运动微分方程学习教案

会计学1第一页，共25页。4 动力学的理论基础动力学的理论基础 牛顿定律的适用范围：牛顿定律的适用范围： 惯性坐标系；惯性坐标系； 速度远远小于光速；速度远远小于光速； 宏观物体宏观物体; 质点质点(平动平动(pngdng)刚体刚体)动力学理论有着广泛的应用。航天航空中的动力学动力学理论有着广泛的应用。航天航空中的动力学计算、结构的动荷响应、高速转动机械的动力学行计算、结构的动荷响应、高速转动机械的动力学行为分析等都需要有动力学的知识作为基础。为分析等都需要有动力学的知识作为基础。3解决动力学问题的基本方法解决动力学问题的基本方法4 质点质点(zhdin)运动微分方程运动微分方程-质点质点(zhdin)5动力学普遍定理动力学普遍定理(三大动力学定理三大动力学定理+达朗伯原达朗伯原理理)6 -质点质点(zhdin)系系7分析力学方法分析力学方法虚位移原理虚位移原理第1页/共25页第二页，共25页。第一章第一章 质点运动质点运动(yndng)(yndng)微分方程微分方程11 质点质点(zhdin)运动微分方程运动微分方程12 质点质点(zhdin)动力学的两类问动力学的两类问题题13 质点质点(zhdin)相对运动基本方相对运动基本方程程第2页/共25页第三页，共25页。Fa m11 质点质点(zhdin)运动微分运动微分方程方程1 动动力学基本定律力学基本定律牛顿三定律牛顿三定律此式即此式即。 此定律给出：物体的受力与物体运动状态的改变之间定量关系此定律给出：物体的受力与物体运动状态的改变之间定量关系 （定量定量）。）。第3页/共25页第四页，共25页。Fa m 力使物体产生(chnshng)沿其方向的加速度 F作用在质点上的合力(共点力系的合力) a质点相对惯性系的加速度(绝对加速度) 瞬时运动量的关系 适用范围(质点, 平动刚体)第4页/共25页第五页，共25页。niiFma1(1)质点质点(zhdin)运动微分方程在直角坐标轴上投影运动微分方程在直角坐标轴上投影niziniyinixiFdtzdmFdtydmFdtxdm122122122,2运动运动(yndng)微分方程微分方程Fr22dtdm第5页/共25页第六页，共25页。(2) 质点运动微分方程质点运动微分方程(wi fn fn chn)在自然轴上投影在自然轴上投影nininiiFvmFdtdvm1,21(3) 质点运动微分方程的复合质点运动微分方程的复合(fh)运动形式运动形式creaaaaaFaaamcre)(第6页/共25页第七页，共25页。一是已知质点的运动，求作用于质点的力一是已知质点的运动，求作用于质点的力。 求解这类问题时，只需根据已知的运动规律，通过微分运算或通过复合运动求出质点的加速度；从而按质点运动微分方程式求出未知力。求解这类问题时，只需根据已知的运动规律，通过微分运算或通过复合运动求出质点的加速度；从而按质点运动微分方程式求出未知力。二是已知作用于质点的力，求质点的运动二是已知作用于质点的力，求质点的运动。 这类问题一般比较繁琐。求解这类问题时，首先要列出质点运动微分方程式，然后进行积分，同时利用运动的初始条件确定积分常数，求出质点的运动规律。这类问题一般比较繁琐。求解这类问题时，首先要列出质点运动微分方程式，然后进行积分，同时利用运动的初始条件确定积分常数，求出质点的运动规律。12 质点质点(zhdin)动力学的两类动力学的两类问题问题第7页/共25页第八页，共25页。具体求解步骤具体求解步骤(bzhu):(bzhu):明确研究对象明确研究对象分析受力分析受力-全部外力全部外力 分析运动分析运动-一般位置一般位置( (运动描述的方法运动描述的方法) )3. 3. 建立方程并求解建立方程并求解第8页/共25页第九页，共25页。例：小球例：小球M的重量为的重量为G，设以匀速，设以匀速vr沿直管沿直管OA运动，同时管运动，同时管OA以匀角速度以匀角速度w 绕铅直绕铅直(qinzh)轴轴z转动。求小球对管壁的水平压力。转动。求小球对管壁的水平压力。zAoMGzN已知质点已知质点(zhdin)的运动，求作用于质点的运动，求作用于质点(zhdin)的力。