必学四三角函数复习题

2017年05月09日三角函数复习题一解答题（共16小题）1已知点P（3m，2m）（m0）在角的终边上，求sin，cos，tan2已知为三角形一内角，且sin+cos=（1）求tana的值；（2）求3已知关于x的方程2x2（+1）x+m=0的两根为sin 、cos ，（0，2），求：（1）+的值；（2）m的值4已知函数f（x）=2sin（x）cosx+2cos2x+a1（）求f（x）的最小正周期；（）若f（x）在区间，上的最大值与最小值的和为2，求a的值5已知函数f（x）=cos（2x）+2sin（x）sin（x+）（）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（）讨论函数f（x）在区间，上单调性并求出的值域6已知函数f（x）=2cos2x1，xR（）求f（）的值；（）求函数f（x）的最小正周期；（）设g（x）=f（x）+cos2x，求g（x）的值域7已知是函数f（x）=2cos2x+asin2x+1的一个零点（）求实数a的值；（）求f（x）的单调递增区间8已知函数f（x）=2sin（x+）2cosx，x，（1）若sinx=，求函数f（x）的值；（2）求函数f（x）的值域和对称轴9设函数（）求f（x）的定义域及最小正周期；（）求f（x）在区间，0上的最值10已知函数f（x）=sin2xcos2x+（）求函数f（x）=0时x的集合；（）求函数f（x）在区间0，上的最小值11（1）设，为锐角，且，求+的值； （2）化简求值：12已知函数f（x）=Asin（x+）+B （A0，0，|）的最大值为2，最小值为，周期为，且图象过（0，）（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间13已知函数f（x）=sin2xcos+cos2xsin+cos（+）（0），其图象上相邻两条对称轴之间的距离为，且过点（）（I）求和的值；（II）求函数y=f（2x），x0，的值域14已知函数（）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值15已知（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当时，对任意的tR，不等式mt2+mt+3f（x）恒成立，求实数m的取值范围16已知（）求f（x）的最小正周期和最大值；（）若，画出函数y=g（x）的图象，讨论y=g（x）m（mR）的零点个数2017年05月09日三角函数复习题参考答案与试题解析一解答题（共16小题）1（2017春天桥区校级月考）已知点P（3m，2m）（m0）在角的终边上，求sin，cos，tan【分析】直接利用任意角的三角函数，求解即可【解答】解：角的终边为点P（3，4），所以x=3m，y=2m，r=，sin=cos=，tan=2（2017春金水区校级月考）已知为三角形一内角，且sin+cos=（1）求tana的值；（2）求【分析】（1）已知等式两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简，求出2sincos=，确定出sin与cos的正负，再利用完全平方公式列出关系式，求出sin与cos的值，即可求出tan的值；（2）将sin与cos的值代入计算即可求出值【解答】解：（1）已知等式sin+cos=，两边平方得：（sin+cos）2=1+2sincos=，即2sincos=，sin0，cos0，即为钝角，（sincos）2=12sincos=，即sincos=，联立，解得：sin=，cos=，则tana=；（2）sin=，cos=，原式=3（2017春万柏林区校级月考）已知关于x的方程2x2（+1）x+m=0的两根为sin 、cos ，（0，2），求：（1）+的值；（2）m的值【分析】（1）利用韦达定理求得sin +cos 和sin cos 的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值（2）把sin +cos =，两边平方，可求得m的值【解答】解：（1）由根与系数的关系可知sin +cos =，sin cos =，则+=sin +cos =（2）由式平方得1+2sin cos =，1+m=，m=4（2017天津）已知函数f（x）=2sin（x）cosx+2cos2x+a1（）求f（x）的最小正周期；（）若f（x）在区间，上的最大值与最小值的和为2，求a的值【分析】（I）利用倍角公式与和差公式可得：函数f（x）=2+a可得f（x）的最小正周期T（II）由x，可得2x+，可得进而得出答案【解答】解：（I）函数f（x）=2sin（x）cosx+2cos2x+a1=sin2x+cos2x+a=2+af（x）的最小正周期T=（II）x，2x+，f（x）a1，a+2a1+a+2=2，解得a=5（2017河东区二模）已知函数f（x）=cos（2x）+2sin（x）sin（x+）（）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（）讨论函数f（x）在区间，上单调性并求出的值域【分析】（）化简函数，再求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（）利用正弦函数的性质，讨论函数f（x）在区间，上单调性并求出的值域【解答】解：（）=（sinxcosx）（sinx+cosx）=周期由，得函数图象的对称轴方程为（），在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，f（x）取最大值1，所以值域为6（2017浙江模拟）已知函数f（x）=2cos2x1，xR（）求f（）的值；（）求函数f（x）的最小正周期；（）设g（x）=f（x）+cos2x，求g（x）的值域【分析】（）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，从而求得f（）的值（）根据函数的解析式以及三角函数的周期性，求得函数f（x）的最小正周期（）化简g（x）的解析式，根据正弦函数的值域求得g（x）的值域【解答】解：（）函数f（x）=2cos2x1=cos2x，f（）=cos=（）函数f（x）=2cos2x1=cos2x 的最小正周期为=（）g（x）=f（x）+cos2x=cos2（x）+cos2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），故g（x）的值域为2，27（2017海淀区一模）已知是函数f（x）=2cos2x+asin2x+1的一个零点（）求实数a的值；（）求f（x）的单调递增区间【分析】（）利用函数的零点的定义，求得实数a的值（）利用三角恒等变化化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间【解答】解：（）由题意可知，即，即，解得（）由（）可得=，函数y=sinx的递增区间为，kZ由，kZ，得，kZ，所以，f（x）的单调递增区间为，kZ8（2017河东区一模）已知函数f（x）=2sin（x+）2cosx，x，（1）若sinx=，求函数f（x）的值；（2）求函数f（x）的值域和对称轴【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f（x），根据x，时sinx的值求出f（x）的值；（2）根据f（x）的解析式求出x，时的值域，求出f（x）在x，内对称轴是x=【解答】解：（1）函数f（x）=2sin（x+）2cosx=2sinxcos+2cosxsin2cosx=sinxcosx=2sin（x），由x，且sinx=，cosx=；函数f（x）=sinxcosx=×（）=；（2）由函数f（x）=2sin（x），x，x，sin（x），1，f（x）在x，的值域是1，2；且f（x）=2sin（x）对称轴是x=k+，kZ，x，对称轴是x=9（2017天津一模）设函数（）求f（x）的定义域及最小正周期；（）求f（x）在区间，0上的最值【分析】（1）先将函数化简，再求f（x）的定义域及最小正周期；（2）f（x）在区间，0的单调性，再利用正弦函数的性质，即可求出最值【解答】解：（）=，由得f（x）的定义域为x|x2+4k（kZ）故f（x）的最小正周期为，（）x0，10（2017平谷区模拟）已知函数f（x）=sin2xcos2x+（）求函数f（x）=0时x的集合；（）求函数f（x）在区间0，上的最小值【分析】（）利用三角恒等变换化f（x）为正弦型函数，求出f（x）=0时x的取值集合即可；（）方法一：求出x0，时f（x）的取值范围，即可得出最小值方法二：根据正弦函数的单调性，求出x0，时f（x）的最小值即可【解答】解：（）=；（5分）因为：f（x）=0时，所以：2x=k（kZ），解得x=+，kZ；所以函数f（x）=0时x的集合为；（8分）（）因为x0，所以，方法一：，所以；故函数f（x）在区间0，上的最小值为.