高数考研视频笔记

. . . . . 文登考研高等数学笔记研究对象：函数。研究方法：极限研究思想：以不变代替变，消除误差取极限研究容：微积分：一元函数微积分通过 空间解析几何转化为多元函数微积分以与其实际应用；应用：无穷级数和常微分方程；一元函数微积分：一元函数微分学函数、极限和连续、导数与微分、通过中值定理4个这座桥实现导数与微分的应用+积分学不定积分、定积分与反常积分、应用维数增加多元函数微积分：微分学：函数、极限和连续、偏导数，全微分、二元函数泰勒公式【未考过】、极值应用+积分学：重积分二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分、重积分应用、无穷区域上的二重积分【可能在概率统计二维随机变量考】注：一元函数微积分与多元函数微积分学之间的联系与差异。课程讲解局部函数、极限、连续一、 函数1. 概念：x属于I，有f=fx对应法那么后，y属于D；定义域、y=fx，y=f+表示同一函数关系、由实际问题所建立的函数【重点】2. 性质奇偶性：y=f(x),x属于-t，t，偶函数图像关于y轴对称，y=f(x)=f(-x);奇函数图像关于原点对称，y=f-x=-f(x);注：1、f(x)=1/2f(x)+f(-x)+1/2f(x)-f(-x)2、奇偶性在求导，积分中的应用周期性：存在T>0,f(x+T)=f(x),那么fx周期为T的周期函数注：周期性在求导函数特性以与积分中的应用。增减性：假设x1<x2,有f(x1)<f(x2),那么单调增；或f(x1)>f(x2)，单调减;注意大于等于，小于等于的情况 注：1.函数的增减性与讨论的区间有关。 2.利用导数的符号判定增减性后讲 3.增减性是证明不等式的一个重要工具后讲4.有界性，假设存在f(x),对任意的x属于I，存在M>0,使得|f(x)|<=M,那么f(x)在I上有界。 有上界，f(x)<=M;有下界：f(x)>= -M5.单调增有上界，单调减有下界；有界与讨论的定义域区间有关，可与求函数的最大值和最小值，极大值、极小值相关联起来。3函数的分类 1.反函数；y=f(x) > x=f-1(y) 存在性：为单调函数 注：y=f(x)和x=f-1(y)是同一个图形，代表同一条曲线，y=f(x)和y=f-1(x)是关于一三象限角平分线对称的3. 根本初等函数(*)指数函数、对数函数、三角函数，反三角函数要求必须要求对这积累函数的定义域、值域、特性要非常清楚。列： y=e1/x2arctan (x2+x+1)/(x-1)(x-3)的垂直渐近线有几条？解：垂直渐近线是无穷连续点对应的。有x>定值时。Y>无穷。这里需要注意的是：因为arctan x是根本初等函数有界的。没有无穷连续点。故这里只有一条垂直渐近线。4. 复合函数；y=f(u),u=g(x),那么y=fg(x)是复合函数，并非任意两函数均可复合，且考研考将复合函数拆成多个函数，即：复合函数的求导。5. 初等函数；经过有限次四那么运算或者复合构成；6. 参数方程 x=x(t),y=y(t)；得出y=y(x)【2010考了参数方程求导】7. 隐函数，Fx,y=0；这里与微分方程可联系起来。8. 分段函数【*】每年必考；包括4类：考求导、积分、解微分方程1分段定义的函数2y=|f(x)|等形式3y=maxf(x),g(x);x属于a,b等分段定义形式4y= f(x) 取整函数二、 极限1.定义：数列极限、函数极限定义，看懂书中例题即可。2000年之后没考过 注：是任意的，、N存在、不唯一，=(),N=N().等价于存在>0,对任意的N>0，可以找到某个n>N,使得|Xn-A|>= 极限由变化过程【对自变量而言，N和】以与变化趋势【对函数而言】例如：错解：消除无穷大因子；即可分子分母同除X2即可，结果为2.【但是结果是错的，因为没考虑变化过程，x<O的】可有一个负号。