八年级数学上册同步练习题及答案

西南大学状元教育 1 12 1 1 平方根 第一课时 随堂检测 1 若 x2 a 则 叫 的平方根 如 16 的平方根是 的平方根是 972 2 表示 的平方根 表示 12 的 3 12 3 196 的平方根有 个 它们的和为 4 下列说法是否正确 说明理由 1 0 没有平方根 2 1 的平方根是 1 3 64 的平方根是 8 4 5 是 25 的平方根 5 6 5 求下列各数的平方根 1 100 2 3 1 21 4 8 915 典例分析 例 若 与 是同一个数的平方根 试确定 m 的值42 m13 课下作业 拓展提高 一 选择 1 如果一个数的平方根是 a 3 和 2a 15 那么这个数是 A 49 B 441 C 7 或 21 D 49 或 441 2 的平方根是 2 A 4 B 2 C 2 D 2 二 填空 西南大学状元教育 2 3 若 5x 4 的平方根为 则 x 1 4 若 m 4 没有平方根 则 m 5 5 已知 的平方根是 3a b 1 的平方根是 则 a 2b 的平方根是 12 a44 三 解答题 6 a 的两个平方根是方程 3x 2y 2 的一组解 1 求 a 的值 2 的平方根2a 7 已知 x y 2 0 求 x y 的值 x 体验中考 1 09 河南 若实数 x y 满足 0 则代数式 的值为 2 2 3 y2xy 2 08 咸阳 在小于或等于 100 的非负整数中 其平方根是整数的共有 个 3 08 荆门 下列说法正确的是 A 64 的平方根是 8 B 1 的平方根是 1 C 8 是 64 的平方根 D 没有平方根2 12 1 1 平方根 第二课时 随堂检测 1 的算术平方根是 的算术平方根 25981 2 一个数的算术平方根是 9 则这个数的平方根是 3 若 有意义 则 x 的取值范围是 若 a 0 则 0 x a 4 下列叙述错误的是 A 4 是 16 的平方根 B 17 是 的算术平方根2 17 C 的算术平方根是 D 0 4 的算术平方根是 0 021618 典例分析 例 已知 ABC 的三边分别为 a b c 且 a b 满足 求 c 的取值范围3 4 0b 分析 根据非负数的性质求 a b 的值 再由三角形三边关系确定 c 的范围 西南大学状元教育 3 课下作业 拓展提高 一 选择 1 若 则 的平方根为 2m 2 A 16 B C D 16 42 2 的算术平方根是 6 A 4 B C 2 D 二 填空 3 如果一个数的算术平方根等于它的平方根 那么这个数是 4 若 0 则 2x 2 y xy 三 解答题 5 若 a 是 的平方根 b 是 的算术平方根 求 2b 的值2 162a 6 已知 a 为 的整数部分 b 1 是 400 的算术平方根 求 的值170 b 体验中考 1 2009 年山东潍坊 一个自然数的算术平方根为 a 则和这个自然数相邻的下一个自然 数是 A 1a B 21a C 21 D 1a 2 08 年泰安市 的整数部分是 若 a b a b 为连续整数 则857 a b 3 08 年广州 如图 实数 在数轴上的位置 ab 化简 22 a 4 08 年随州 小明家装修用了大小相同的正方形瓷砖共 66 块铺成 10 56 米 2的房间 小 明想知道每块瓷砖的规格 请你帮助算一算 12 1 2 立方根 随堂检测 1 若一个数的立方等于 5 则这个数叫做 5 的 用符号表示为 西南大学状元教育 4 64 的立方根是 125 的立方根是 的立方根是 5 2 如果 216 则 3x 如果 64 则 3 当 为 时 有意义 x32x 4 下列语句正确的是 A 的立方根是 2 B 的立方根是 27 63 C 的立方根是 D 立方根是2783 2 1 1 典例分析 例 若 求 的值 338x51 2 拓展提高 一 选择 1 若 则 a b 的所有可能值是 22 6 a33 b A 0 B C 0 或 D 0 或 12 或112 12 2 若式子 有意义 则 的取值范围为 3a A B C D 以上均不对 a 2 a 二 填空 3 的立方根的平方根是 64 4 若 则 4 x 的立方根为 12 x 三 解答题 5 求下列各式中的 x 的值 1 125 343 2 3 2 6431 3 x 6 已知 且 求 的值43 a03 12 cb33cba 西南大学状元教育 5 体验中考 1 09 宁波 实数 8 的立方根是 2 08 泰州市 已知 互为相反数 则下列各组数中 不是互为相反数的一0 ab 组是 A 3a 与 3b B 2 与 2 C 与 D 与2a2b 3ab 3 08 益阳市 一个正方体的水晶砖 体积为 100 cm3 它的棱长大约在 A 4 5cm 之间 B 5 6cm 之间 C 6 7 cm 之间 D 7 8cm 之间 12 2 实数与数轴 随堂检测 1 下列各数 中 237 3241 3 12 9 641 3 无理数有 个 有理数有 个 负数有 个 整数有 个 2 的相反数是 3 3 的相反数是 的绝对值 5721 3 设 对应数轴上的点 A 对应数轴上的点 B 则 A B 间的距离为 5 4 若实数 a b1 4x 2 xy y2 3x xy 2 2x2y 1 单项式与多项式相乘随堂练习题 一 选择题 1 计算 3x 2x 2 5x 1 的结果是 A 6x 2 15x2 3x B 6x 3 15x2 3x C 6x 3 15x2 D 6x 3 15x2 1 2 下列各题计算正确的是 A ab 1 4ab 2 4a 2b3 4ab2 B 3x 2 xy y2 3x2 9x4 3x3y y2 C 3a a 2 2a 1 3a 3 6a2 D 2x 3x 2 4x 2 6x 3 8x2 4x 3 如果一个三角形的底边长为 2x2y xy y2 高为 6xy 则这个三角形的面积是 A 6x 3y2 3x2y2 3xy3 B 6x 3y2 3xy 3xy3 C 6x 3y2 3x2y2 y2 D 6x 3y 3x2y2 4 计算 x y z y z x z x y 结果正确的是 A 2xy 2yz B 