2020衡水名师理科数学专题卷：专题十四《计数原理》 Word版含答案

2020衡水名师原创理科数学专题卷专题十四计数原理考点45：排列与组合（1-6题，13,14题，17-19题）考点46：二项式定理（7-12题，15,16题，20-22题）考试时间：120分钟满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1、考点45中难某校高三年级共有6个班,现在安排6名教师担任某次模拟考试的监考工作,每名教师监考一个班级.在6名教师中,甲为其中2个班的任课教师,乙为剩下4个班中2个班的任课教师,其余4名教师均不是这6个班的任课教师,那么监考教师都不担任自己所教班的监考工作的概率为()7A.-15B.15C.15D.1511269261152952A.12B.24C.48D.7202、考点45中难某单位周一至周六要安排甲、乙、丙、丁四人值班,每人至少值一天班,则甲至少值两天班的概率为（A.B.C.D.3、考点45中难某同学有7本不同的书,其中语文书2本、英语书2本、数学书3本,现在该同学把这7本书放到书架上排成一排,要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻,则不同的排法种数为（）4、考点45中难一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有()种A.6B.12C.36D.725、考点45中难某种植基地将编号分别为1,2,3,4,5,6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的ABCDEF这六块实验田上进行对比试验,要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯,若种植时要求编号1,3,5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且2号品种的马铃薯不能种植在A、F这两块实验田上,则不同的种植方法有()A.360种B.432种C.456种D.480种6、考点45难2017年11月30日至12月2日,来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校(“全国理工联盟”)及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动,在数学同课异构活动中,7名数学教师各上一节公开课,教师甲不能上第三节课,教师乙不能上第六节课，则7名教师上课的不同排法有种()A.50407、考点46易B.4800C.3720D.4920(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为()A12B16C20D248、考点46易已矢口（1+x）10=a+a（1一x）+a（1一x）2+a（1一x）10，贝ya=（）012108A.-180B.180C.45D.-459、考点46易（2x-3y）9的展开式中各项的二项式系数之和为（）A-1B1C-512D51210、考点46中难已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=()A.-4B.-3C.-2D.-111、考点46中难（1An在二项式x2一一Ix丿的展开式中,系数最大的项为（）A.第五项B.第六项C.第七项D.第六项或第七项12、考点46中难233除以9的余数是（A.1B.2C.4D.8第II卷非选择题）、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13、考点45易用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,则其中数字1,2相邻的偶数有个.（用数字作答）14、考点45中难已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡、若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有种15、考点46易(1A5若ax2+j_INx丿的展开式中x5的系数是-80,则实数a=考点46中难16、（2x-l）n展开式中二项式系数和为32,则（2x2+x-1）展开式中x3的系数为三、解答题（本题共6小题，共70分。）17（本题满分10分）考点45中难“渐升数”是指除最高数位上的数字外,其余每一个数字比其左边的数字大的正整数（如13456和35678都是五位“渐升数”）.1. 求五位“渐升数”的个数;2. 如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列,求第120个五位“渐升数"18、（本题满分12分）考点45中难按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?1. 分成三份,1份1本,1份2本,1份3本.2. 甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本.3. 平均分成三份,每份2本.4. 平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本.19、（本题满分12分）考点45中难从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队1. 若要求服务队中至少有1名女生,共有多少种不同的选法.2. 若要求服务队中队长或副队长至少有1名女生,共有多少种不同的选法.20、（本题满分12分）考点46中难已矢口（3x一1）7=ax7+ax6+ax5+ax4+ax3+ax2+ax+a.012345671求a+a+a+a+a+a+a+a的值；012345672求IaI+IaI+IaI+IaI+IaI+1aI+IaI+1a丨的值；012345673求a+a+a+a的值13572 1、（本题满分12分）考点46中难已知在Jx3-的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是6:1Ix丿1求展开式中x11的系数；2. 求展开式中系数绝对值最大的数；3. 求n+9C2+81C3+9n-1Cn的值.nnn22、（本题满分12分厂考点46中难已知（2x+丄）n展开式前三项的二项式系数和为22.x1求n的值；2. 求展开式中的常数项；3. 求展开式中二项式系数最大的项.答案以及解析1答案及解析答案：A解析：对6名教师进行随机安排,共有A6种安排方法.