大学高等数学统考卷下07届期中考试付答案2

大学高等数学统考卷下 07届 期中考试付答案20_7-2021高等数学下册期中考试试卷 姓名： 班级： 成绩单号： 一、 填空题（） 1、4分 与直线及都平行，且过原点的平面方程为 2、4分设可微，则各为 3、4分设，则 4、4分 设函数在点的所有方向导数中，最大的方向导数是沿方向 5、4分曲面在点处的切平面方程为，法线方程为 二、 （8分）设，求 解：， 三、 （8分）设具有连续的偏导数，且，方程确定了是的函数，试求 解：，解出 从而 四、 8分 求函数在点的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数 解：，则沿梯度方向上函数的方向导数为 五、 8分设直线在平面上，而平面与曲面相切于点，求之值。 解： 由曲面得切平面法向量 从而有切平面方程为 由直线得： 从而； 六、 8分 计算二重积分，其中 解： 用将区域划分为两个 七、 8分 计算 解：由积分限作出区域图，由图知化为极坐标计算容易 原式 八、 8分 计算，其中为平面曲线绕z轴旋转一周的曲面与平面所围的区域。 解：由交线知在_oy面上的投影域为 用柱坐标计算 九、 8分 设由曲面与所围成的立体中每点的密度与该点到_oy平面距离成正比，试求该立体的质量M 解：由交线知在_oy面上的投影域为 用柱坐标计算 十、 计算，其中 解：令，由对称性 原式= 十一、 8分在曲线上求一点，使曲面上过点的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为最大 解：令 从而切平面为，四面体的体积为 问题等价为在条件下的最大值 令 则由推出， 由约束条件知 由问题的实际意义与驻点的惟一性知，就是我们要求的点。 十二、 附加题5分 计算积分，式中曲线是在上的一段弧。 解：曲线可以表示为 十三、 附加题5分 计算积分，其中是球面被锥面所截的部分 解：由交线知曲面在_oy面上的投影域为 十四、 附加题10分 计算积分，其中是抛物面被平面所截下的有限部分 解：由交线知曲面在_oy面上的投影域为 由对称性知 第 2 页 共 2 页