2yz C xy 2yz D 2xy xz 二 填空题 5 方程 2x x 1 12 x 2x 5 的解是 6 计算 2ab a 2b 3ab2 1 7 已知 a 2b 0 则式子 a3 2ab a b 4b 3 的值是 三 解答题 8 计算 x2y 2xy y2 4xy ab 2 3a 2b abc 1 1 西南大学状元教育 20 3a n 2b 2anbn 1 3bn 5a nbn 3 n 为正整数 n 1 4x 2 xy y2 3x xy 2 2x2y 1 9 化简求值 ab a 2b5 ab3 b 其中 ab2 2 四 探究题 10 请先阅读下列解题过程 再仿做下面的题 已知 x2 x 1 0 求 x3 2x2 3 的值 解 x 3 2x2 3 x3 x2 x x2 x 3 x x 2 x 1 x 2 x 1 4 0 0 4 4 如果 1 x x2 x3 0 求 x x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 的值 3 多项式与多项式相乘 回 忆 m n a b ma mb na nb 概 括 这个等式实际上给出了多项式乘以多项式的法则 多项式与多项式相乘 先用 再 把 例 4 计算 1 x 2 x 3 2 3x 1 2x 1 例 5 计算 1 x 3y x 7y 2 2x 5y 3x 2y 西南大学状元教育 21 练习 1 计算 1 x 5 x 7 2 x 5y x 7y 3 2m 3n 2m 3n 4 2a 3b 2a 3b 2 小东找来一张挂历纸包数学课本 已知课本长 a厘米 宽 b厘米 厚 c厘米 小东想将课本封面与封底的每一边都包进去 m厘米 问 小东应在挂历纸上裁下一块多大面积的长方形 习题 13 2 1 计算 1 5x 8x 2 11x 12x 3 121 3 2x 3x 4 8xy 1 2x 2 23 2 世界上最大的金字塔 胡夫金字塔高达 146 6米 底边长 230 4 米 用了约 2 3 块大石块 每块重约 2 5 千克 请问 6 3 胡夫金字塔总重约多少千克 3 计算 1 3x 2x x 4 2 2 西南大学状元教育 22 5 2xy x y 4 5x y 3223 4 化简 1 x 1 2x 1 3x 3 2x 2 2 x x 1 2 2x x 2x 3 2 5 一块边长为 xcm的正方形地砖 被裁掉一块 2cm宽的长条 问剩 下部分的面积是多少 6 计算 1 x 5 x 6 2 3x 4 3x 4 3 2x 1 2x 3 4 9x 4y 9x 4y 13 5 因式分解 1 一 基础训练 1 若多项式 6ab 18abx 24aby 的一个因式是 6ab 那么其余的因式是 A 1 3x 4y B 1 3x 4y C 1 3x 4y D 1 3x 4y 2 多项式 6ab 2 18a2b2 12a3b2c 的公因式是 A 6ab 2c B ab 2 C 6ab 2 D 6a 3b2c 3 下列用提公因式法分解因式正确的是 A 12abc 9a 2b2 3abc 4 3ab B 3x 2y 3xy 6y 3y x 2 x 2y C a 2 ab ac a a b c D x 2y 5xy y y x 2 5x 4 下列等式从左到右的变形是因式分解的是 A 6a 3b2 2a2b 3ab 2 B 9a 2 4b2 3a 2b 3a 2b C ma mb c m a b c D a b 2 a2 2ab b2 5 下列各式从左到右的变形错误的是 A y x 2 x y 2 B a b a b C m n 3 n m 3 D m n m n 西南大学状元教育 23 6 若多项式 x2 5x m 可分解为 x 3 x 2 则 m 的值为 A 14 B 6 C 6 D 4 7 1 分解因式 x 3 4x 2 因式分解 ax 2y axy2 8 因式分解 1 3x 2 6xy x 2 25x x 3 3 9x 2 a b 4y 2 b a 4 x 2 x 4 1 二 能力训练 9 计算 54 99 45 99 99 10 若 a 与 b 都是有理数 且满足 a2 b2 5 4a 2b 则 a b 2006 11 若 x2 x k 是一个多项式的平方 则 k 的值为 A B C D 14141 12 若 m2 2mn 2n2 6n 9 0 求 的值 2mn 13 利用整式的乘法容易知道 m n a b ma mb na nb 现在的问题是 如何将多项式 ma mb na nb 因式分解呢 用你发现的规律将 m3 m2n mn2 n3 因式分 解 14 由一个边长为 a 的小正方形和两个长为 a 宽为 b 的小矩形拼成如图的矩形 ABCD 则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式 请你写出其中任意三个等式 西南大学状元教育 24 15 说明 817 299 913 能被 15 整除 参考答案 1 D 点拨 6ab 18abx 24aby 6ab 1 3x 4y 2 C 点拨 公因式由三部分组成 系数找最大公约数 字母找相同的 字母指数 找最低的 3 C 点拨 A 中 c 不是公因式 B 中括号内应为 x2 x 2 D 中括号内少项 4 B 点拨 分解的式子必须是多项式 而 A 是单项式 分解的结果是几个整式乘 积的形式 C D 不满足 5 D 点拨 m n m n 6 C 点拨 因为 x 3 x 2 x 2 5x 6 所以 m 6 7 1 x x 2 x 2 2 axy x y 8 1 3x 2 6xy x x 3x 6y 1 2 25x x 3 x x 2 25 x x 5 x 5 3 9x 2 a b 4y 2 b a 9x 2 a b 4y 2 a b a b 9x 2 4y2 a b 3x 2y 3x 2y 4 x 2 x 4 1 x 2 6x 8 1 x2 6x 9 x 3 2 9 9900 点拨 54 99 45 99 99 99 54 45 1 99 100 9900 10 1 点拨 a 2 b2 5 4a 2b a 