抛物线的几个常见结论及其用

抛物线的几个常见结论及其用作者:日期：抛物线的几个常见结论及其应用抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。结论一：若AB是抛物线y22px(p0)的焦点弦(过焦点的弦)，且A(xi,y),已为,切，贝U：必,yiy2p2。4例:已知直线AB是过抛物线y22px(p0)焦点F,求证：J为定值lAFlBF结论二：(1)若AB是抛物线y22px(p0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为a，则AB2P(&乒0)。(2)焦点弦中通径(过焦点且垂直于抛物线对称轴sin2的弦)最短。例：已知过抛物线y29x的焦点的弦AB长为12,则直线AB倾斜角为。AB倾斜角为甘或；。结论三：两个相切：(1)以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。(2)过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。例:已知AB是抛物线y22px(p0)的过焦点F的弦，求证：(1)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。(2)分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N,求证:以MN为直径的圆与直线AB相切。结论四：若抛物线方程为y22pXp0),过(2p,0)的直线与之交于A、B两点，则。趾OB反之也成立。结论五：对于抛物线X22py(p0),其参数方程为x2pt'2设抛物线X22py上动点Py2pt2,坐标为(2pt,2pt2),O为抛物线的顶点，显然koPt,即t的几何意义为过抛物线2pt顶点O的动弦OP的斜率.例直线y2x与抛物线y22px(p0)相交于原点和A点，B为抛物线上一点，OB和OA垂直，且线段AB长为5而，求P的值.命军析：设点AB分另U为(2ptA2,2ptA),(2ptB2,2ptB),则tA土事土kOA2.AB的坐标分别为-,p,(8p,4p).ABJ8p卫(p4p)257T3p5JT3.Lp2.222练习：1.过抛物线yax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p,q,则-=故-4a】pqpq2.设抛物线y22px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于AB两点.点C在抛物线的准线上，且BC/x轴.证明直线AC经过原点O.【证明:抛物线焦点为F卫,0.设直线AB的方程为xmy卫，22，代入抛物线方程，得y22pmyp20.若设A(x，y)，B(xy2),则y/2p2.BCIIx轴，且点C在准线kCO钮；y1又由y122px1,得kAO里也，故kCOkAO,即直线AC经过原点O.】xiy13.已知抛物线的焦点是F(11),准线方程是xy20,求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程.【解：设P(x,y)是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义得J(x1).抛物线的顶点坐标是A(1,0)，准线l的方程是x2y20,试求该抛物线的焦点坐标和方程.解：依题意，抛物线的对称轴方程为2xy20.(y1)2”瑚2.整理，得x2y22xy8x8y0，此即为所求抛物线的方程.抛物线的对称轴应是过焦点F(1,1)且与准线xy20垂直的直线，因此有对称轴方程yx.设对称轴与准线的交点为M，可求得M(1,1),于是线段MF的中点就是抛物线的顶点，坐标是(。，0)】设对称轴和准线的交点是M，可以求得M5,5.设焦点为F，则FM的中点是A,故得焦点坐标为F45,-.再设P(x,y)是抛物线上的任一点，根据抛物线的定义55得jx4y2_彖_-,化简整理得4x2y24xy4x12y0,即为所求抛物线的方程.例2已知AB为抛物线x24y上两点，且OAOB,求线段AB中点的轨迹方程.