常微分方程 习题答案

常微分方程习题集华东师范大学数学系2003年9月常微分方程习题集目录第一章基本概念和初等解法1.1微分方程模型与基本概念1.2初等解法1.3基本理论问题第二章线性微分方程组2.1引论2.2 一般理论2.3常系数线性微分方程组2.4高阶线性微分方程第三章定性和稳定性理论3.1基本概念3.2 二阶系统的定性分析3.3 一般非线性系统零解的稳定性习 题1.11.指出下列常微分方程的阶数，并判断是否为线性：1)恙=4工2 - y:答：i阶线性方程.ON dy n nf n nf答：p阶非线性方程.3) g + p盖+咖y = /答：二阶线性方程.,dy4) -h cosy + X = 0.d工答：一阶非线性方程.2.什么是常微分方程的解？它与代数方程的解有什么区别？何谓微分方程的通解、特解？何谓初值问题？答：在某区间/上定义并且在区间/上恒满足某常微分方程的函数叫做该常微分方程在区间/上的一个解.代数方程的解是满足代数方程的函数或数.常微分方程的解与代数方程的解的主要区别是：常微分方程的解是在区间上定义的可微函数，它可以含有任意常数.而代数方程中不含对未知函数的求导运算.一个n阶常微分方程的含有n个独立的任意常数的解叫通解，通解不一定包含方程所有的解.不含有任意常数的解叫特解.求一个ri阶常微分方程的解，要使这个解及它的直到ri-1阶导数在某一点取给定的一些值.这样的问题叫初值问题.3.验证函数y = 2 + cVr (其中C为任意常数)是微分方程(1 + = 2x的通解，并求出满足初始条件y (0) = 3的解.解：从函数方程解出C,得（y - 22)/(1 - x2) = c2，两边关于求导，得 2(1 - x)(y - 2)dy/dx + (y - 2)'x/l - = 0,经整理得微分方程（1 - ;c2)dy/da; + rry = 2a;.(注：一般的方法是将函数中的任意常数C解出，对0：求导后的微分方程就不含C 了）再由初始条件：3 = y (0) = 2 + C得C = 1，满足初始条件的解是y = 2 +4.验证ey - e- = c (这里c为任意常数)是否为方程，- “的通解.解：是.以expO表示指数函数.设由方程exp(y) - exp(x) = c决定了一个函数？/，即exp(y(;c) - exp(x) = c, 边对a;求导得，exp(y(x)dy/dx - exp(x) = 0,整理后就得 dy/da; = exp(a; - y),即含有一个任意常数C的隐函数exp(y) -exp=C满足一阶微分方程，按yp PXDI'7/) PXDI'-Mr 1 甬5.已知平面曲线上任一点的切线在两坐标轴之间的部分都等于定长Z，试求出此平面曲线应满足的微分方程.解：设（X,y)为切线上的点，过切点(x,y)的切线方程为r-y = y'(X-a;)，它与a:与y轴的交点分别为(jc y/y'，0)与2) - + 2y + 3xy = 0:d工(0,y - xy'),所以所求的方程为（a： - y/y + (y xy'f = P.6.已知平面曲线上任一点的切线与该点和原点的连线之间的夹角均为常g «,试求出此平面曲线应满足的方程. 一解：由题意，tan(arctany' arctan(y/x) = tana = k,故由三角公式得所求方程为iy' -yM = Ki + yy'/x).7.求出曲线族Or - ci)2 + y-= 4所满足的微分方程，其中Cl, C2, C3为任意常教.解：方程两边对求导一次得 - Cl) + 2(y - C2)y' = 0,再对a;求导一次得 2 + 2y'2 + 2y - C2)y，解出 C2: C2 = y + (1 + 对其关于T求导一次得所求的微分方程y' + (1 + y')/y"' = 0.8. 一个容器盛盐的水溶液100升，净含盐10千克.现以每分钟3升的流量注入净水使盐水冲淡，同时以每分钟2升的流量让盐水流出.设容器中盐水的浓度在任何时刻都是均勾的，求出任意时刻t容器中净盐量所满足的微分方程和定解条件.解：设在t分钟时净盐量为千克，定解条件为初始条件：x(0) = 10(千克)，在时刻t (分)时，水溶液体积为（100+ t)(升)，盐浓度为(千克/升)，按题意，净盐量变化率g 这就是所求的微分方程.9*.假设赛艇在水中运动时主要受到两个力的作用，即由于运动员划黎所产生的牵引力r和水的阻力D.记赛艇的速度为U.如果运动员和赛艇一起的总质量为m,运动员为赛艇提供的不变有Z功率为P，阻力与2成正比，试建立赛艇速度的运动方程.提不：Tu = p.解：设D = ku k是比例系数，由牛顿第二定律得运动方程，mdu/dt = p/u kv?.