用不动点法求数列通项公式
. . 用不动点法求递推数列(a2+c20)的通项储炳南(省岳西中学 246600)1通项的求法为了求出递推数列的通项,我们先给出如下两个定义:定义1:若数列满足,则称为数列的特征函数.定义2:方程=x称为函数的不动点方程,其根称为函数的不动点.下面分两种情况给出递推数列通项的求解通法.(1)当c=0,时,由,记,,则有(k0),数列的特征函数为=kx+c,由kx+c=#=,则数列是公比为k的等比数列,.(2)当c0时,数列的特征函数为:=由设方程的两根为x1,x2,则有:,(1)(2)又设(其中,nN*,k为待定常数).由(3)将(1)、(2)式代入(3)式得:数列是公比为(易证)的等比数列.=.2应用举例例1:已知数列an中,a1=2,求an的通项。解:因为an的特征函数为:,由,数列an-1是公比为的等比数列,an-1=an=1+.例2已知数列an中,a1=3,求an的通项。解:因为an的特征函数为:,由设即,数列是公比为的等比数列.a1=3,.例3已知数列an中,a1=2,求an的通项。解:因为an的特征函数为:,由设即,数列是公比为的等比数列.a1=2,.例4已知数列an的前n项和为,求an的通项。解:-得:因为an的特征函数为:,由x=1.设,将代入得:,。5 / 5