正解：前面都有一个负号，结果为0单边极限，即左极限和右极限；f(x-0)和f(x+0)。极限存在的充要条件：左右极限都存在且相等；同理：f()=f(-)=f(+)=A2极限的性质； 1唯一性 2局部保号性；假设=A>0(A<0),那么一定存在X0的去心邻域，有f(x)>0【f(x)<0】；极限大于0，那么函数大于0例如：设Y=f(x)在x=a附近连续，且=1,那么 DA f(a)不存在B f(a)存在，但不为0C a为fx的极大值点D a为fx的极小值点分析：=1>0，那么一定存在a的去心邻域，在其，有>0,即f(x)>f(a),故a为极小值点。注：如果f(x)在x=X0与其附近有定义，f(x)>0(<0),且存在，那么A3局部有界性：f(x)极限存在，在X的某一去心邻域，那么f(x)有界.例如：y=f(x)=在下述哪个区间有界？AA-1,0 B0,1 C(1,2) D(2,3) 6.无穷小的比拟,假设（1） k,且k为常数，称f(x),g(x)为同阶无穷小；（2） k=1，那么称f(x),g(x)为等价无穷小，f(x)注：等价无穷小具有f(x)；f(x) => g(x);以与，翻身性，对称性传递性（3） k=0时，f(x)是比g(x)高阶的无穷小，即f(x)=o(g(x)（4） k=无穷大；f(x)是比g(x)低阶无穷小注：假设存在f(x)是g(x)的t阶无穷小。无穷小与函数之间的关系；假设limf(x)=A，那么 f(x)=A+；其中lim x=0;利用无穷小的等价求极限。7.两个重要极限(1) (夹逼定理)推广：lim ? =0;那么 lim ； 型；学会配分母。凑成重要极限形式；需要注意常见的几个等价无穷小(2)均可推广：假设lim ?=0;那么lim 三、 连续1. 定义等价定义定义1，设f(x)在X0与其附近有定义，>y的增量=f(X0+)-f(X0),假设,那么称f(x)在X0点连续。定义2：假设,称f(x)在x=X0点连续。【极限值等于函数值】注：1 那么f(x)在X0点左连续。 那么f(x)在X0点右连续。2假设f(x)在a,b点点都连续，那么称f(x)在此区间都是连续的。3假设f(x)在a,b连续，在x=a右连续，在x=b左连续，那么函数f(x)在a,b上连续2.连续函数的运算注：根本初等函数在其定义域都是连续的。初等函数在定义区间连续，在定义的点不一定连续；如：y=arc sin(x2+1),在x=0不连续【因为在0附近没有定义】2. 连续点【不连续的点】F(x)在x=x0连续，意味着：1f(x)在x0处有定义2存在3等于函数值f(x0)如果f(x)在x0处有以上三条至少有一条不成立，那么那么x0称为f(x)的连续点；注：连续点的分类：x0为连续点1.假设f(x0-0)，f(x0+0)存在，那么x0称为第一类连续点；特别的；假设f(x0-0)=f(x0+0)f(x0)，称x0为可去连续点；假设f(x0-0)f(x0+0)，称x0为跳跃连续点2.假设f(x0-0)，f(x0+0)至少有一个不存在，那么属于第二类连续点。Y=sin1/x：在x=0处是震荡型连续点，y=1/x在x=0处是无穷连续点。注：无穷连续点在求垂直渐近线、反常积分中的应用。例如：设y= 的无穷连续点有：解：化简为y= 有1个连续点，x=-1,因为当x->0时极限是存在的。4.闭区间上连续函数的性质。设y=f(x)在a,b上连续，那么：【一定是闭区间上的】(1) y=f(x)在a,b上必有最大值和最小值。即存在x1,x2属于a,b，对任意的x属于a,b，有f(x)<=f(x2),f(x)>=f(x1)。最大值和最小值是唯一的，但是取得最大值和最小值的点是不唯一的。假设最大值和最小值相等，那么为常数函数。(2)介值定理：f(x)必能取得介于最大值和最小值之间的一切值。注：1、闭区间上的连续函数一定是有界的。