习 题1.2常数变易公式：一阶线性非齐次方程cb/dt + p0； = 的一切解可以表示为洲=m c+Jlqs)/hs)ds)其中ht)是对应的线性齐次方程cLc/di + p(t);c = 0的任一个确定的非零特解，可取ht) = exp( f -p(t) dt)中一个特定的函数.其中expO) = 表示指数函数.C为任意常数.注意公式中的两个函数必须取同一个函数.1.用分离变量法求解下列方程或初值问题：1)恙 + = 解：y = cexp(/e2zda:) = cexp(e2T/2)2) sec X tan ydx -h sec y tan xdy = 0解：原方程可化为tan yd tan a: + tanxdtany = 0，从而d (tan X tan = 0,积分得通解 tan a: tan y = c.3) Or + 1)惡+ I = 2e1解：将原方程化为（a;+ l)e"dy + (e" -2)dx = 0，进而化为(x + l)d(e" 2) + (e" - 2)d(x + 1) = 0,即 d(;c + l)(e" - 2) = 0，积分得通解 + 1) (e" 2) = c.4) + 32； = 0ax y解：将原方程化为6e3Tck: + 6yei2dy = 0，积分得通解2e3T - Se-y" = c.d工解：ft方程化为 dy dx = 0， 积分得通解e"-eT = c.6) x(l y)dy + ？/(l + x) da; = 0M- ajy 一 0 时，#方程化为+ l/x)dx + (l/y2 - 1/y) dy = 0.积分得通解l/a;+ l/y + lny/cx) = 0.还有两个特解，x = 0 Ry = 0,它们不包括在通解中.7) 3e® tan y dx + (1 e工）sec y dy = 0, y=7r/4M-将原方程化为-3tanyd(e®-l)+(eLl)dtany = 0,方程两边乘以（6工1)-4，得 d (e工l)"tan ？/j = 0,积分得通解（e® l)"tany = c,即 tany = c (e - 1),初值问题的解为 y = arctane - 1)/ (e if.8) xJ + y2 + yVl + = 0, y (0) = 1答：通解为 a/1 + ;c2 + + y2 = 初值问题的解为y = j(Vl + a? - 1 - "“i.9) (1 + x) y dx + a; (1 - y) dy = 0, y (2) = 0答：初值问题的_为y = 0 (不能从通解ln(a;y)/c) = y - x中得到).10) a;y (1 + ;c2)盖=1 + y2，y =0.解：将方程化为i(l + y2)/d(x2) = (1 + y'')/xl + 2)，分离变量得d(l + y2)/(l + y2) = 1/2 一 1/(1 + 2)d(a;2),积分得通解为5) p- = e-y(1 + X)1 + y2) = cx,初值问题的解为（1 + X)1 + y2) = 2a;2 解出 y得 y = 士(32 - l)/(a;2 +2.将卞列方化为爹量分离方程后求解：1) (x y) dx (x y) dy = 0解：将方程两边乘以2，再重新组合化为2xdx + ydy) -2 xdy -ydx) = 0,可见，可凑成微分d + y2) 2(x + y) darctan(y/a;) = 0，两边同 以 a;2 + 得：d(x + y)/x + y2) 2darctan(y/x) = 0，积分得ffl解：ln(x2 + ？_ 2arctan(y/x) = c,(注：本题是齐次方程，也可按齐次方程的通常解法求解，但较繁).2) da； + (a;2 xy) dy = 0M-将方程重新纟合化为y(xdy - ydx) + dy = 0,凑微分得-xy dy/x) + dy = 0,当；ry / 0 时，两边同除以;得：-dy/x) + dy/y = 0，积分得解：-y/x + ln(y/c) = 0,或化为y = cexp(y/x);还有特解= 0不包括在通解中.特解y = 0可以包含在通解的后一种形式中.(注：本题是齐次方程，也可按齐次方程的通常解法求解).3)化=V - xy xy +解：方程是齐次方程，引进新的未知函数U,满足关系式y = XU,对a;求导得关系式dy/da; = u + xdvx,将这两式代入方_，得:U + xdu/dx = (2u u)/l u + u),分离变量得：2/(u - 1) - 1/u - 3/(u - 2) du = 2dx/x, |r分得ln(u 1)2/(cu(m 2)3) = Inx",或化为(u 1)2 = cxuu 2),以 u = y/x代入得通知(y - x) = cyy - 2x)3,还有两个特解y = 0，及y = 2a;，它们不包括在通解中，分别对应于= 0和= 2 (注：与U = 1对应的解y = ;c可以包含在通解中（c = 0时).4) xdy/dx = xexp(y/x) y - x解：方程是齐?