的力。解：研究解：研究(ynji)小球小球AoNMcaFeacreaaaarcrevaaOMa202NmacreaaaacaarcvgGmaN2第9页/共25页第十页，共25页。例例一质量为3kg的小球连于绳的一端，可以在铅垂面内摆动，绳长l=0.8m。已知当q=60时绳的张力(zhngl)为25N,求此瞬时小球的速度和加速度。解解qlTmgana根据质点动力学方程,研究(ynji)小球30cos30sinmgmamgTman解得：an=3.33m/s2 a 8.66m/s2再根据(gnj)an =v2/l,可求v=1.632m/s已知作用于质点的力，求质点的运动已知作用于质点的力，求质点的运动第10页/共25页第十一页，共25页。例例图示质量为m的质点O带有电荷e，如已知质点在均匀电场中所受力F=esinkt, k为常数。又质点的初速(ch s)为v0,与x轴夹角为q,且取坐标原点为起始位置。如不计重力影响，求质点的运动方程。解解根据质点(zhdin)动力学方程：kteFdtdvmmadtdvmmayyxxsin0已知作用已知作用(zuyng)于质点的力，求质点的运动于质点的力，求质点的运动速度初始条件为：qqsincos0000vvvvyx)cos1 (sincos00ktmkevdtdyvvdtdxvyxqq位置初始条件为：0000yxqqsin)sin(cos00tvkkttmkeytvx第11页/共25页第十二页，共25页。弹簧质量系统，物块的质量为m ，弹簧的刚度系数为k，物块自平衡位置的初始(ch sh)速度为v0。求物块的运动方程。0kxxm mk20tmkkmvx0sinl0kmgxkxm)(st mgksttmkkmvx0sin1. 重力重力mg只改变了系统的平衡位置，对运动规律并无影响。只改变了系统的平衡位置，对运动规律并无影响。 2. 物块垂直悬挂时，坐标原点选择不同对运动微分方程物块垂直悬挂时，坐标原点选择不同对运动微分方程(wi fn fn chn)的影响这一问题请同学们自己研究。的影响这一问题请同学们自己研究。第12页/共25页第十三页，共25页。 取坐标轴取坐标轴 x x 铅直向下，原点在物体的初始位置。写出物体铅直向下，原点在物体的初始位置。写出物体 M M 的运动的运动(yndng)(yndng)微分方程微分方程解解: :加速度为零时(ln sh)2vmgt dvdmumgvxx)vu(ugt dvd222tugvuvutvdd0022第13页/共25页第十四页，共25页。)3(11)/()/()/()/()/2()/2(tugtugtugtugtugtugeeeeueeuv于是物体速度随时间(shjin)而变化的规律为th 是双曲正切(zhngqi)。)(thtuguv tugtugtugtugtxeeeegux)/()/()/()/(020dd物体(wt)的运动方程为)(ch22)()(2ugtlngueelnguxu/gtu/gt第14页/共25页第十五页，共25页。分析分析(fnx)例例 神州6号载人飞船回收过程中的动力学问题。假设回收舱重为P, 回收舱在距离地面h处打开阻力伞，此时速度为v0，回收舱受到的空气阻力与速度成正比：F=cv，c为常数(chngsh)。求回收舱到达地面时的速度和加速度。第15页/共25页第十六页，共25页。 例题粉碎机滚筒半径为例题粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平，绕通过中心的水平(shupng)匀速匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在石的能量，铁球应在=0时（如图）才掉下来。求滚筒每分钟的转时（如图）才掉下来。求滚筒每分钟的转数数n。 视铁球为质点。铁球被旋转的视铁球为质点。铁球被旋转的滚筒带着沿圆弧向上运动滚筒带着沿圆弧向上运动(yndng)，当铁球到达某一高度，当铁球到达某一高度时，会脱离筒壁而沿抛物线下落。时，会脱离筒壁而沿抛物线下落。 