2 4a 4 b2 2b 1 0 即 a 2 2 b 1 2 0 所以 a 2 b 1 a b 2006 2 1 2006 1 11 A 点拨 因为 x2 x x 2 所以 k 1414 12 解 m 2 2mn 2n2 6n 9 0 m 2 2mn n2 n 2 6n 9 0 m n 2 n 3 2 0 m n n 3 m 3 2n3 1 13 解 m 3 m2n mn2 n3 m2 m n n 2 m n m n m 2 n2 14 a 2 2ab a a 2b a a b ab a a 2b a a 2b a a b ab a a 2b 2ab a 2 a a 2b a 2 2ab 等 点拨 将某一个矩形面积用不同形式表示出来 15 解 81 7 279 913 3 4 7 3 3 9 3 2 13 328 327 326 326 3 2 3 1 3 26 5 325 3 5 325 15 故 817 279 913 能被 15 整除 西南大学状元教育 25 13 5 因式分解 2 1 3a 4b2 与 12a 3b5 的公因式是 2 把下列多项式进行因式分解 1 9x 2 6xy 3x 2 10 x 2y 5xy2 15xy 3 a m n b n m 3 因式分解 1 16 m2 2 a b 2 1 3 a 2 6a 9 4 x2 2xy 2y2 5 1 4 下列由左边到右边的变形 属于因式分解的是 A x 2 x 2 x 2 4 B x 2 2x 1 x x 2 1 C a 2 b2 a b a b D ma mb na nb m a b n a b 5 因式分解 1 3mx 2 6mxy 3my2 2 x 4 18x2y2 81y4 3 a 4 16 4 4m 2 3n 4m 3n 6 因式分解 1 x y 2 14 x y 49 2 x x y y y x 3 4m 2 3n 4m 3n 7 用另一种方法解案例 1 中第 2 题 西南大学状元教育 26 8 分解因式 1 4a 2 b2 6a 3b 2 x 2 y2 z2 2yz 9 已知 a b 3 b c 5 求代数式 ac bc a2 ab 的值 参考答案 1 3a 3b2 2 1 原式 3x 3x 2y 1 2 原式 10 x 2y 5xy2 15xy 5xy 2x y 3 3 原式 a m n b m n m n a b 点拨 1 题公因式是 3x 注意第 3 项提出 3x 后 不要丢掉此项 括号内的多项式 中写 1 2 题公因式是 5xy 当多项式第一项是负数时 一般提出 号使括号内 的第一项为正数 在提出 号时 注意括号内的各项都变号 3 1 16 m2 42 m 2 4 m 4 m 5151 2 a b 2 1 a b 1 a b b a b 1 a b 1 3 a 2 6a 9 a2 2 a 3 32 a 3 2 4 x2 2xy y2 x 2 4xy 4y2 x2 2 x 2y 2y 2 x 2y 2 1 点拨 如果多项式完全符合公式形式则直接套用公式 若不是 则要先化成符合公 式的形式 再套用公式 1 2 符合平方差公式的形式 3 4 符合完全平方公式 的形式 4 C 点拨 这是一道概念型试题 其思路是根据因式分解的定义来判断 分解因式 的最后结果应是几个整式积的形式 只有 C 是 故选 C 5 1 3mx 2 6mxy 3my2 3m x 2 2xy y2 3m x y 2 2 x 4 18x2y2 81y4 x 2 2 2 x2 9x2 9y 2 2 x 2 9y2 2 x2 3y 2 2 西南大学状元教育 27 x 3y x 3y x 3y 2 x 3y 2 3 a 416 a 2 2 42 a 2 4 a 2 4 a 2 4 a 2 a 2 4 4m 2 3n 4m 3n 4m 2 12mn 9n2 2m 2 2 2m 3n 3n 2 2m 3n 2 点拨 因式分解时 要进行到每一个多项式因式都不能分解为止 1 先提公因式 3m 然后用完全平方公式分解 2 把 x4 作 x 2 2 81y 4 作 9y 2 2 然后运用完全平 方公式 6 1 x y 2 14 x y 49 x y 2 2 x y 7 7 2 x y 7 2 2 x x y y y x x x y y x y x y x y 3 4m 2 3n 4m 3n 4m 2 12mn 9n2 2m 2 2 2m 3n 3n 2 2m 3n 2 7 x x y y y x x 2 xy y2 xy x2 2xy y2 x y 2 8 解 1 原式 4a 2 b2 6a 3b 2a b 2a b 3 2a b 2a b 2a b 3 2 原式 x 2 y 2 2yz z2 x 2 y z 2 x y z x y z 9 a b 3 b c 5 a c 2 ac bc a 2 ab c a b a a b a b c a 3 2 6 因式分解方法研究系列 三 十字相乘法 关于 的形式的因式分解 2xpqx 1 因式分解以下各式 1 2 3 4 256x 65 26x 215x 2 因式分解以下各式 1 2 2356x 2465x 3 4 236ab 215x 西南大学状元教育 28 2 因式分解以下各式 1 2 3 4 230 x 4256x 2241xy 22xy 3 挑战自我 1 2 24415xx 2214xx 数学当堂练习 1 姓名 计算 1 2a 2 3ab2 5ab3 2 x x2 1 2x2 x 1 3x 2x 5 3 3 m n m n 4 3 m n 3 m n 2 数学当堂练习 2 姓名 计算 1 x y 3 y x 2 2 3a2 2a2 9a 3 4a 2a 1 3 5xy 4xy 6 xy xy2 13 西南大学状元教育 29 4 2x 3 x 4 5 3x y x 一 2y 数学当堂练习 3 姓名 计算 1 3x 5 2x 3 2 5x x 2 x 2 x 4 解不等式 1 2y 1 y 2 y 2 3y 1 y 3 11 数学当堂练习 4 姓名 计算 1 1 xy 1 xy 2 a 2 a 2 a2 