高中数学《算法的含义》文字素材1 苏教版必修3

苏教必修3 1.11.2教材解读一. 学前探究:假设你早上从起床到出门需要做以下几件事情：洗脸刷牙（5min）、烧水（8min）、泡面（3min）、吃饭（10min）、听广播（8min），你为了节省时间，会按怎样的方法步骤进行呢？二难点、易忽略点剖析：1.算法有哪些特征？(1)有限性：一个算法在执行有限步骤后必须结束，不能无限地执行下去。(2)确定性:算法的每一个步骤和次序应当是确定的，而不应当模棱两可,比如求的近似值却没有近似的精确度,则该问题不能求解.(3)有效性: 算法的每一个步骤都必须是有效的、可行的.(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的解法.易忽略点:在设计算法时,算法应有一个或多个输出,算法的目的是为了求解问题，所以没有输出的算法是没有意义的.求解某一个问题的算法一般不是唯一的,我们通常选择较简单的算法.只要有公式，利用公式解决问题是最理想,最简单的方法,比如在解方程的算法时,用求根公式来做，步骤则较为简洁.2.画流程图有哪些要求？(1)使用标准图框符号;(2)图框一般按从上到下、从左到右的方向画;(3)除了判断框外,大多流程图框只有一个进入点和一个输出点;(4)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚.3.算法的三种基本结构(1)顺序结构：是最简单的算法结构，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，是任何一个算法都离不开的一种算法结构，可从用右图表示顺序结构的示意图，其中A和B两个框是依次执行的，只有在执行完A框所指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作易忽略点:对顺序结构的理解及运用,其先后次序是易出错的地方.顺序结构中的语句一旦执行完,就不能再次被执行.(2)条件结构：是一种先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构，如右图所示是一个选择结构.此结构中包含一个判断框，根据给定的条件P是否成立而选择执行A框或B框，请注意，无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能既执行A框又执行B框，也不可能A框、B框都不执行A或B两个框中，可以有一个是空的，即不执行任何操作易忽略点：判断框必须有两个出口。(3)循环结构：即反复执行某一部分的操作。其中反复执行的处理步骤称为循环体。它的框图一般可分为直到型和当型.编者提示：两种循环结构的详细比较请参阅第四版两种循环结构精析. 在循环结构中常见到、这样的语句，其中变量作为计数变量,记录某个规定的事件已发生的次数；变量作为累计变量,用于输出结果.二者一般同步执行.易忽略点:循环结构的初始阶段,应设置计数变量和累加变量的初值.结构内不允许出现死循环，即无终止的循环，如右图所示就是一个死循环。在循环结构中往往包含了选择结构与顺序结构,因此在设计循环结构时要兼顾选择结构与顺序结构.三、典型例题例.一位商人有9枚银元，其中有一枚略轻的是假银元。你能用天平（无砝码）将假银元找出来吗？写出解决这一问题的一种算法。分析：最容易想到的解决办法是：把9枚银元顺次排成一列，先称前两个，若不平衡，则可找出较轻的一个是假银元；若平衡，则两枚都是真的，再依次与剩下的银元作称量比较，就可找到假银元。解法1:算法步骤如下：第一步：任取两枚银元分别放在天平两边，如果天平左右不平衡，则轻的哪一边就是假银元；如果天平平衡，则进行第二步；第二步：取下右边的银元，放在一边，然后把剩下的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，则偏轻的哪一边就是假银元。评注：对于这种非数值问题算法设计问题，应当首先建立过程模型，根据过程设计步骤，完成算法。另外，这种算法最少要称量一次，最多则要称量7次，仔细分析，我们还可以有以下更好的算法。解法2：算法步骤如下：第一步：把9枚银元平均分成3组，每给3枚；第二步：先将其中的两组放在天平的两边，如果天平不平衡，那么假银元就在轻的哪一组；如果天平平衡，则假银元就在未称的那一组中；第三步：取出含假银元的那一组，从中任取两个放在天平的两边进行称量，如果天平不平衡，则假银元就是较轻的那一个；如果天平平衡，则假银元就是没称量的那一个。评注：利用以下算法，只要2次称量就可以将假银元找出来，显然比第一种算法简洁、有效。感悟算法1算法的概念 算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确的和有效的，而且能够在有限步之内完成。算法可概括为以下几个特点：（1）有穷性一个算法的步骤序列是有限的，它应在有限步操作之后停止，而不能是无限的。（2）确定性算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是摸棱两可。（3）顺序性与正确性算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题。（4）不唯一性求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法。（5）普遍性很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决。