充分发挥三垂线定理的作用

充分发挥三垂线定理的作用 三垂线定理是贯串于整个立体几何始终的一个定理. 它是证明两线垂直和空间角转化为平面角的基础. 同时, 解决某些轨迹问题, 也离不开它. 在研究立体几何问题中, 往往把空间图形的问题, 转化为平面图形的问题去解决, 由于三垂线定理能给我们提供直角, 这就为把空间图形问题转化为解直角三角形问题,提供了良好的条件. 因此在解决空间图形问题时, 要充分发挥三垂线定理的作用. 一、证垂直: 三垂线定理是证明垂直关系的基础. 例1 (2009年北京宣武)如图1,已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形, BCD=60°, 点E是BC边的中点, AC与DE交于点O, PO平面ABCD. 求证: PDBC. 分析: PD是底面的斜线, BC是底面内的一条直线. 根据三垂线定理, 只要证明PD在底面内的射影垂直于BC. 在菱形ABCD中, 连接DB, 则BCD是等边三角形. 因为点E是BC边的中点, 所以 DEBC. 因为 PO平面ABCD, 所以 OD是斜线PD在底面ABCD内的射影. 根据三垂线定理 PDBC. 点评: 本题利用射影ODBC, 根据三垂线定理得到斜线PDBC. 这是证明两线垂直常用的方法. 例2 (2008年全国卷) 如图2, 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AA1=2AB=4, 点E在C1C上, 且C1E=3EC, 证明: A1C平面BED . 分析: 要证A1C平面BED, 只要证明A1C垂直于平面BED内的两条相交直线. 连结AC交BD于F, 则BDAC, 由三垂线定理知, BDA1C. 连结EF交A1C于G, 在平面A1CA内, 由于 AA1FC=ACCE=22 . 故RtA1ACRtFCE, AA1C=CFE, CFE与FCA1互余, 于是A1CEF, A1C与平面BED内两条相交直线BD、EF都垂直, 所以 A1C平面BED . 点评: 本题利用三垂线定理证明BD垂直于平面BED内的直线A1C, 这说明: 线线垂直是线面垂直的基础. 同样, 由A1C平面BED, 且A1C平面A1CA, 得平面A1CA平面BED. 故线面垂直又是面面垂直的基础. 因此, 三垂线定理是证明垂直的基础. 二、求空间角: 三垂线定理是把空间角转化为平面角的基础. 例3 (2005年天津卷) 如图3, 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中, A1AB= A1AC, AB=AC,侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°, E是棱B1C1的中点. 求A1A与底面ABC所成的角. 分析: 先把A1A与底面所成的角转化为平面角. 过A1作A1H平面ABC于H, 连结AH, 并延长交BC于G, 连结EG, 于是A1AH为A1A与底面ABC所成的角. 因为A1AB=A1AC, 所以AG为BAC的平分线.又AB=AC, 则AGBC, 且G为BC中点. 因此，由三垂线定理, 得A1ABC. 因为A1AB1B, 且EGB1B,所以EGBC, 于是AGE为二面角A-BC-E的平面角, 即AGE=120°.由于四边形A1AGE为平行四边形, 得A1AG=60°. 所以, A1A与底面ABC所成的角为60°. 点评:为了找出斜线与平面所成角, 二面角的平面角, 需用三垂线定理才能得到A1ABC. 这是找空间角常用的方法. 所以三垂线定理是把空间角转化为平面角的基础. 例4 (2010年湖北卷) 如图4,在四面体ABOC中, OCOA, OCOB, AOB=120°, 且OA=OB=OC=1.()设P为AC的中点, Q在AB上且AB=3AQ, 证明:PQOA; ()求二面角O-AC-B的平面角的余弦值. 分析: () 为了构造与OA垂直的平面, 在平面OAB内作ONOA交AB于N, 连结CN. 由OAOC,OAON, 得OA平面ONC, 从而OACN. 利用三角形的边角关系及AB=3AQ, 可得Q为AN中点, 所以PQCN, 即可证明PQOA. ()为了找出二面角O-AC-B的平面角, 连结PN、PO, 由OCOA,OCOB得OC平面AOB, 从而OCON, 又OAON,所以 ON平面AOC, OP是NP在平面AOC内的射影, 而ACOP, 根据三垂线定理知ACNP, 所以OPN为二面角O-AC-B的平面角. 解三个直角三角形COA,AON,PON, 分别求得: OP=22 ,ON=33,PN= 306 ,所以cosOPN= OPPN =155. 点评: 为了找出二面角的平面角, 需用三垂线定理才能得到ACNP. 本例同样说明: 三垂线定理是把空间角转化为平面角的基础. 三、求轨迹 例5 (2007年北京崇文)如图5, P是正四面体V-ABC的面VBC上一点,点P到平面ABC的距离与到点V的距离相等, 则动点P的轨迹为. 其轨迹的离心率为. 分析: 设正四面体的棱长为2, 取AB中点E, 连结VE,CE,则VEC是二面角V-AB-C的平面角 VE=CE=3, 所以 cosVEC=3+3-4 2×3×3 =13, sinVEC=223 .在平面ABC内, 过P的射影D作DFBC于F, 连结PF, 根据三垂线定理知BCPF, 所以 PFD是二面角V-BC-A的平面角. PFD=VEC. 由此可得: sinPFD= PDPF =223 ,所以PVPF=223. 这就说明: 在平面VBC内, 动点P到定点V的距离和它到定直线BC的距离之比, 是一个小于1的正数. 根据椭圆的第二定义, 动点P的轨迹是椭圆的一部分, 其轨迹的离心率为 223 点评:在某些求轨迹的问题中, 也离不开三垂线定理. 练习: 1.四棱锥S-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形, 侧面SBC底面ABCD, 已知ABC=45°, AB=2, BC=22,SA=SB=3. 证明: SABC . 2.在三棱锥P-ABC中, PA=PB, PAPB, ABBC, BAC=30°, 平面PAB平面ABC. 求二面角P-AC-B的大小. 3.四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形, 其对角线AC=2, BD= 2. CF底面ABCD, CF=2.求二面角B-AF-D 的大小. 4.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3, 点M在棱AB上, 且AM=1, 点P是平面ABCD上的动点, 且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为9, 则动点P的轨迹是什么图形? 该图形与线段BC有没有交点? 若有, 指出是哪一点; 若没有, 说明理由. 答案: 1.作AOBC于D, 利用三垂线定理 2.arctan2 3.45° 4.抛物线,交于E,BE=5 山东省滨州市沾化县第二中学（256800）第 6 页 共 6 页