因为有最大、小值2、f(x)在a,b上连续，f(a)f(b)<0那么至少存在属于a,b使得f()=0【零点定理】典型例题设xn,yn,那么成立的是：DA，假设xn发散，那么yn必发散B假设xn无界，那么yn必有界C假设xn有界，那么yn必为无穷小D假设无穷小，那么yn比为无穷小解析：可举例说明选项即可。,故D对。3. 证明a>0存在证明：1.单调有界。2.夹逼定理Yn=;那么存在N>0,使得n>N时，,即n>N时，yn<yn-1,即yn是单调减小的。【现在看是否有下界】；又因为yn>0，故0为下界，故极限存在。且极限为0；单调有界数列必有极限适用于有递推公式的数列。4. 求解：利用夹逼定理；<=因为两边极限都是1，故原极限是15.求极限1 (2)解：1分子有理化；=(2)通分化简即可。解：通分化简即可得答案：例：在x>0+时，与等价的无穷小是：BA1 B. C. D.1-常用等价无穷小【】 ln(1+x)等价于x； ,那么a为CA、 0 B 、1 C 、2 D 、3 解：例：求a解：拆底数；注：当m=n时，结果：当n>m时，结果：当n<m时，结果：0例：证明方程x-asinx-b=0,(a，b>0)至少有一正根，且不大于a+b.证明：令f(x)= x-asinx-b，那么f(x)在0,a+b上连续，而且有：f(0)=-b<0f(a+b)=a+b-asin(a+b)-b=a-asin(a+b)0;(1) f(a+b)=0，那么取根为a+b；(2) 假设f(a+b)>0,有f(0)f(a+b)<0;有零值定理得存在属于(0,a+b)使得f()=0;得证。例：设f(x)在上连续，且证明f(x)在有界。证明：存在，设|f(x)|<=A+1,又因为f(x)在上连续设|f(x)|<=B，取M=max|A|+1,B,那么对任意的x属于有|f(x)|<=M导数与微分一、 导数1. 定义：设f(x)在x=x0与其附近有定义，那么称y=f(x)在x=x0处可导，且极限值称为f(x)在x=x0的导数；记为，f(x0)、注：等价定义：; 单侧导数：f_ (x0)=; f+ (x0)=; F(x0存在f_(x0)=f+(x0).导函数f(x)在a,b点点可导对应的新函数，那么导函数f(x)。2. 几何意义：y=f(x)曲线在某点处切线的斜率。F(x0)存在，那么切线方程y=f(x0)+f(x0)(x-x0); ,假设函数不可导，在曲线在改点处任有切线的可能【尖点】。可导切线一定存在。3 可导与连续的关系：可导必连续，但连续不一定可导。典型例子：y=|x|,在x=0处连续，但不可导，切线也不存在。 可导：即：;注：（1） 设f(x)在x=0与其附近有定义，f(0)=0,且。证明：存在那么，存在，故f(x)在x=0处可导。（2） 设f(x)在x=0与其附近有定义，且f()存在，且f(0)=0,问f(x)在x=0处是否可导？解：这个极限f()存在只能保证f+(0)存在，因为>0恒成立。只能反映0+的趋向4求导法那么：四那么运算法那么略 5、反函数求导 y=f(x)，x=f-1(y).dy/dx=1/dx/dy;即：反函数的导数等于原函数导数的倒数。6.复合函数求导。一层一层求导。链式求导法。7.参数方程的导数。X=x(t),y=y(t),dy/dx=dy/dt dt/dx=y(t)/x(t)8.隐函数求导。【复合函数求导思想；将y看成X的函数，是一个中间变量。】注：根本求导公式要熟记。二、 高阶导数【导数的导数】三阶导数以上的导数为高阶导数注：1按定义求fx=,三阶导数以此类推(2)反函数的二阶导数 x= 那么【错误】 x= 【正确】 3参数方程的二阶导数 x=x(t) y=y(t) (4)的一般表达式 Sinx, cosx,ln(1+x),.以与莱布尼茨公式【略】三、 微分1.定义注：1可微与可导的关系【可导必可微，二者等价,且A=f(xo)】 可微:y=A+o(); 可导：y=f(x0)+o()求微分：dy=f(x0)dx;【注意这里的dx千万不能少】。问题：有意义吗？【有】微分的商。9 / 9