例如手算、心算或用算盘、计算器去计算都要经过有限的、事先设计好的步骤加以解决。2给出一个问题，设计算法时应注意：（1）认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法；（2）综合考虑次类问题中可能涉及的各种情况；（3）借助有关的变量或参数对算法加以描述；（4）将解决问题的过程划分为若干个步骤；（5）用简练的语言将各个步骤表示出来。3对于数值性计算问题，例如：解方程、方程组，解不等式、不等式组，套用公式判断性的问题，累加、累乘等这一类问题的算法描述，可通过相应的数学模型借助一般数学计算方法，分解成清晰的步骤，使之条理化即可。4对于一些非数值计算问题，例如：排序、查找、变量变换、文字处理等需要先建立过程模型，通过过程模型进行算法设计与描述。例1 写出求经过点的直线与两坐标轴围成的三角形面积的一个算法。分析：已知直线上两点、，由两点式可写出直线的方程，令得与轴的交点，令得与轴的交点，求出三角形两直角边的长，根据三角形的面积公式求出三角形的面积。解析：算法步骤如下：第一步：取；第二步：得直线方程；第三步：在第二步的方程中，令得的值，从而得直线与轴的交点； 第四步：在第二步的方程中，令得的值，从而得直线与轴的交点； 第五步：根据三角形的面积公式求；第六步：输出运算结果。评注：由于两点式直线方程可以有公式套用，所以这一步骤选择了套用公式的算法；三角形面积需要求两直角边的长度，而本题中正是先求出三角形的两直角边的长度，再代入三角形的面积公式求出三角形的面积。例2 一位商人有9枚银元，其中有一枚略轻的是假银元，你能用天平（不用砝码）将假银元找出来吗？分析：最容易想到的解决这个问题的一种方法是：把9枚银元按顺序排成一列，先称前2枚，若不平衡，则可找出假银元；若平衡，则2枚银元都是真的，再依次与剩下的银元比较，就能找出假银元。解析：算法步骤如下：第一步：任取2枚银元分别放在天平的两边，如果天平左右不平衡，则轻的一边就是假银元；如果天平平衡，则进行第二步。第二步：取下右边的银元放在一边，然后把剩余的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元。评注：上述算法至少要称1次，最多称7次，我们可以采用下面的办法，使称量次数少一些。第一步：把银元分成3组，每组3枚。第二步：先将两组分别放在天平的两边，如果天平不平衡，那么假银元就在轻的一组；如果天平左右平衡，则假银元就在未称的第3组里。第三步：取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放在天平的两边，如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平两边平衡，则未称的那一枚就是假银元。练一练 1写出求过、两点的直线的斜率的一个算法。 2写出解方程的一个算法。算法趣话就像人类发明机器是为了拓展人的生产能力、发明交通工具是为了拓展人的行动能力一样，计算机的发明是为了将人的抽象思维能力拓展到自身以外。每一天，我们使用计算机的电子表格、字处理器、网页浏览器等程序块来完成各种各样的任务。表面看来，计算机做的事情非常漂亮，但那只是一种幻觉。计算机可以做的所有事情只是非常快速地操作由1和0组成的数字。另一方面，我们人类却不能用1和0进行思考。算法就是将人类的思维能力形式化为计算机可以执行的步骤，使得若干微小的电子元件代替人类进行思考。具体过程是先将解决问题的一系列步骤写成算法，再翻译成某种程序设计语言在计算机上实现，就得到了我们每天操作的程序块。因此，算法是计算机科学的核心，换句话说，算法是计算机程序的基础。没有算法，计算机的存在也就失去了意义。随着社会和科学技术的发展与进步，科学的两大研究方法理论和实验越来越多地表现出局限性。许多研究的对象既不可能用理论精确地描述，也不可能通过实验手段来实现，而计算方法与之相比，有其独到之处。科学计算是20世纪后期才兴起的一门学科，如今已经广泛渗透到生物医学研究、基因工程、太空探测和每日天气预报等各个领域。人们利用计算机进行模拟和实验来理解现象，猜测新的事实，发现新的理论，使各个领域的研究都获得突破的可能。例如，医生想知道病人大脑或其他器官的一些情况，他无法简单地将病人解剖来进行观察，但可以利用计算机来处理超声波或磁场共振信号，并建立可视图像；经济学家想为政府制定经济政策提供辅助信息，若采用在局部区域内制定实验性的经济政策的方法，可能会给该区域造成巨大的损失，但通过建立经济行为的算法模型，模拟各种经济现象，则可能得到理想的结果。科学计算对每个专业和每个研究领域都产生了巨大的冲击。随着几乎所有学科走向定量化和精确化，科学知识结构也发生了巨大的变化，产生了一系列计算性的学科分支，如计算几何、算法数论、计算统计、计算流体力学、计算量子化学、计算胚胎学、计算地质学、计算气象学、计算材料科学、计算天文学等等。现在，科学计算继实验、理论之后，已经成为第三种科学研究手段。在以规模化大生产为特征的“机械时代”，一般不需要劳动者拥有出众的才华或者独特的创意，在这种体制下培养出的人才是“模式化”的、“整齐划一”的，劳动者只需要掌握自己所从事工作的基础知识，并按照上级的指令认真做事就可以了。如今，我们的生活方式正在被计算机和网络所日益改变着。更加重要的是，计算机不仅在形式上改变着我们的生活方式，而且从思维的深处改变着我们认识世界、改造世界的方式，对我们如何思考所面对的问题和如何解决问题都产生了深刻的影响。21世纪是创意与构思的时代，有意识地培养我们的算法思想，构建算法意识，以“算法的视角”看待和解决问题，必将有利于未来的发明与创新。