方变量代换y = XU,得变量分离方程= exp(w) + l,进而写成 d:c/a:+dexp(w)/(exp(w) + l) = 0，积分得：ln(x(exp(-u) + l)/c) = 0，代回原变量得通解:c(l + exp(-= c,5) x(ln X In dx = 0解：方程是齐次方程，用变量代换y、= xu得变量分离方程:xdu/dx = ul + In w)/lnti，7 1/e 时，化为：dx/x H- In wdlnii/(l + Inu) = 0，积分得 lnc;rw/(l + In w) = 0,代回原变量得通解cy = 1+ln-lnx,特y = x/e 4含在通扁中.6) dy/dx = 2x y - l)/x 2y 1)解：将方程化为微分形式并分组得：2x + l)dx+ 2y 1) d - (xdy- ydx) = 0，进而得d(x -y) - dxy) = 0, |R分得ffl解：(注:本题也可化为 g=y+i;后按齐次方程的解法来求解，但较繁).7) dy/dx = 2x + + 4)/(4x + 6 + 5)解：令 w = 2a; + 3y，故 du/dx = 2 + 3dy/dx = 2 + 3(u + 4)/(2w + 5),即cki)da; = (7u + 22)/(2w + 5), 7w + 22 = 0 bJ,得特解 14a; + 21y + 22 = 0，7« + 22 / 0 时，分离变量得2 - 9/(7u + 22) du = 7dx 积分得，2u-9/71n(7u + 22)/c = 7x,代回原变量整理得通解7(2y - x) -31n(14x + 21y + 22)/c = 0.另一形式为14a; + 21y + 22 = cexp(7(2y x)/3),特解 14;c + 21y + 22 = 0 包含在通解的后一形式中.8) dy/dx = (x + 1) + (4y + 1)2 + 8xy + 1见 dy/da; = (x + 4y + 1)2 + 2，故令 = a: + 4y + 1，从du/dx = 1 + 4dy/dx = 1 + 4(u + 2) = Av? + 9,即 du/da; = 4u + 9,分离变量得3d(2u)/(4w2 + 9) = 6dx,积分得：arctan(2w/3) = Ga; + c，代原变量整理得j_解 arctan(2;z; + 8y + 2)/3) = 6x + c.Q、r 7/ /r T f 7/ / f T?/ -U 、解：将原方程化为 Ci(y3)/d:r = 3(y3)2 2x2/(2xy3 +得齐次方程 clu/cLc = 3(t|2 - 2x)/2xv + a:。)，故令 对 a；求导得 dti/da; = u + xdu/dx = Zv? - 2)/2u + 1).即得变量分离方程xdu/dx = (u- 3)(u + 2)/(2u + 1)，分离务量得7/(u-3) + 3/(u+2)du = Mx/x.积务得 71n |u 3| + 31n |u+2| = 51n(cx).k 回原变量得通if (y - 3x)(y3 + 2xf = cx.胜:）应年 u = 3 左u = -2的特解包含在通解中).10) dy/dx = (2a;3 + 3xy + x)/3x'y + 2y y).解：将原方程化为d(y2)/d(x2) = 2(x2 1) + 3(y2 + 1)/3(2 - 1) + 2y + 1).从而可令w = a;2 - 1，"u = y2 + 1，原方程化为齐次方程clu/du = 2u + 3v)3u + 2v),令 = uw,对 u 求导得，dti/cki = w + udw/du = 3w + 2)/2w + 3).即得变量分离方程udw/du = 2(1 - w)(2w + 3).分离变量得l/w + 1) h/w 1) du) = 4du/u,积分得：ln|«+l|-51n|u;-l|=41n|u|+c,代回原变量整理得通解(y2 一 p + 2)5 = c(x2 + y2).(注：对应于w = 1的特解包含在通解中）3.