4 3 x y x y x 2y x 2y 4 6 5312 数学当堂练习 5 姓名 计算 1 2x 1 2 2x 1 2 2 2x 1 2 2x 1 2 3 2x 2 3 2x 1 2 4 2x y 3 2 西南大学状元教育 30 5 m 2n 3 m 2n 3 数学当堂练习 6 姓名 计算 1 1 x y 1 x y 2 3x 2y 1 2 3 已知 x y 2 6 x y 2 8 求 1 x y 2 2 xy 值 4 x 2 x 2 2x 4 5 x x 1 2 x 2 x 1 x 1 数学当堂练习 7 姓名 计算 1 2m 1 2 2 3x 2y 1 2 3 3s 2t 9s2 6st 4t2 4 21a2b3c 7a2b2 5 28a4b2c a2b3 14a2b2 7a2b 6 x2y xy2 2xy xy1 数学当堂练习 8 姓名 西南大学状元教育 31 一 计算 1 16x3 8x2 4x 2x 2 x2x3 3 x3 4 1 二 因式分解 1 2x 4x 2 5 a 2 x 2 x 3 12m2n 3mn2 18 1 勾股定理 1 在 ABC 中 B 90 A B C 对边分别为 a b c 则 a b c 的关系是 A c 2 a2 b2 B a 2 b c b c C a 2 c2 b2 D b a c 知识点 勾股定理 知识点的描述 直角三角形中 两直角边的平方和等于斜边的平方 要正确的理解勾股定 理的条件和结论 要明确斜边和直角边在定理中的区别 答案 B 详细解答 在 ABC 中 B 90 B 的对边 b 是斜边 所以 b2 a2 c2 a 2 b c b c 可变形为 b2 a2 c2 所以选 B 1 下列说法正确的是 A 若 a b c 是 ABC 的三边 则 a2 b2 c2 B 若 a b c 是 Rt ABC 的三边 则 a2 b2 c2 C 若 a b c 是 Rt ABC 的三边 则 a2 b2 c2 90 A D 若 a b c 是 Rt ABC 的三边 则 c2 b2 a2 C 答案 D 详细解答 A 是错的 缺少直角条件 B 也是错的 不明确哪一边是斜边 无法判断哪两边的平方和等于哪一边的平方 C 也是错的 既然 那么 a 边才是斜边 应该是 a2 c2 b2 90 A 西南大学状元教育 32 D 才是正确的 那么 c2 a2 b2 即 c2 b2 a2 90 C 2 小明量得家里新购置的彩电屏幕的长为 58cm 宽为 46cm 则这台电视机的尺寸 即电视机 屏幕的对角线长 是 A 9 英寸 23cm B 21 英寸 54cm C 29 英寸 74cm D 34 英寸 87cm 知识点 勾股定理的应用 知识点的描述 直角三角形中 两直角边的平方和等于斜边的平方 求某一条线段的长度 的一般方法是 把这条线段放在一个直角三角形中 作为三角形的边来求 答案 C 详细解答 如答图 四边形 ABCD 表示彩电屏幕 其长为 58cm 即 BC 58cm 宽为 46cm 即 AB 46cm 在直角三角形 ABC 中 BC 58cm AB 46cm 那么 AC2 BC2 AB2 572 462 5365 所以 AC 74cm 选 C 2 两只小鼹鼠在地下挖洞 一只朝前方挖 每分钟挖 8cm 另一只朝左挖 每分钟挖 6cm 10 分钟之后两只小鼹鼠相距 A 50cm B 80cm C 100cm D 140cm 答案 C 详细解答 如答图 一只小鼹鼠从 B 挖到 C BC 8cm 10 80cm 另一只小鼹鼠从 B 挖到 A BA 6cm 10 60cm 由题意可知两个方向互相垂直 所以 AC2 AB2 BC2 602 802 10000 所以 AC 100 cm 3 已知一个三角形三个内角的比是 1 2 1 则它的三条边的比是 A 1 1 B 1 1 2 C 1 D 1 4 1223 知识点 等腰直角三角形 含 30 角的直角三角形 知识点的描述 要求知道等腰直角三角形 含 30 角的直角三角形的三边的比的来历 最 西南大学状元教育 33 好能记住三边之比 答案 A 详细解答 三角形三个内角的比是 1 2 1 可以知道三个角分别为 45 90 45 如答图 假设 AB 1 那么 BC 1 AC 2 AB2 BC2 1 1 2 所以 AC 三条2 边的比是 1 1 2 3 已知 ABC 中 A C B 则它的三条边之比为 13 A 1 1 B 1 2 C 1 D 1 4 123 答案 B 详细解答 ABC 中 A C B 可求出 A 30 123 C 60 B 90 画出答图 假设 BC 1 那么 AC 2 根据勾股定理得 AB2 AC2 BC2 4 1 3 所以 AB 因此三边的比为 1 2 33 4 直角三角形中 斜边的平方等于两直角边乘积的 2 倍 这个三角形的最小锐角为 A 15 B 30 C 45 D 不能确定 知识点 勾股定理在数学中的应用 知识点的描述 直角三角形中 两直角边的平方和等于斜边的平方 答案 C 详细解答 由勾股定理得 AC2 BC2 AB2 又已知斜边的平方等于两直角边乘积的 2 倍 即 西南大学状元教育 34 A B C AC2 2AB BC 所以 BC2 AB2 2AB BC 得 BC AB 2 0 所以 BC AB 所以三角形 ABC 是 等腰直角三角形 最小锐角为 45 4 如图所示 Rt ABC 中 BC 是斜边 将 ABP 绕点 A 逆时针旋转后 能与 ACP 重合 如果 AP 3 那么 PP 长为 A 4 B 5 C 6 D 18 答案 D 详细解答 由题意 将 ABP 绕点 A 逆时针旋转后 能与 ACP 重合 知 ABP ACP 所以 CAP BAP AP AP 又因为 BAC 90 所以 PAP 90 AP AP 3 在直角三角形 APP 中 PP 2 AP 2 AP2 32 32 18 所以 PP 18 5 如图 数轴上的点 A 所表示的数为 x 则 x 的值为 A B C 2 D 22 知识点 认识长度为无理数的线段 知识点的描述 在直角三角形中利用勾股定理 可以作出长度为无理数的线段 答案 B 