二次分式函数值域的求法

次 分 式 函 数 值 域 的 求 法甘肃王新宏一 定义域为R的二次分式函数用“判别式”法 解题步骤：1把函数转化为关于 x的二次方程2 方程有实根，>03 求的函数值域22x2 -x 2.例1:求y =二一的值域x x 2解： x2+x+2>0恒成立2x2 - x 2 /目由y =:得,x x 2(y -2) x 2+(y+l)x+y-2=0当y-2=0时，即y=2时，方程为x=0 R R当y-2w0时，即yw2时，- x R方程(y -2) x 2+(y+l)x+y-2=0 有实根A=(y+1) 2-(y-2) X(y-2)>0 3y2-i8y+15<0.函数值域为1,5 13x练习1 ：求y = 的值域x 4分母最高次募为一次的二次分式函数值域常转化为函数或用“均值不等式”来做。先来学习函数。形如y =x+ k （x>0 ,k>0）的函数，叫函数 x图像单调性：在 x 0, Jk W,单调递减。在 x Uk,时，单调递减。值域：2 k, ,二 解题步骤：令分母为 t,求出t的范围把原函数化为关于 t的函数利用函数的单调性或均值不等式来求值域,1C（一 < x <3）的值域22x2 - x 1 例2 求y =x一-2x -1解 令2x-1=t，得0<t 一 5, x=.y=l1当且仅当t 121 . 221 ,-=-时，即tt= 22 时，取"="。:值域为:1 ：:2,cosx - 21,3，.、2c 十 （sin x） 3cosx -4练习2 求y=的值域三分子为一次因式的二次分式函数，即形如:ax by=-cx dx e（ac 二 0）解题步骤：令分子为t,求出t的范围，把原函数化为关于t的函数分子分母同除以t,把分母化为关于 t的“，”函数 根据复和函数的单调性得出原函数值域x 1区J 3y = - x" I- 1,:x 3x 3解令x+1=t,得t w(0,-hc yi. x=t-it1y=-=t t 1 1 t 1 t i+t+ 1 >3 (t=i 时取“二”) t y £ 且 y>03值域为 02,3x 练习3:求y =的值域 ？X2 1四 分子分母均为二 次的二 次分式函数可化为“三“求之。例如:2x -1x2 2x 22x2 6x 1 2(x2 2x 2) 2x -1y= -=2=2+x 2x 2 x 2x 2注：实际上所有的二次分式函数的值域都可以用求导的方法解决，但有些题目用求导的方法求值域时比较 繁琐，配和以上方法，会得到事半功倍的效果。