用常数变易公式求解下列（可化为）线性方程或Bernoulli方程的通解或初值问题：1) dy/dx = y + sin a;解：取线性齐次方程dy/cLc 1 = 0的一个特解/I=exp(x),应用常数变易公式得：y = exp(x) c + f sin x exp(x) dx = cexp(x) (sinx + cos x)/2.2) dx/dt = exp(2t) 3x解：取对应的齐次方程的一个特解为/i(t) = exp(-3t)，应用常数变易公式得：X = exp(3t)c + /exp(5t)dt = cexp(3t) H-exp(2t)/5.3) dy/dx ny/x = exp(x)备 y = xc + exp(x).4) dy/dx + (1 2x)y/x 1 = 0解：取对应的齐次方程的一个特解/i(x) = x2exp(l/x),应用常数变易公式得 y = x2exp(l/x)c+/exp(-l/a;)d(-l/x) =xcexp(l/x)+l.5) dy/dx = y tanx + cosx解：取对应的齐次方程的一个特解为= 1/cosx = secx,应用常数变易公式得 y = secxc + f cos X dx = (x + 2c) secx + sin x/2,6) dy/dx y = 2xexp(2x), (0) = 1答:解为y = cexp(x) + 2x - l)exp(2x),初值问题的解为y = 3exp(x) + 2(x 1) exp(2x).7) xy In y dx + In y) dy = 0M-方程两边同乘 2/y 方程化为 lnyd(a;2) + 2x' - Iny) dlny = 0，y 7 1时，进而化为线性程d(a;2)/dlny + 2;r2/lny = 2，利用常数变易公式得通解，= c/ln2y + 2/3Iny,特解y = 1木包含在通解中.8)dy/dx + 2y/(a; + 1) = (x + 1)3參:y = cx + l)-2 + (x + 1)4/6.9)同例1.6，略10) dy/dx + xy =解：是Bernoulli方程，当y / 0时，先将它化为线性方程d(y"2)/dx = - 2a;3，应用常数变易公式得通解为y-2 = cexp(x2) + + 1,还有特解y = 0 (不包含在通解中).11) dy/dx = l/xy + x'y)解：将自变量与因变量交换得Bernoulli方程g 将它化为线性方程dOr-2)/dy = -2yx- - 2y从而应常数变易公式得通解：= cexp(-y) + 1 -12) dy/dx = x3x + exp()解：将方程化为线性方程dexp(i)/d:c + 3exp(-W/;z: = -1/x,应用常数曼桌公式而得ffiif exp(-y) = cx-3 - (2x)-13) jdx = (34 + y3) j解：是Bernoulli方程，可化为线性方程<1(3)/da: - 33/x = 3x,积分得通解：y3 = cx + 3x.14) dy/dx = l/(xcos + sin 2y)解：将自变量与因变量交换得线性方程Cb/dy = xcosy + sin(2y),取对应的齐次方程的一个特解为； = %)=611)(31112/)，从而应用，数变易公式得 a； = 2exp(siny)c+ /siny exp(- siny) dsiny,积分得通解：=cexp(siny) 2(1 + siny).4.利用全微分方程(题1-6，12)和用积分因子方法，(题7-11)求出下列方程的解1) (2 + y) dx + (x 2y) dy = 0M-将方程分为（;c2da; - 2ydy) + (yda; + a;dy) = 0，凑微分得dx - 2ydy) + dxy) = 0,积分得通解：x/3 - + xy = c.2) exp(dx H- (1 xexp(y) dy = 0舍方程分组为（expii)d;z:-a;exp(i)dW + dy = 0，凑微分得d(xexp(-) +dy = 0，积分得通解：xexp(-y) + y = c.3) (y 3x) dx (Ay x)dy = 00'将方程分组为O/diT + a;办）-(3xdx + 4:ydy) = 0,凑微分得dxy) - dx + 2力=0，积分得通赫：xy - - 2y = c.4) (9x + 1) dx Ay x)dy = 0解：将方程分组为(9a；2 - 1) dx - 4ydy + ydx + xdy) = 0,凑微分得 d(3;c3 - X - 2y2) + dxy) = 0，积分得通If: - x - 2y' + xy = c.5) y_i smx/y) yx' cosy/x) + 1 dx+ |x_i cosy/x) xy' smx/y) + ？