2021高考数学一轮复习 课后限时集训18 利用导数解决不等式恒（能）成立问题 理 北师大版

课后限时集训18利用导数解决不等式恒(能)成立问题建议用时：45分钟1(2019·西安质检)已知函数f(x)ln x，g(x)x1.(1)求函数yf(x)的图像在x1处的切线方程；(2)若不等式f(x)ag(x)对任意的x(1，)均成立，求实数a的取值范围解(1)f(x)，f(1)1.又f(1)0，所求切线的方程为yf(1)f(1)(x1)，即为xy10.(2)易知对任意的x(1，)，f(x)0，g(x)0.当a1时，f(x)g(x)ag(x)；当a0时，f(x)0，ag(x)0，不满足不等式f(x)ag(x)；当0a1时，设(x)f(x)ag(x)ln xa(x1)，则(x)a(x1)，令(x)0，得x，当x变化时，(x)，(x)的变化情况如下表：x(x)0(x)极大值(x)max(1)0，不满足不等式f(x)ag(x)综上所述，实数a的取值范围为1，)2已知函数f(x)(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若任意x1，)，不等式f(x)1恒成立，求实数a的取值范围解(1)f(x)，当a时，x22x2a0，f(x)0，函数f(x)在(，)上单调递增当a时，令x22x2a0，解得x11，x21.函数f(x)的单调递增区间为(，1)和(1，)，单调递减区间为(1，1)(2)f(x)112ax2ex，由条件知，2ax2ex对任意x1恒成立令g(x)x2ex，h(x)g(x)2xex，h(x)2ex.当x1，)时，h(x)2ex2e0，h(x)g(x)2xex在1，)上单调递减，h(x)2xex2e0，即g(x)0，g(x)x2ex在1，)上单调递减，g(x)x2exg(1)1e，故若f(x)1在1， )上恒成立，则需2ag(x)max1e.a，即实数a的取值范围是.3设f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围3设f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围解(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g(x1)g(x2)maxM.由g(x)x3x23，得g(x)3x22x3x.令g(x)0得x0或x，令g(x)0得0x，又x0,2，所以g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以g(x)ming，又g(0)3，g(2)1，所以g(x)maxg(2)1.故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)minM，则满足条件的最大整数M4.(2)对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，等价于在区间上，函数f(x)ming(x)max，由(1)可知在区间上，g(x)的最大值为g(2)1.在区间上，f(x)xln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立设h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，令m(x)xln x，由m(x)ln x10得x.即m(x)xln x在上是增函数，可知h(x)在区间上是减函数，又h(1)0，所以当1x2时，h(x)0；当x1时，h(x)0.即函数h(x)xx2ln x在区间上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以h(x)maxh(1)1，所以a1，即实数a的取值范围是1，)4