的面积.试题解析： （）由正弦定理可得：，所以.（）由余弦定理得，即，又，所以，解得或 (舍去)，所以.18某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如表）：网购金额（单位：千元）频数频率（0，0.530.05（0.5，1xp（1，1.590.15（1.5，2150.25（2，2.5180.30（2.5，3yq合计601.00若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3：2（1）试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）（2）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查设为选取的3人中“网购达人”的人数，求的分布列和数学期望解：（1）根据题意，有解得p=0.15，q=0.10补全频率分布直方图如图所示 （2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有人，“非网购达人”有人 故的可能取值为0，1，2，3；，所以的分布列为：0123p19.（本小题满分12分）已知正三棱柱中，点为的中点，点在线段上.（）当时，求证；（）是否存在点，使二面角等于60？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.试题解析：（）证明：连接，因为为正三棱柱，所以为正三角形，又因为为的中点，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，所以.因为，所以，所以在中，在中，所以，即.又，所以丄平面，面，所以.（）假设存在点满足条件，设.取的中点，连接，则丄平面，所以，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，得，同理，平面的一个法向量为，则，取，.，解得，故存在点,当时，二面角等于.19 已知中心在坐标原点O，焦点在y轴上的椭圆C的右顶点和上顶点分别为A、B，若AOB的面积为且直线AB经过点P（2，3）（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（，0）的动直线l交椭圆C于M，N两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以MN为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设椭圆方程为，（ab0）椭圆的上顶点为B（0，a），右顶点为A（b，0），直线AB的方程为=1，解得a=，b=1椭圆C的方程是=1（2）若直线与x轴重合，则MN=2b=2，圆的方程为x2+y2=1，若直线垂直于x轴，则MN=，圆的方程为（x+）2+y2=显然A（1，0）为两圆的公共点，因此所求的点T如果存在，只能是A（1，0）事实上，点（1，0）就是所求的点证明如下：当直线斜率存在时，设直线方程为y=k（x+）由联立方程组，得（k2+2）x2+x+2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=又y1y2=k2（x1+）（x2+）=k2x1x2+（x1+x2）+=（x11，y1），=（x21，y2），=（x11）（x21）+y1y2=x1x2（x1+x2）+1+k2x1x2+（x1+x2）+=（1+k2）x1x2+（）（x1+x2）+1+（1+k2）+=0，AMAN，即以MN为直径的圆经过点A（1，0）所以在坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以MN为直径的圆恒过点T22已知函数g（x）=+lnx在1，+）上为增函数，且（0，），f（x）=mxlnx（mR）（）求的值；（）设h（x）=，若在1，e上至少存在一个x0，使得f（x0）g（x0）h（x0）成立，求m的取值范围【解答】解：（1）由题意，0在1，+）上恒成立，即（0，），sin0故sinx10在1，+）上恒成立，只须sin110，即sin1，只有sin=1结合（0，），得（2）构造F（x）=f（x）g（x）h（x），当m0时，x1，e，所以在1，e上不存在一个x0，使得f（x0）g（x0）h（x0）成立当m0时，因为x1，e，所以2e2x0，mx2+m0，所以（F（x）0在x1，e恒成立故F（x）在1，e上单调递增，只要，解得故m的取值范围是22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为 (为参数)，曲线的极坐标方程为.（）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（）在同一坐标系下，曲线是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由.试题解析： （）由（为参数)得，曲线的普通方程为.，.有即为所求曲线的直角坐标方程.