dy = 0解法一：记 M(a;,y) = y"sin(x/y) yx' cosy/x) + 1，Nx, y) = ；r_i cosy/x) xy' s'mx/y) +可得dMx，y)ldy = dNx,y)/dx,因此方程是恰当的.设其积分为 Ux，y) = C,贝Ij dUx,y)/dy = Nx,y),关于 y 积分，得U(x, y) = Ja; cosy/x) xy' smx/y) + y'dy=sin(y/a;) cosx/y) 1/y + cx)其中C(;r)是待定的的函数.为求c(;c)，利用恒等式dUx,y)/dx = Mx,y),可得 c'(a;) = 1，故可取 c(;c) = x.所以积分为Ux,y) = c，其中 Ux,y) = smy/x) - cosx/y) - 1/y + x.减法二 ：将微芬；程组合为sinO/yj/ycLc - ;rsinO/y)/y2cly+ -y cosy/x)/dx + cosy/x)/x dy + dx + 1/y dy = 0,凑微分，积分得：-cosx/y) + smy/x) + x - l/y = c6) 2xy exp(x) 1) dx + exp(x) dy = 0M-於原方程化为ycl(exp(;c2) + exp02)dy - 2;rda; = 0，凑微分得d(yexp(a;2) -d(x) = 0，积分得通解 yexp(;c2) - = c,或解出显函数形式:y = (c + x2)exp(-x2).7) (exp(x) + 3y2) dx + 2xy dy = 0M-将程分成（3y2 ckc + 2;cy dy) + exp(x) da; = 0,凑微分得；r-2d(a;3y2) + expO) da; = 0,可见积奋自子可取为；r2，从而化成全微分方程 d(;c3y2)+2;2 exp(a；) dx = 0，积分得通解;r3y2+exp(a;)(x22a;+2) = c.8)(工2 1_ | xy 0解：将方程分组成（a；2 + a；) dx + y dx + xydy) = 0,凑微分得x + x) dx+ (2a;)"i dxy') = 0,可见积分因子lT敢为12;r，从而化成全恤分方程 12a;(;c2+a；) cl;r+6d(a;2y2) = ，积分得通解 3;r4+4;r3+6a;2y2 =。9) x + 2y) dx + a; dy = 0M-将方I呈分组成；rcla;+ 2ydx + xdy) = 0,凑微分得xdx + x'dx'y) = 0,可见积分自子可取为3;c，从而化成全微分方程3x dx + 3d(a;2y) = 0,积分得通解 a;3 + 3xy = c.10) (2xy + y)dx xdy = 0解：将方程务组成2a;y2d;c + ydx -xdy) = 0，凑微分得2xy2dx + y'dx/y) = 0,可见积分因子可取为jT2，从而化成全微分方程2a;d;c + d(;r/y) = 0,积分得通解cc + x/y = c,还有特解y = 0不包含在通解中.它是原方程两边除以零而丢失的解.11) x(x j- j 一 X = Q解：将方程分组成办2 + p2)dx - (xdp - ydx) = 0，凑微分得x(x + dx (x + y) darctan(/x) = 0，可见积分因子可取为-2)02 + y2)，从而化成全微分方程2:cd:c + 2darctan(y/;r) = 0，积务得通解+ 2 arctan(y/x) = c.12) 2xy dx + y_4(以2 dy = 0.解：将方程化为y-3cl(;r2) + a;2d(y-3) - d(y-i) = 0,凑微分得dy-x') d(y-i) = 0, |R分得通解 y-i =5.求解下列隐方程：1) y'2 - 3y' + 2 = 0解：分解因式得（y' l)(y' 2) = 0，故由y' = l，得通解y = a; + c，由 y' = 2，得通解 y = 2;r + c.2) y = 2xy' +解：引进参数P = y'，方程可写成参数形式y' = p, y = 2xp + a;2p4， (2)为消去变量y，将式对a;求导后减去（1)式，得P，与a;的微分方程 2p + 2xdp/dx + 2xp' + dp/dx p = 0,整理得(1 + 2ccp3)(p + 2xdp/dx) = 0.由 1 + 2xp = 0，解出 p = 代入(2)式得I寺解 y = -3/4(4a;2)V3 由p + 2;cdp/da; = 0，积分得P = c(士a;)-"2，入式得通解：y = 2c(士;r)"2 + c4.