详细解答 在 Rt BCD 中 CB BD 1 那么 CD2 CB2 BD2 2 所以 CD CA CD 因2 此点 A 所表示的数为 2 5 如图 正方形网格中 每个小正方形的边长为 1 则网格上的三角形 ABC 中 边长为无 理数的边数是 A 0 B 1 C 2 D 3 P P CB A 西南大学状元教育 35 答案 C 详细解答 在 Rt ABD 中 AD 5 BD 1 那么 AB2 AD2 BD2 26 AB 6 在 Rt BCE 中 BE 3 CE 2 那么 BC2 BE2 CE2 13 BC 13 在 Rt ACF 中 AF 4 CF 3 那么 AC2 AF2 CF2 25 AC 5 所以边长为无理数的边是 AB 和 BC 6 已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4 则第三边长是 A 5 B 25 C D 5 或77 知识点 两解问题 知识点的描述 在直角三角形中应用勾股定理要注意哪一边是斜边 答案 D 详细解答 如果两直角边长分别为 3 和 4 那么第三边就是斜边 其长度为 5 如果 4 是斜 边 3 是直角边 那么另一条直角边为 7 6 ABC 中 若 AB 15 AC 13 高 AD 12 则 ABC 的周长是 A 42 B 32 C 42 或 32 D 37 或 33 答案 C 详细解答 若高 AD 在 ABC 内部 如图 在 Rt ABD 中 AB 15 AD 12 那么 BD2 AB2 AD2 81 BD 9 在 Rt ACD 中 AC 13 AD 12 那么 CD2 AC2 AD2 25 CD 5 所以 BC BD CD 9 5 14 这时周长为 15 13 14 42 若高 AD 在 ABC 外部 如图 在 Rt ABD 中 AB 15 AD 12 那么 BD2 AB2 AD2 81 BD 9 B 西南大学状元教育 36 在 Rt ACD 中 AC 13 AD 12 那么 CD2 AC2 AD2 25 CD 5 所以 BC BD CD 9 5 4 这时周长为 15 13 4 32 所以选 C 7 如图 有两棵树 一棵高 8m 另一棵高 2 m 两树相距 8 m 一只小鸟从一棵树的树梢 飞到另一棵树的树梢 至少飞行 A 6 m B 8 m C 10 m D 18 m 知识点 构建直角三角形 勾股定理 实际问题 知识点的描述 在解决实际问题时 常常要构建直角三角形 构成勾股定理的模型 应用 勾股定理解决实际问题 答案 C 详细解答 把实际问题转化为数学问题 如图 AB 表示高 8m 的树 CD 表示高 2 m 的树 小 鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的最短路径为 AD 过 D 点作 AB 的垂线 构成直角 三角形 AED 在直角三角形 AED 中 DE BC 8 m AE AB EB AB CD 6m 从而 AD2 AE2 DE2 62 82 100 所 以 AB 10 m 7 一根高 9 米的旗杆在离地 4 米高处折断 折断处仍相连 此时在 3 9 米远处玩耍的身高 为 1 米的小明是否有危险 A 没有危险 B 有危险 C 可能有危险 D 无法判断 答案 B 西南大学状元教育 37 详细解答 把实际问题转化为数学问题 如答图 AB 代表原旗杆的位置 AF 表示折段的旗杆 CD 表示小明 如果 AD 小于等于 AF 就有危险 反之就没有危险 过 D 点作 AB 的垂线 构成直角三角形 AED 在直角三角形 AED 中 DE BC 3 9 AE AB EB AB CD 3 从而 AD2 AE2 DE2 32 3 92 24 21 由题意知 AF 5 所以 AF2 25 显然 AD 小于 AF 有危险 8 如图 AB 为一棵大树 在树上距地面 10m 的 D 处有两只猴子 它们同时发现地面上的 C 处有一筐水果 一只猴子从 D 处上爬到树顶 A 处 利用拉在 A 处的滑绳 AC 滑到 C 处 另一只猴子从 D 处滑到地面 B 再由 B 跑到 C 已知两猴子所经路程都是 15m 求树高 AB A 10 m B 11 m C 12 m D 15 m 知识点 方程的思想 勾股定理的实际应用问题 知识点的描述 在解决几何中的有关计算问题时 经常要用到代数中的方程 要形成用方 程解决几何问题的思想意识 答案 C 详细解答 设 AD x 米 则 AB 为 10 x 米 AC 为 15 x 米 BC 为 5 米 x 10 2 52 15 x 2 解得 x 2 10 x 12 米 所以树高 12 m 8 小刚准备测量河水的深度 他把一根竹竿插到离岸边 1 5m 远的水底 竹竿高出水面 0 5m 把竹竿的顶端拉向岸边 如果竿顶和岸边的水平面刚好相齐 那么河水的深度为 A 2m B 2 5m C 2 25m D 3m B A C D 西南大学状元教育 38 答案 A 详细解答 画出如图所示的示意图 AB 是竖直的竹竿 CB 是拉向岸边的 竹竿 CD 是水面 由题意知 CD 1 5 m AD 0 5 m 假设河水的深度 BD 为 x m 那么竹竿 的高就是 x 0 5 m 所以 CB x 0 5 m 直角三角形 BDC 中应用勾 股定理得 x 0 5 2 x2 1 52 解得 x 2 所以河水的深度为 2m 9 已知 如图 ABC 中 BC 4 A 45 B 60 那么 AC A B 4 C 6 D 24 12 知识点 转化的数学思想 勾股定理 知识点的描述 在解决有关求线段长度问题时 常通过添加辅助线 把一般三角形的问题 转化为直角三角形的问题 利用勾股定理解决问题 答案 A 2 也行 6 分析 由于本题中的 ABC 不是直角三角形 所以根据题设只能直接求得 ACB 75 添 置 AB 边上的高这条辅助线 就可以得到直角三角形 在直角三角形中就可以求得一些线段 的长度 详细解答 作 AB 边的高 CD 如图 在 Rt BDC 中 B 60 那么 BCD 90 60 30 BC 4 那么 BD 2 利用勾股定理可求出 CD 12 在 Rt