2022-2023学年高中数学第三章三角函数3.3三角函数的图像与性质3.3.2正切函数的图象与性质学案湘教版必修2

2022-2023学年高中数学第三章三角函数3.3三角函数的图像与性质3.3.2正切函数的图象与性质学案湘教版必修2 学习目标1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题知识链接1正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？答，x (kZ)2如何作正切函数的图象？答类似于正弦、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”，这里的三点分别为(k，0)，其中kZ，两线分别为直线xk(kZ)，xk(kZ)3根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？答从正切函数的图象来看，正切曲线关于原点对称；从诱导公式来看，tan(x)tanx故正切函数是奇函数预习导引函数ytanx的性质与图象见右表：ytanx图象定义域x|xR，且xk，kZ值域R奇偶性奇函数单调性在开区间 (kZ)内递增要点一求正切函数的定义域例1求函数y的定义域解根据题意，得解得所以函数的定义域为(kZ)规律方法求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线跟踪演练1求函数ylg(1tanx)的定义域解由题意得即1tanx<1.在内，满足上述不等式的x的取值范围是.由诱导公式得函数定义域是(kZ)要点二正切函数的单调性及应用例2(1)求函数ytan的单调区间(2)比较tan1、tan2、tan3的大小解(1)ytantan，由k<x<k(kZ)，得2k<x<2k，kZ，函数ytan的单调递减区间是，kZ.(2)tan2tan(2)，tan3tan(3)，又<2<，<2<0.<3<，<3<0，显然<2<3<1<，且ytanx在内是增函数，tan (2)<tan (3)<tan1，即tan2<tan3<tan1.规律方法正切型函数单调性求法与正弦、余弦型函数求法一样，采用整体代入法，但要注意区间为开区间且只有单调增区间或单调减区间利用单调性比较大小要把角转化到同一单调区间内跟踪演练2(1)求函数y3tan的单调区间(2)比较tan与tan的大小解(1)y3tan3tan，令k<2x<k，则<x<，kZ，从而函数y3tan的单调递增区间为，kZ，故函数y3tan的单调递减区间为，kZ.(2)tantantan，tantantantantan，<<<，ytanx在上单调递增，tan<tan，即tan>tan.要点三正切函数图象与性质的综合应用例3设函数f(x)tan.(1)求函数f(x)的定义域、单调区间及对称中心；(2)求不等式1f(x)的解集解(1)由k(kZ)得x2k，f(x)的定义域是.由k<<k(kZ)得2k<x<2k(kZ)函数f(x)的单调递增区间是(kZ)由(kZ)得xk，故函数f(x)的对称中心是，kZ.(2)由1tan，得kk(kZ)解得2kx2k(kZ)不等式1f(x)的解集是.规律方法对于形如ytan(x)(、为非零常数)的函数性质和图象的研究，应以正切函数的性质与图象为基础，运用整体思想和换元法求解如果<0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正数，再进行求解跟踪演练3画出函数y|tanx|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性解由y|tanx|得，y其图象如图由图象可知，函数y|tanx|是偶函数，单调递增区间为(kZ)，单调递减区间为(kZ).1函数y3tan(2x)的定义域是()Ax|xk，kZBx|x，kZCx|x，kZDx|x，kZ答案C2函数f(x)tan(x)的单调递增区间为()A(k，k)，kZB(k，(k1)，kZC(k，k)，kZD(k，k)，kZ答案C3方程tan在区间0,2)上的解的个数是()A5B4C3D2答案B解析由tan解得2xk(kZ)，x(kZ)，又x0,2)，x0，.故选B.4求函数y3tan的单调区间解因为y3tan3tan，又ytan的单调递增区间，令kk(kZ)，所以3kx3k2(kZ)所以y3tan的单调递减区间为(3k，3k2)(kZ)1.正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为xk，kZ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增2正切函数的性质(1)正切函数ytanx的定义域是，值域是R.(2)正切函数在(kZ)上递增，不能写成闭区间正切函数无单调减区间一、基础达标1函数ytan，xR且xk，kZ的一个对称中心是()A(0,0) B.C.D(，0)答案C2函数y的值域是()A1,1B(，11，)C(，1 D1，)答案B解析x且x0，1tan1，且tanx0，令tanxt，则y(如图)，y1或y1.3不等式tanx的解集是()A.B.(kZ)C.D.(kZ)答案D解析在内，不等式tanx的解x.所以原不等式的解集为(kZ)4下列各式中正确的是()Atan735°>tan800°Btan1>tan2Ctan<tanDtan<tan答案D5与函数ytan的图象不相交的一条直线是()AxByCxDy答案C解析由正切曲线可知，与ytanx的图象不相交的直线是xk(kZ)，所以与函数ytan的图象不相交的直线是2xk(kZ)，即x(kZ)，故选C.6函数y的定义域是_答案(kZ)解析tanx0，tanx，kxk(kZ)定义域为(kZ)7求函数ytan2x4tanx1，x的值域解x，1tanx1.令tanxt，则t1,1yt24t1(t2)25.当t1，即x时，ymin4，当t1，即x时，ymax4.故所求函数的值域为4,4二、能力提升8函数ytan(sinx)的值域为()A.B.Ctan 1，tan 1D以上均不对答案C解析1sinx1，sinx.又ytanx在上单调递增，tan (1)ytan1，即ytan 1，tan 19函数ytanxsinx|tanxsinx|在区间内的图象是()答案D解析当<x<，tanx<sinx，y2tanx<0；当x时，y0；当<x<时，tanx>sinx，y2sinx故选D.10已知f(x)asinxbtanx1，且f7，则f的值为_答案5解析fasinbtan17，asinbtan6，fasinbtan1asinbtan11615.11已知函数f(x)x22x·tan1，x1，(，)(1)当时，求函数f(x)的最大值和最小值(2)求的取值范围，使yf(x)在区间1，上是单调函数解(1)当时，f(x)x2x1(x)2(x1，)，当x时，f(x)min；当x1时，f(x)max.(2)函数f(x)(xtan)21tan2的图象的对称轴为直线xtan.yf(x)在区间1，上是单调函数，tan1或tan.tan1或tan.解得的取值范围是，)(，12已知x，f(x)tan2x2tanx2，求f(x)的最大值和最小值，并求出相应的x值解f(x)tan2x2tanx2(tanx1)21，因为x，所以tanx1.当tanx1即x时，f(x)取最小值1；当tanx1，即x时，f(x)取最大值5.三、探究与创新13函数ysinx与ytanx的图象在区间0,2上交点的个数是多少？解因为当x时，tanx>x>sinx，所以当x时，ysinx与ytanx没有公共点，因此函数ysinx与ytanx在区间0,2内的图象如图所示：观察图象可知，函数ytanx与ysinx在区间0,2内有3个交点