(注意：求出p后不能代入式再积分，否则会得到一个不是“任意的”常数的解，因为得到的解还必须满足式）3) xy'' = l + y'解：令dyAk;= l/t，则得参数形式的微分方程X = t + dx/dy = t,为去变量；r，将前式对y求导后减去后式，得 t，与 y 的微分方程 <y2t2 + 2t)(it/dy-t = 0,即 dy = (3t+2) dt,积分得y = 3tV2+2i+c，从而得参数形式的通解：X = y = 3i2/2+2i+c.4) y'2 + (x + y) y' + xy = 0M-分解因式得（y' + x)y' + y) = 0，故由y' = -x,得通解y = -x/2 + c，由 y' = -y,得通解 y = cexp(-a;).5) y = 2xy' + x/2 +解：引进参数P = y'，方程可写成参数形式y' = p, y = 2xp + x/2 + p2 = (p + a;)2 x/2. (2)为消去变量y，将式对a;求导后减去（1)式，得P，与a;的微分方程 2(p + x)dp/dx + 1) - X - p = 0,整理得（a; + p)2dp/dx + 1) = 0， P = -X,代人式得特解：y = -x/2, 2dp/dx + 1 = 0,积分得V = -a/2 + c,代入(2)式得通解：y = x/2 + c) x/2.6) y = xy' + y' M'-是Clairaut方程，故通解为y = ca; + c - c2，两边再关于c求导得，0 = a; + 1 - 2c，即c = Or + l)/2,代入通解表达式得特解y = (x + 1)2/4.7) y'2 + 2xy' + 2y = 0解：引进参数p = y'，方程可写成参数形式2/' = P, 1 2y = -xp - -p , (2)为消去变量y,将式对a；求导后减去（1)式，得P，与a;的微分方程一一；'一#一 = 0，卢0时，将它改写成以为自变量的线性方程 daj/dp = -x/2p) - 1/2，它的通解是 x = c(±p)/ - p/3,代入得参数形式的通解 a； = C(士p)-i/2 p/3, y =干c(土p)i/2 p2/6.当 p = o时，得特解y = o.8) + y'2 = 1ftf：令a：； = sini，t e -7r/2,7r/2,得参数形式的微分方程X = sint, y' = 土 cosi，消去 a: dy = y'dx = 土 cosidt，积分得参数形式的通解：X = sint, y = ±2i + sin(2i)/4 + c.9) y'3 + y3 gyy' 0解：令y = y't,代入方程得y' = 0或y' = 3t/(l + (3)，从前者得特解y = 0，从后者得参数方程组V = 3tV(l +力3)，y' = 3t/(l + i3)，再由dx = dy/y' = (1 + t)/(3t) dy = -1 + 3/(1 + t) dt=-1 + 1/(1 + t)-it- l/2)/(i2-t+l) + 3/(2(2 - t + 1) dt.积分得参数形式的通解：a; = t + In± (1 + t)arctan (亡厂）+321 + t310) y = exp(y')y'2解：引进参数P = y'，方程可写成参数形式= p, y = exp(p)p2. (2)为消去变量y，将式对a；求导后减去（1)式，得P，与a;的微分方程故(exp(p)p2 + 2pexp(p)p' - p = 0,整理得 p(l - exp(p)(2 + p)p') = 0，由P = 0, iXA (2)式得特解 y = 0，由（1 - exp(p)(2 + py) = 0 得参数形式的通解X = (p + 1) exp(p) + c, y = exp(p).6.已知/> 0在(0, +oo)上连续且/ (x) j /di = 1, a;0，试求/的表达式. 1 °Jo J x)p (:)，积分得/2 (x) = 2$ + c,代入原方程得c = 0，故/=解：将方程化为f f t) dt = 两边对a；求导得：fx)=7.假设a:'(0)存在，试求满足, 、 X (t) X (5)的函数a;.解：令t = 0，S = 0，得 a; (0) = 0，因此,/、 X (t+ s) X (t)=1 + ?1 sl-xit)x (s).=1 +趣!宇=l + (0)即；满足微分方程a/=x' (0) l + a:2，积分得arctan(x) = a/(0)t + c,艮fl x (t) = tan x' (0) i + c)，再由 a: (0) = 0 得 c = 0，故得戶if条函为a;= tan(;c'(0)t).8.求一曲线，使得在它上面任一点的切线介于坐标轴间的部分被切点所平分.