ADC 中 A 45 那么 ACD 90 45 45 所以 AD CD 12 那么利用勾股定理得 AC2 AD2 CD2 24 所以 AC 4 小结 可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题 请你思考本题还 可以作其它辅助线吗 为什么 注意利用特殊角 C A BD 西南大学状元教育 39 9 已知 如图 B D 90 A 60 AB 4 CD 2 四边形 ABCD 的面积为 A 20 B 310 C D 1636 答案 C 目前初二的学生还没学到二次根式的化简 做到 2 就可以了 481 分析 如何构造直角三角形是解本题的关键 可以连结 AC 或延长 AB DC 交于 F 或延长 AD BC 交于 E 根据本题给定的角应选后两种 进一步根据本题给定的边选第三种较为简 单 不妨几种方法都尝试一下 你会有很多收获的 详细解答 延长 AD BC 交于 E A 60 B 90 E 30 AE 2AB 8 CE 2CD 4 BE 2 AE2 AB2 82 42 48 BE 483 DE 2 CE2 CD2 42 22 12 DE 12 S 四边形 ABCD S ABE S CDE AB BE CD DE 4 2 2 1482148 1236 小结 不规则图形的面积 可转化为特殊图形求解 本题通过将图形转化为直角三角 形的方法 把四边形面积转化为三角形面积之差 另外作辅助线要充分考虑利用条件 一 般情况下是不能把特殊角分割的 10 如图 有一块直角三角形纸片 两直角边 AC 6cm BC 8cm 现将直角边 AC 沿直线 AD 折 叠 使它落在斜边 AB 上 且与 AE 重合 则 CD 等于 A B C D cm2c3m4c5 知识点 折叠 问题 勾股定理的应用 知识点的描述 折叠 问题是数学中常见问题之一 解决问题的关键就是一定要搞清是 怎样折叠的 尤其是原来的线段和角折叠到哪去了 理清已知和未知 找到能联系二者的 ABEDCAB C D E 西南大学状元教育 40 直角三角形 利用勾股定理问题就迎刃而解 答案 B 详细解答 假设 CD xcm 那么 DE CD xcm BD 8 x cm 因为直角三角形纸片的两直角边 AC 6cm BC 8cm 所以利用勾股定理可得斜边 AB 10cm 又 AE AC 6cm 所以 EB AB AE 4 cm 在 Rt EBD 中 EB 4cm DE xcm BD 8 x cm 那么 8 x 2 x2 42 解得 x 3 所以 CD cm3 10 如下图 折叠长方形 四个角都是直角 对边相等 的一边 AD 点 D 落在 BC 边的点 F 处 已知 AB 8cm AD 10cm 求 EC 的长 A 3cm B 4cm C 5cm D 6cm 答案 A 详细解答 由折叠的过程可知 AFE ADE AD AF DE EF 在 Rt ABF 中 AB 8cm AF 10cm BF 2 AF 2 AB 2 10 2 8 2 6 2 BF 6 FC BC BF 10 6 4cm 如 果设 CE xcm DE 8 x cm 所以 EF 8 x cm 在 Rt CEF 中 EF 2 CF 2 CE 2 用这个关系建立方程 8 x 2 4 2 x 2 解得 x 3 即 CE 的长为 3cm 18 2 勾股定理的逆定理 1 如图所示 ABC 中 若 A 75 C 45 AB 2 则 AC 的长等于 A 2 B 2 23 C D 66 知识点 转化的数学思想 勾股定理 知识点的描述 在解决有关求线段长度问题时 常通过添加辅助线 把一般三角形的问题 转化为直角三角形的问题 利用勾股定理解决问题 勾股定理的内容 直角三角形两直角 西南大学状元教育 41 边的平方和等于斜边的平方 答案 C 详细解答 作 BC 边上的高 AD ABC 中 BAC 75 C 45 那么 B 60 从而 BAD 30 在 Rt ABD 中 BAD 30 AB 2 所以 BD 1 AD 3 在 Rt ACD 中 C 45 AD 所以 CD AD 3 利用勾股定理可得 AC 6 1 已知 在 Rt ABC 中 C 90 CD AB 于 D A 60 CD 线段 AB 长为 3 A 2 B 3 C 4 D 3 3 答案 C 分析 欲求 AB 可由 AB BD AD 分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角 求出 BD 和 AD 或欲求 AB 可由 分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角 2BCA 求出 AC 和 BC 详细解答 在 Rt ACD 中 A 60 那么 ACD 30 又已知 CD 所以利用勾股定3 理或特殊三角形的三边的比求出 AD 1 在 Rt ACB 中 A 60 那么 B 30 在 Rt BCD 中 B 30 又已知 CD 所以 BC 2 利用勾股定理或特殊三角形的33 三边的比求出 BD 3 因此 AB BD CD 3 1 4 小结 本题是 双垂图 的计算题 双垂图 是中考重要的考点 所以要求对图形及性质 掌握非常熟练 能够灵活应用 目前 双垂图 需要掌握的知识点有 3 个直角三角形 三个勾股定理及推导式 BC2 BD2 AC2 AD2 两对相等锐角 四对互余角 及 30 或 45 特 殊角的特殊性质等 B A C D 西南大学状元教育 42 2 已知 a b c 为 ABC 三边 且满足 a2c2 b2c2 a4 b4 则它的形状为 A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰三角形或直角三角形 知识点 综合代数变形和勾股定理的逆定理判断三角形的形状 知识点的描述 这类问题常常用到代数中的配方 因式分解 再结合几何中的有关定理不 难作出判断 答案 D 详细解答 a2c2 b2c2 a4 b4 左右两边因式分解得 2222 babac 或 0c02 022 c 即 或 所以三角形的形状为等腰三角形或直角三角形 22 