其中监考教师都不担任自己所教班的6监考工作时,先安排教师甲,若甲担任教师乙所教的两个班中的一个班的监考工作时,教师乙有4种安排方法，其余4名教师可以任意安排，共有CiCiA4种安排方法;若甲担任甲和乙都244不教的两个班级中的一个班的监考工作时，教师乙有3种安排方法，其余4名教师可以任意安排,共有C2C3A：种安排方法，因此监考教师都不担任自己所教的班级的监考工乍的安排方i4A4730A4154i4A4法总数为C1C1A4+C1C1A4,故所求概率P=4244234A662答案及解析：答案：A解析：记甲值2天班为事件A，值3天班为事件B,每人至少值一天班记为事件O.C3C1C1C1C2C2C1C1m(q)-21A4+一21A4-480+1080-1560A34A2A24322C2C1C1C1C1C1m(A)-C2-42i-A3-540,m(B)-C3-32i-A3-1206A236A3323八m(A)+m(B)66011p(A+B)-巫-厉故选A3 答案及解析：答案：C解析：先将2本语文书看成一个元素,2本英语书看成一个元素,然后排成一排，有A2种不同2的排法，再将3本数学书插到这2个元素形成的3个空隙中，有A3种不同的排法，再排2本语3文书,有A2种小同的排法,最后排2本英语书,有A2种不同的排法,根据分步乘法计数原理,22得共有A2A3A2A2=48种不同的排法，故选Co23224 答案及解析：答案：B解析：由题意，若2辆不同的车相邻，则有1种方法若2辆不同的车不相邻，则利用插空法，2个相邻的停车位空着，利用捆绑法，所以有(4：+=8'种方法综上，共有12种方法所以B选项是正确的.5 答案及解析：答案：A解析：由容斥原理，全排减去2站两端的，再减去，1，3，5不相邻，再加上2站两端且1，3，5不相邻，所以N=360类:恰两个相邻，选1,3,5中3个选两个排，再与另外4,6,排,最后插入2,不插两端,方法数A2(A2C1C1C1+A2C1C1+A2A2C1)=72,二类，三个相邻，1,3,5捆绑32223245223在一起，再与4,5排,最后插入2,不插两端,方法数AA33C2=360-考点:容斥原理，排列组合问题。6 答案及解析：答案：C解析：7 答案及解析：答案：A解析：由题意得x3的系数为C3+2C1=4+8=12，故选A.448 答案及解析：答案：B解析：9 答案及解析：答案：D解析：10 答案及解析：答案：D解析：11 答案及解析：答案：C解析：依题意可知T=Cr(-1)rx22-3r,0J厂J11,reZ,二项式系数最大的是C5与C6,r+1111111所以系数最大的是T=C6，即第七项.71112 答案及解析：答案：D解析：233=(23)1=(8)1】=(9-l)n=C0(9x(-1)°+C1(9)10x(1>+.C10(9>x(+Co(9)ox(l111111111,分析易得，其展开式中Co(91x(1+C1(9>0x(1>+.C1o(9>x(1>0都可以被1111119整除,而最后一项为C0(9)ox(1>1=1,11则233除以9的余数是8,故选D.13 答案及解析：答案：24解析：可以分情况讨论:若末位数字为0，则1,2为一组，且可以交换位置，3,4各为1个数字，共可以组成2-A3二12（个）五位数;若末位数字为2,则1与它相邻，其余3个数字3排列，且0不是首位数字，则有2-A2=4（个）五位数;若末位数字为4，则1,2为一组，且2可以交换位置，3，0各为1个数字，且0不是首位数字，则有2（2-A2）=8（个）五位数，所2以全部合理的五位数共有24个.14 答案及解析：答案：20解析：当乙选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+OC1=5，而乙选择支付宝时，丙丁也可以都选微信，或者其中一22人选择微信，另一人只能选支付宝或现金，故有1+OC1二5，此时共有5+5=10种，22当乙选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C1C1=5，而乙选择微信时，丙丁也可以都选支付宝，或者其中一人选择支付22宝，另一人只能选微信或现金，故有1+C1C1=5，此时共有5+5=10种，22综上故有10+10=20种，故答案为20.15 答案及解析：答案：-2解析：ax2+的展开式的通项为T=Cr（ax2r-Cr（ax2r-X-2=Ca5-r，VQx丿r+1555令10-r=5，得r=2，2所以C2a3=-80，解得a=2.516 答案及解析：答案：-30解析：由（2x-l）n展开式中二项式系数和为32,可得2n二32，解得n=5,Gx2+X1）=（x+1）5（2X1）5,根据二项式定理可以求得（x+1）5的展开式中，三次项、二次项、一次项系数和常数项分别是10,10,5,1,（2x1）5的展开式中，常数项及一次项、二次项、三次项的系数分别是-1,10,-40,80,所以展开式中x3项的系数为-10+100200+80=30.17 答案及解析：答案：1.126;2.36789解析：1.根据题意,“渐升数”中不能有0.则在其他9个数字中任取5个,每种取法对应1个“渐升数”，则共有；=126个五位“渐升数2对于这些“渐升数”，1在首位的有=70（个），2在首位的有=35（个）,3在首位的有-'=15（个）.因为70+35+15=120，所以第120个“渐升数”是首位为3的最大的五位“渐升数”.为36789.18 答案及解析：答案：1无序不均匀分组问题先选1本有C1种选法;再从余下的5本中选2本有C2种选法；65最后余下的3本全选有C3种选法.故共有C1C2C3=60（种）选法.36532. 有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人，在1题的基础上，还应考虑再分配，共有C1C2C3A3=360.65333. 无序均匀分组问题.先分三步,则应是C2C2C2种选法，但是这里出现了重复.不妨记六本642书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF），则C2C2C2种分法中还有642(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD），共有A3种情况，而这A3种情况仅是AB,CD,EF的顺序不同，因此只能作为一种33C2C2C2分法,故分配方式有64亠=15.A33二90C2C2C24. 有序均匀分组问题.在3题的基础上再分配给3个人,共有分配方式642A33(种).解析：19 答案及解析：答案：1.解：C3C1A2+C2C2A2=660种6246242.解:C3C1A1A1?-C2C2(A2+2A1A1)=390种622362222解析：20 答案及解析：答案：1.令x1得a+a+a+a+a+a+a+a(3x11)7=27=128.012345672. |a|-|a|-|a|-|a|-|a|-|a|-|a|-|a|即(3x-1)7展开式的各项系数和，01234567令x1，可得|a|-|a|-|a|-|a|-|a|-|a|-|a|-|a|(3x1-1)747012345673. 令f(x)(3x1)7，则f(1)a-a-a-a-a-a-a-a，01234567f(1)a-aa-aa-aa-a，012345672(a+a+a+a)f(1)+f(1)2747,1357a-a-a-a2621381357解析：