空间向量的运算北师大选修学习教案

空间向量空间向量(xingling)的运算北师大选修的运算北师大选修第一页，共40页。第1页/共40页第二页，共40页。第2页/共40页第三页，共40页。 在射击在射击(shj)时，为保证准确命中目标，要考虑风速、温度等时，为保证准确命中目标，要考虑风速、温度等因素其中风速对射击因素其中风速对射击(shj)的精准度影响最大如某人向正北的精准度影响最大如某人向正北100 m远处的目标射击远处的目标射击(shj)，风速为西风，风速为西风1 m/s. 问题问题1：射手能否直接瞄准目标射击：射手能否直接瞄准目标射击(shj)？ 提示：不能提示：不能 问题问题2：射手应怎样瞄准目标？：射手应怎样瞄准目标？ 提示：瞄准方向为北偏西一定角度提示：瞄准方向为北偏西一定角度第3页/共40页第四页，共40页。问题问题3：问题：问题2的原因是什么的原因是什么(shn me)？提示：在射击过程中，子弹运行的实际位移是子弹与风位移的提示：在射击过程中，子弹运行的实际位移是子弹与风位移的合成合成问题问题4：空间向量的加法与平面向量类似吗？：空间向量的加法与平面向量类似吗？提示：类似，满足平行四边形法则提示：类似，满足平行四边形法则第4页/共40页第五页，共40页。相等相等(xingdng)OC第5页/共40页第六页，共40页。 (2)空间向量的减法：空间向量的减法： a与与b的差定义为的差定义为a(b)，记作，记作 ，其中，其中 是是b的相反的相反(xingfn)向量向量(3)空间向量加减法的运算律：空间向量加减法的运算律：结合律：结合律：(ab)c 交换律：交换律：ab .abba(bc)ba第6页/共40页第七页，共40页。 a为一空间向量为一空间向量 问题问题1：空间向量：空间向量a与一个与一个(y )实数实数的乘积为的乘积为a，a是向量是向量吗？吗？ 提示：是提示：是 问题问题2：当：当0时，时，a0对吗？对吗？ 提示：不对，应为提示：不对，应为0. 问题问题3：若：若a与与a方向相反，方向相反， 的取值范围是什么？的取值范围是什么？ 提示：提示：(，0)第7页/共40页第八页，共40页。 空间向量的数乘空间向量的数乘 (1)定义：与平面向量一样，实数定义：与平面向量一样，实数与空间向量与空间向量a的乘积仍然的乘积仍然(rngrn)是一个是一个 ，记作，记作 . (2)向量向量a与与a的关系：的关系：向量向量(xingling)相同相同(xin tn)0任意的任意的相反相反|a第8页/共40页第九页，共40页。(3)空间向量空间向量(xingling)的数乘运算律：的数乘运算律：交换律：交换律：a (R)；分配律：分配律：(ab) ，()aa a(R，R)；结合律：结合律：()a (R，R)aab(a) (4)定理：空间两个向量定理：空间两个向量(xingling)a与与b(b0)共线的充共线的充分必要条件是存在实数分必要条件是存在实数，使得，使得 .ab第9页/共40页第十页，共40页。第10页/共40页第十一页，共40页。 空间向量的数量积空间向量的数量积 (1)空间两个向量空间两个向量a和和b的数量积是一个的数量积是一个(y ) ，等于，等于|a|b|cosa，b，记作，记作 .(2)运算律：运算律：交换律：交换律： ；分配律：分配律： ；(ab) (R) ababbaa(bc)abac(a)b数数第11页/共40页第十二页，共40页。ab0同同 第12页/共40页第十三页，共40页。 与平面向量与平面向量(xingling)类似，空间向量类似，空间向量(xingling)的加减、的加减、数乘、数量积运算有如下特点数乘、数量积运算有如下特点 1空间向量空间向量(xingling)的加减法满足平行四边形和三角形的加减法满足平行四边形和三角形法则，结果仍是一个向量法则，结果仍是一个向量(xingling) 2空间向量空间向量(xingling)的数乘运算，结果仍是一个向量的数乘运算，结果仍是一个向量(xingling)，方向取决于，方向取决于的正负，模为原向量的正负，模为原向量(xingling)模的模的|倍倍 3两向量两向量(xingling)共线，两向量共线，两向量(xingling)所在的直线所在的直线不一定重合，也可能平行不一定重合，也可能平行 4空间向量空间向量(xingling)数量积运算的结果是一个实数数量积运算的结果是一个实数第13页/共40页第十四页，共40页。第14页/共40页第十五页，共40页。第15页/共40页第十六页，共40页。第16页/共40页第十七页，共40页。 一点通一点通空间向量的线性运算即为向量的加减、数空间向量的线性运算即为向量的加减、数乘运算在进行向量的线性运算时，应注意乘运算在进行向量的线性运算时，应注意(zh y)结合图结合图形的特点，利用三角形法则、平行四边形法则及数乘运算形的特点，利用三角形法则、平行四边形法则及数乘运算的运算律来进行化简、计算要特别注意的运算律来进行化简、计算要特别注意(zh y)把某些向把某些向量平移后转化为同一平面内进行相关计算量平移后转化为同一平面内进行相关计算第17页/共40页第十八页，共40页。第18页/共40页第十九页，共40页。答案答案(d n)：A第19页/共40页第二十页，共40页。第20页/共40页第二十一页，共40页。第21页/共40页第二十二页，共40页。第22页/共40页第二十三页，共40页。第23页/共40页第二十四页，共40页。第24页/共40页第二十五页，共40页。第25页/共40页第二十六页，共40页。 一点通一点通 (1)判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数，使，使ab成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体(jt)图形，通过图形，通过化简、计算得出化简、计算得出ab，从而得到，从而得到ab. (2)共线向量定理还可用来判定两直线平行、证明三点共共线向量定理还可用来判定两直线平行、证明三点共线在证明两直线平行时，先取两直线的方向向量，通过证明此两线在证明两直线平行时，先取两直线的方向向量，通过证明此两向量共线来判定两直线平行当两共线的有向线段有公共点时，两向量共线来判定两直线平行当两共线的有向线段有公共点时，两直线即为同一直线，即此时三点共线直线即为同一直线，即此时三点共线第26页/共40页第二十七页，共40页。答案答案(d n)：B第27页/共40页第二十八页，共40页。第28页/共40页第二十九页，共40页。第29页/共40页第三十页，共40页。第30页/共40页第三十一页，共40页。 例例3(12分分)已知空间四边形已知空间四边形OABC中，中，AOBBOCAOC，且，且OAOBOC.M、N分别分别(fnbi)是是OA、BC的的中点，中点，G是是MN的中点，求证：的中点，求证：OGBC.第31页/共40页第三十二页，共40页。第32页/共40页第三十三页，共40页。第33页/共40页第三十四页，共40页。第34页/共40页第三十五页，共40页。7若若|a|b|4，ab3，则，则cosa，b_.第35页/共40页第三十六页，共40页。第36页/共40页第三十七页，共40页。第37页/共40页第三十八页，共40页。 1在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止 2用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题，一般用向用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题，一般用向量共线定理；解决垂直问题一般可转化为求向量的数量量共线定理；解决垂直问题一般可转化为求向量的数量(shling)积积为零为零 3灵活地应用向量的数量灵活地应用向量的数量(shling)积公式是解决空间求模、积公式是解决空间求模、夹角的关键夹角的关键第38页/共40页第三十九页，共40页。点击点击(din j)下图进入下图进入“应用创新演练应用创新演练”第39页/共40页第四十页，共40页。