F = maq cosN2mgFRvm铁球在未离开(l ki)筒壁前的速度，等于筒壁上与其重合点的速度。即 RRv30n第16页/共25页第十七页，共25页。21N) cos(30qmgFmRRn当当=0 =0 时铁球将落下，这时时铁球将落下，这时FN =0FN =0，于是得滚筒，于是得滚筒(gntng)(gntng)转速转速0 cos549. 9qRgn 2 . 当当0=0时，铁球就会紧贴筒壁时，铁球就会紧贴筒壁转过最高点而不脱离筒壁落下，起不到转过最高点而不脱离筒壁落下，起不到(b do)粉碎矿石的作用。粉碎矿石的作用。 1. 显然显然(xinrn)，0 越小，要求越小，要求n 越大越大。 讨论讨论q cosN2mgFRvmRRv30n第17页/共25页第十八页，共25页。13 13 非惯性系中质点非惯性系中质点(zhdin)(zhdin)运动微分方程运动微分方程Fa mCaaaaerCermmmaaFaegeamFgCgermFFFa 牵连牵连(qinlin)(qinlin)惯性力惯性力cgcamF 科氏惯性力科氏惯性力 质点质点(zhdin)(zhdin)相对运动微分方程相对运动微分方程aaaraeaC第18页/共25页第十九页，共25页。 例例 设车厢以匀加速度设车厢以匀加速度a沿水平直线轨道向右行驶。求由车厢棚顶沿水平直线轨道向右行驶。求由车厢棚顶M0处自由处自由(zyu)落下的质点落下的质点M的相对运动。的相对运动。分析质点(zhdin)M，取动坐标系 O1x1y1z1 ,固连于车厢。mar = F + Fe + FC mar = W + FeFe = maemgzmmaymxm111, 0 00111111zyxvvv ,hz ,yx当 t = 0 时,2121121,21,0gthzatyx11yaghz第19页/共25页第二十页，共25页。OCORM q q例题 一质量是m的小环(xio hun)M套在半径是R的光滑圆环上，并可沿大圆环滑动，而大圆环在水平面内以匀角速度绕通过点O的铅垂轴转动。在初瞬时， = 0， = 2 ，试写出小环(xio hun)M相对于大圆环的运动微分方程，并求出大圆环对小环(xio hun)M的约束力。q第20页/共25页第二十一页，共25页。解: 分析小环。取动坐标系与大圆环固连，小环M相对(xingdu)于大圆环的位置用弧坐标 s = R 表示。作用于小环M的力有大圆环的约束力FN。为了写出小环的相对运动微分方程，还要加上相应(xingyng)的牵连惯性力Fe和科氏惯性力FC。 222qcosmRmaFeeqRmvmmaF22rCC运动分析运动分析FeFNFCOCORM q q第21页/共25页第二十二页，共25页。这就是小环这就是小环 M M 相对于大圆环的运动相对于大圆环的运动(yndng)(yndng)微分方程。微分方程。) 1 ( 2sineqqFmR )2( 2coseCN2qqFFFmR)a (sin2qq 应用循环变换 ，将式( a )的变量(binling)分离并代入初始条件进行积分qqqqdd mar = W + FN + Fe+ FC由相对运动动力学基本方程2cos2sin2qqqmRmR 222qcosmRmaFeeqRmvmmaF22rCCOCORMq qFeFNFC由式(1)得第22页/共25页第二十三页，共25页。大圆环对小环的约束力为qqqqqq022dsind)cos1 (222qq2cos)cos1 (2eC2NqqFFmRF2cos4)cos1 (22222CqqqmRRmRmFqqsin2 qqqqdd )2(2coseCN2qqFFFmR2cos4)cos1 ( 32Nqq mRF将上式代入下式OCORMq qFeFNFC第23页/共25页第二十四页，共25页。本章本章(bn zhn)小结小结1质点质点(zhdin)动力学的基本方程为动力学的基本方程为FamFr22dtdm2质点质点(zhdin)动力学的两类问题动力学的两类问题3质点相对非惯性参考系矢量形式的微分方程为质点相对非惯性参考系矢量形式的微分方程为gCgedtdmFFFr22第24页/共25页第二十五页，共25页。