（13分）方法二：当时2x=，即x=0时，f（x）取得最小值，故函数f（x）在区间0，上的最小值为（13分）11（2017春成都期中）（1）设，为锐角，且，求+的值； （2）化简求值：【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式求得 cos（+）的值，结合+的范围，可得+的值（2）利用同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、诱导公式，求得所给式子的值【解答】解：（1）为锐角，；为锐角，cos（+）=coscossinsin=，+（0，），+=（2）=sin50°=112（2017春新化县校级期中）已知函数f（x）=Asin（x+）+B （A0，0，|）的最大值为2，最小值为，周期为，且图象过（0，）（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间【分析】（1）利用三角函数的最值求出A，B，利用函数的周期求出，利用图象经过的点求出，得到函数的解析式（2）利用函数的单调区间求解函数的单调增区间即可【解答】（12分）解：（1）f（x）=Asin（x+）+B的最大值为2，最小值为，A=，B=又f（x）=Asin（x+）+B的周期为，T=，即=2f（x）=sin（2x+）+又函数f（x）过（0，），=sin +，即sin =又|，=，f（x）=sin（2x）+8（2）令t=2x，则y=sin t+，其增区间为：2k，2k，kZ即2k2x2k+，kZ解得kxk+所以f（x）的单调递增区间为，k，kZ1213（2017江西模拟）已知函数f（x）=sin2xcos+cos2xsin+cos（+）（0），其图象上相邻两条对称轴之间的距离为，且过点（）（I）求和的值；（II）求函数y=f（2x），x0，的值域【分析】（I）将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质和已知坐标，即可求函数和的值；（II）求出函数y=f（2x）的解析式，根据x0，求出函数y=f（2x）的范围，在求其范围内的最大值和最小值，即可得到值域【解答】解：f（x）=sin2xcos+cos2xsin+cos（+）（0），f（x）=sin2xcos+cos2xsinsinf（x）=sin2xcos+sin（cos2x）f（x）=sin2xcos+cos2xsinf（x）=sin（2x+），（I）图象上相邻两条对称轴之间的距离为，T=2，又T=，=，图象过点（），=sin（±1×+），解得：，f（x）=sin（x+）或f（x）=sin（x+）；（）y=f（2x），y=f（2x）=sin（2x+），【注意：只需要一个解析式即可，其实两个解析式化简是一样的】又x0，2x+，结合正弦函数的图象和性质：当时，y取得最大值，即，当时，y取得最小值，即，所以函数y=f（2x），x0，的值域为14（2017红桥区一模）已知函数（）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值【分析】（）由三角函数化简可得f（x）=2sin（2x+）+3，由周期公式可得，解不等式2k+2x+2k+可得单调递减区间；（）由x结合三角函数的性质逐步计算可得2sin（2x+）+32，5，可得最值【解答】解：（）化简可得=2sinxcosx+2cos2x+2=sin2x+cos2x+1+2=2sin（2x+）+3，函数f（x）的最小正周期T=，由2k+2x+2k+可得k+xk+函数的单调递减区间为k+，k+（kZ）；（）x，2x+，sin（2x+），1，2sin（2x+）1，2，2sin（2x+）+32，5，函数的最大值和最小值分别为5，215（2017海淀区校级模拟）已知（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当时，对任意的tR，不等式mt2+mt+3f（x）恒成立，求实数m的取值范围【分析】（1）首先根据向量的坐标运算求出函数的解析式，进一步变函数为正弦型函数，最后求出单调区间（2）根据函数与的定义域求出函数的值域，进一步利用恒成立问题，利用分类讨论的思想求出m的取值范围【解答】解：（1），f（x）=2sinxcosx+（cosx+sinx）（sinxcosx）=sin2xcos2x2sin（2x），令2k2x2k+（kZ），解得：+kx+k，所以：函数f（x）的单调递增区间为：+k，+k（kZ）单调递减区间为+k，+k（kZ）（2）当时，2x，对任意tR，不等式mt2+mt+3f（x）恒成立只需满足：mt2+mt+3f（x）max成立即可即mt2+mt+10即可当m=0时，恒成立当m0时，只需满足解得：0m4综合所得：0m416（2017安徽二模）已知（）求f（x）的最小正周期和最大值；（）若，画出函数y=g（x）的图象，讨论y=g（x）m（mR）的零点个数【分析】（）根据f（x）=2，利用向量数量积的运算法则求解f（x）并化简，即可求得f（x）的最小正周期和最大值（），利用“5点画法”画出函数y=g（x）的图象【解答】解：（）f（x）=2=2sinxcosx+2sin2x=sin2xcos2x+1=f（x）的最小正周期T=；函数f（x）的最大值为：；（），利用“5点画法”，函数y=g（x）在区间上列表为x001012112描点作图那么：y=g（x）m（mR）的零点个数，即为函数y=g（x）与直线y=m的交点个数，由图可知，当时，无零点；当时，有1个零点；当或时，有2个零点；当m=2时，有3个零点