2 若 ABC 的三边 a b c 满足 c b 2 a 2 b2 c2 0 则 ABC 是 A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰三角形或直角三角形 答案 C 详细解答 c b 2 a 2 b2 c2 0 c b 0 且 a2 b2 c2 0 即 且 bc 22ba 所以三角形的形状为等腰直角三角形 3 五根小木棒 其长度分别为 7 15 20 24 25 现将他们摆成两个直角三角形 其中 正确的是 知识点 勾股定理的逆定理 知识点的描述 在三角形中 如果某两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是 西南大学状元教育 43 直角三角形 最大的边就是斜边 满足 a2 b2 c2的三个正整数 称为勾股数 勾股数扩大相同倍数后 仍为勾股数 最好能 记住常见的几组勾股数 3 4 5 5 12 13 6 8 10 7 24 25 8 15 17 等 答案 C 详细解答 A 图和 B 图中右边的三角形三边不存在某两边的平方和等于第三边的平方 不 是直角三角形 D 图中两个的三角形三边都不存在某两边的平方和等于第三边的平方 都 不是直角三角形 只有 C 图中的两个三角形都是直角三角形 3 在下列说法中是错误的 A 在 ABC 中 为正整数 且 2 2Amnmn B A mn 则 ABC 为直角三角形 B 在 ABC 中 若 A B C 3 4 5 则 ABC 为直角三角形 C 在 ABC 中 若 则 ABC 为直角三角形 22cba D 在 ABC 中 若 a b c 5 12 13 则 ABC 为直角三角形 答案 B 详细解答 在 ABC 中 若 A B C 3 4 5 那么最大角 C 075182 不是直角三角形 ABC 三条边的比为 a b c 5 12 13 则可设 a 5k b 12k c 13k a 2 b 2 25k 2 144k 2 169k 2 c 2 13k 2 169k 2 所以 a2 b 2 c 2 ABC 是直角三角形 4 下列各命题的逆命题不成立的是 A 两直线平行 同旁内角互补 B 若两个数的绝对值相等 则这两个数也相等 C 对顶角相等 D 如果 a2 b2 那么 a b 知识点 互逆命题 知识点的描述 如果一个命题的题设是另一个命题的结论 而结论又是另一个命题的题设 那么这样的两个命题是互逆命题 一个命题和它的逆命题的真假没有什么联系 答案 C 详细解答 对顶角相等 的逆命题是 相等的角是对顶角 显然这是一个假命题 西南大学状元教育 44 4 下列命题的逆命题成立的是 A 若 a b 则 B 全等三角形的周长相等ba C 同角 或等角 的余角相等 D 若 a 0 则 ab 0 答案 C 详细解答 A 的逆命题是 若 则 a b 不一定成立 也可能 a bba B 的逆命题是 周长相等的三角形全等 不一定成立 两个三角形周长相等 形状不一 定就相同 D 的逆命题是 若 ab 0 则 a 0 不一定成立 也可能是 b 0 而 a 0 5 如图 一轮船以 16 海里 时的速度从港口 A 出发向东北方向航行 另一轮船以 12 海里 时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行 离开港口 2 小时后 两船相距 A 25 海里 B 30 海里 C 35 海里 D 40 海里 知识点 勾股定理的实际应用题 知识点的描述 求距离或某个长度是很常见的实际应用题 这种问题一般转化为几何中的 求线段长度问题 通常是在现有的直角三角形或构建的直角三角形中 利用勾股定理求出 线段的长度 从而解决实际问题 答案 D 详细解答 画出答题图 由题意知 三角形 ABC 是直角三角形 AC 32 海里 AB 24 海里 根据勾股定理得 BC2 AC2 AB2 322 242 1600 所以 BC 40 海里 5 有一长 宽 高分别为 5cm 4cm 3cm 的木箱 在它里面放入一根细木条 木条的粗细 形变忽略不计 要求木条不能露出木箱 请你算一算 能放入的细木条的最大长度是 A B C D cm41c34cm50c35 西南大学状元教育 45 ABC D C B A 答案 C 详细解答 画出如图所示的木箱图 图中 AD 的长度就是能放入 的细木条的最大长度 由题意知 CB 5cm CA 4cm BD 3cm 在 Rt ACB 中 AC 和 BC 是直角边 AB 是斜边 AB 2 AC2 CB2 41 在 Rt ADB 中 AB 和 BD 是直角边 AD 是斜边 AD 2 AB2 BD2 41 9 50 所以 AD cm50 6 如图 正方形网格中的 ABC 若小方格边长为 1 则 ABC 是 A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 以上答案都不对 知识点 网格问题 勾股定理和逆定理 知识点的描述 网格问题是常见的问题 解决这种问题要充分的利用正方形网格 勾股定理的内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理的逆定理 在三角形中 如果某两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角 形是直角三角形 答案 A 详细解答 把 ABC 的各边分别放在不同的直角三角形中 给出必须的点的名称 画出图 形 在 Rt BCD 中 CD 1 DB 8 那么 CB2 CD2 BD2 65 在 Rt ACE 中 AE 2 CE 3 那么 AC2 AE2 CE2 13 在 Rt ABF 中 AF 6 BF 4 那么 AB2 AF2 BF2 52 所以 在 ABC 中 AC 2 AB2 13 52 65 又 CB2 65 所以 AC 2 AB2 CB2 根据勾股定理的逆定理可知三角形 ABC 是直角三角形 6 如图 图中的小方格都是边长为 1 的正方形网格 则图中四边形的面积是 A 25 B 12 5 C 9 D 8 5 