解：设在直角坐标系o:Oy中曲线的方程为y = yx),在点Or,y)的切线与a；轴，y轴组成的三角形中，由题意三角形的高等于2|y|，底等于2|4因此a; = -y,积分得ajy = C，C / 0.9.设函数在（-oo,+oo)上连续，xt)不恒为零.a:'(0)存在，且满足条件a;(i + S) = xt)xs),试求ib函数.解：令 t = 0，S = 0，得 a;(0) = 0，或 a;(0) = 1，可见当;r(0) = 0 时，xt) = xt)x0) = 0，故只考虑 a;(0) = 1 的情况，/ /、 ， x(t s) X (t) ,、， X (s) 1 ,、，、X (t) = lim-= X (t) lim-= X (0) x (t),sO S sO S即a;满足微分方程a：'=x' 0)xt),积分xt) = ce (D)t，再由a;(0) = 1得c = 1，故所求函数为=e0)t10.写出方程 M x,y) dx+Nx,y) dy = 0 具有形为 pO±y)，/u(xy),的积分因子的充要条件.答：因为 M(;r,y) dx + Nx,y) dy = 0 具有形如 /x(/9 0r,y)的积分因子的充要条件是：仅是中的函数.所以方程有形如H(:e±y)，II (xy), /x (a:2 ± y2)的积分因子的充要条件是My Nx My Nx My Nx A 口 ii /x7 曰 _L 2 I 2数.11. Mx,y),Nx,y)都是;c，y的连续可微的m次齐次函数，m 1.记U (x,y) = xM x,y) + yN x,y),证明10咖和1上:w(:)x'(t) = lim IVW 6M7x±y,xy,x ±y _1) xMx + yMy 三 mM (x, y)， xN + yNy 三 mN,2若M (x,y) dx + N x,y) dy = 0为全分方程，则其通解为U x,y) = c.3)/u(a;,?/)=土 没)是方程 M (x,y) dx + x, y) dy = 0 的积分因证：1)因M(a;,y)是;r，y的m次齐次函数，即对于任何i0，成立恒等式M(te，iy) E严M(;r,y).由M的可微性，两边对i求导，得xM'i tx,ty) + yM2 tx,ty) = mt饥丄M x, y),其中 tx, ty) tx, ty)分别表示函数对第一、第二个自变量求偏导数.令上式中t = 1即得证.同理可证关于iVOr,y)的恒等式.2)因m / -1，原微分方程等价于（1 + m) (Mdx + Ndy) = 0，又因Md;r + 7Vdy = 0为全微分方程，所以My = N工，则 dU = Mdx + Ndy + xMx + yN) dx + xMy + yNy) dy,又因Md;r + 7Vdy = 0为全微分方程，有Mj = iVi，所以dU = M (x, y) dx + M (x, y) dy + xM； + yMy) dx + xN + yNy) dy,再因M(;r,y)，iV(;c，y)都是a;，y的m次齐次函数，所以由1)得dC/ = (1 + m) (Mdx + Ndy),即 C/(a;, y) = c 是方程的通解.3)由积分因子的定义，只要证明= 0即可.ay ox求导得= YU (My N。+ NUf MUyU (2)其中Ux = M + xMx + yNx-, Uy = N xMy + yNy, (3)将(3)代入(2)整理得= 2 (* + yMy) - M xN, + yNy) （4)再将代入得，U ax = 0.证毕.12.已知下列Riccati方程的一个特解(i?(a;)，试求出其通解：1) y'Q-工 _j_ '2yQ = 1 0 ip(x' = e工·解：令y = e® + u代入方程得未知函数u的方程u' = e,积分得u = e” + c，因此原方程的通解为y = e” + (e” + c)"2) y' + 2y sin x = cos x sin x, x) = sin x :解：$y = sina; + z_i，代入方程得未知函数的方程= 1，积分得= a: + c，因此原方程的通解为y = sina; + (x + c)"3) 4a;2(y y2) = 1 ¥?(x) = :解：令y = -(2十1 + u-代入方"k得未知函数u的方程u' = x"u - 1，积分得u = -xln(cx),因此原方程的通解为y = 2x) xlncx).11ay4) xy' + (xy 2)2 = 0， ipx)=-:解：令y = x-+u-代入方程得函数w的方程v! = -x-iu+1,积分得u = ；r-i(c+a;2/2)，因此原方程的通解为y = x-+xc+x'/2)-.5) y' = x - l)y2 + (1 - 2x)y + x, ipx) = 1.M-令y = 1 + u-i,代入;程得未知®数U的方程= W + 1 - a;，积分得U = e(c + xe"),因此原方程的通解为y = 1 + (ce + a;)".13.