AC B D 西南大学状元教育 46 答案 B 详细解答 S 四边形 EFGH SABCD S DEF S CFG S BGH S AEH 5 5 1 2 3 3 2 3 2 4 12 52121 7 如图 已知四边形 ABCD 中 B 90 AB 3 BC 4 CD 12 AD 13 求得四边形 ABCD 的面积 A 36 B 25 C 24 D 30 知识点 勾股定理和逆定理在数学问题中的应用 知识点的描述 勾股定理的内容 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理的逆定理 在三角形中 如果某两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角 形是直角三角形 答案 A 分析 根据题目所给数据特征 联想勾股数 连接 AC 可实现四边形向三角形转化 并运 用勾股定理的逆定理可判定 ACD 是直角三角形 详细解答 连接 AC 在 Rt ABC 中 AC2 AB2 BC 2 32 4 2 25 AC 5 在 ACD 中 AC 2 CD 2 25 12 2 169 又 AD 2 132 169 AC 2 CD 2 AD2 ACD 90 故 S 四边形 ABCD S ABC S ACD AB BC AC CD21 3 4 5 12 6 30 36 21 7 在四边形 ABCD 中 AB 2 BC CD 5 DA 4 B 90 那么四边形 ABCD 的 面积是 A 10 B 6 西南大学状元教育 47 C D 45 65 答案 B 详细解答 连接 AC 在 Rt ABC 中 AB 2 BC 5 所以 92ACB 22 所以 AC 3 又因为 2245D 25CD 所以 2ACD 2 所以 CAD 90 所以 2 3 4 BCADSS 四 边 形 2152156 8 已知 如图 四边形 ABCD AD BC AB 4 BC 6 CD 5 AD 3 那么四边形 ABCD 的面积是 A 24 B 36 C 18 D 20 知识点 勾股定理和逆定理在数学问题中的应用 知识点的描述 勾股定理的内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理的逆定理 在三角形中 如果某两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角 形是直角三角形 答案 C 详细解答 如图 作 DE AB 连结 BD 可以证明 ABD EDB ASA 所以 DE AB 4 BE AD 3 EC BC EB 6 3 3 在 DEC 中 EC 3 DE 4 CD 5 3 4 5 勾股数 所以 DEC 为直角三角形 DE BC 利用梯形面积公式可得 四边形 ABCD 的面积是 3 6 4 1821 8 已知 ABC 中 AB 中 AB 17cm BC 16cm BC 边上的中线 AD 15cm 求 AC 得 A 15 B 16 C 17 D 18 A A B C D E 西南大学状元教育 48 答案 C 详细解答 如图 AD 是 BC 边上的中线 BC 16cm BD 8cm 在 ABD 中 AB 17cm AD 15cm BD 8cm 则有 22BDA ADB 90 AD BC 即 ADC 90 在 Rt ADC 中 ADC 90 AD 15cm CD 8cm 根据勾股定理得 AC 17 cm 2ADC 9 已知 如图 在 ABC 中 CD 是 AB 边上的高 且 CD2 AD BD ABC 是 A 直角三角形 B 等腰三角形 C 不等边三角形 D 等边三角形 知识点 勾股定理和逆定理在数学问题中的应用 知识点的描述 勾股定理的内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理的逆定理 在三角形中 如果某两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角 形是直角三角形 答案 A 详细解答 AC 2 AD2 CD2 BC 2 CD2 BD2 AC 2 BC2 AD2 2CD2 BD2 又 CD 2 AD BD AC 2 BC2 AD2 2AD BD BD2 AD BD 2 AB2 所以 ABC 是直角三角形 9 如图 在 ABC 中 ACB 90 AC BC P 是 ABC 内的一点 且 PB 1 PC 2 PA 3 求得 BPC 的度数 A 115 B 125 C 135 D 120 答案 C B A C D A A C 东 南 B A C C P B A BC D 西南大学状元教育 49 详细解答 如答图 将 APC 绕点 C 旋转 使 CA 与 CB 重合 即 APC BEC PCE 为等腰 Rt CPE 45 PE 2 PC2 CE2 8 又 PB 2 1 BE 2 9 PE 2 PB2 BE2 则 BPE 90 BPC 135 10 已知 如图正方形 ABCD 中 E 是 AD 的中点 点 F 在 DC 上且 DF DC 判断 BEF 为41 A 直角三角形 B 等腰三角形 C 不等边三角形 D 等边三角形 知识点 勾股定理和逆定理在数学问题中的应用 知识点的描述 勾股定理的内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理的逆定理 在三角形中 如果某两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角 形是直角三角形 答案 A 详细解答 设 DF a 则 DE AE 2a CF 3a AB BC 4a 在 Rt ABE 中 BE 2 AB 2 AE 2 4a 2 2a 2 20a 2 在 Rt DEF 中 EF 2 DE 2 DF 2 2a 2 a 2 5a 2 在 Rt BCF 中 BF 2 BC 2 CF 2 4a 2 3a 2 25a 2 所以 BE2 EF 2 BF 2 所以 BEF 90 所以 BEF 为直角三角形 10 如图 ABC