求出logistic方程的初值问题H T T= rx(l-), a;(0) = xo / 0, 00,;/是常数）at Xf解a:，并算出+lim xt)的值和说明其实际意义.解：这是n = 2时的Bernoulli方程，除了平凡解a: = 0外，其解可写成形式xt) = 、 XoJ故可见IhjiOO xt) = Xf,说明了只要;c(0) + 0，任何解cc趋向平衡态14*.求出初值问题HA*at的解fc(M)，其中/=akl为Cobb-Douglas生产函数，这里(x0，0</3<1均为常数：算出koo(s) = lim kt, s)和时间无限增大时的tOO人均消费Coo(S) = (1 - s)/(fcoo(s),由此求出使得Coo(S)达到最大值的S值，从而验证资本积累的黄金准则/'(fcoo(S) = p的正确性.解：这是n = /3时的Bernoulli方程，除了无实际意义的平凡解A:三0外为k"t，s) = ki。-I昨 + j(l- e-"(i-"” .所以 1fcoo(s) = lim k(t, s)=()",tOO IJ' / if-Coos) = (1 s)f koos) = a(l s) J .求它的最大值可得,当s = /?时取最大值maxcoo(s) = al-f3) i_"，容易验证资本积累的黄金准则/'(Aoo）= /U的正确性.15*在习题1.1的第九题中，当赛艇从静止状态开始运动时，求出其运动速度U与时间t的关系，并说明其实际意义.12 = sf(k) - Ilk, k(0) = koE+00t +解：记a = (:pA)i/3，则方程可化为 2 (2u + a) 3a. . 6ka .u a + au + m积分并利用初始条件u(0) = 0,得解为u + au + a TT .2u + a 6kat丄 II -；-77：-十“1= Zy O cirCtciIl( -；=- I -.可见，当时，u 4 a.说明了最后随着速度的增加，阻力增大，牵引力减少，最终趋于年命，速ik舊于一个定值a.13 I -丄 2 =-(u - a)2 V3 Vsa m习 题1.31.求出初值问题'=工+ ?/2,?/(0) = 0的第三次近似解(3 0).11(、 - 1 - 1 -2 20 160 44002.证明 Bellman 不等式：设常数 k > 0, f (x) > 0,和(a;)在a,/?上连续，且满足不等式PXipx) <k+ / f s)ips) ds, a < X < P,J a.试证： 1if (x) < ke-la / ds， a < X < p.证：令 0Rx)= f(s)ip(s)ds，J a.则= / (x) < kf (x) + fx)R (x).不等式两边同乘以指数函数expCLT/(s) dd可得dxexp - / f (s) d5 R (x)kf (x) exp / fs)不等式两边从a到a:积分得：exp ( f: f (s) ds) R (x) < f: kf (t) exp ( /f (s) ds) dt=-/cexp(-/(s) ds) IS = 1 -exp(-/(s) ds),不等式两边 乘以 exp 士/(s) ds)得 i?(X) < k exp (/ / (s) ds) - 1.从而(p g + R g exp (/ / (s) ds)， a < X < j3.3.设/Or,y)在区域G内连续且对y是单调不增的，试证初值问题y' = f(x,yb(xo>Vo的右行解是惟一的.证：用反证法.若右行解不惟一，则存在初值问题的两个解:(x), 2 (a；),使得在这两个解的共同区间；C(),6上是不恒等的.令(5 (x) = ip2 (x) - (fi (a;) 2，则d卞)=2 ip2 0) - ifi (x) / (x, ip2 (x) - f (x, (fi (x) < 0, xo<x<bax即5(2；) S 0, a:;o S a：； S所以0) = 0，与假设矛盾.证毕.4.假设 /(;c，y)在 G = x,y) a < X < (3, y e R上连续，且关于y满足Lipschitz条件，(Lipschitz常数为试证初值问题y' = fx,y),yxo) = yo的If在整个区间a,/3上惟一存在.证：在解的存在惟一性定理的证明中稍作修改就可证明在本题的条件下，解的存在区