高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1.2 函数的最大值、最小值课后提升训练 新人教A版必修1

高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1.2 函数的最大值、最小值课后提升训练 新人教A版必修1一、选择题(每小题5分,共40分)1.(xx·青岛高一检测)函数y=x-在1,2上的最大值为()A.0B.C.2D.3【解析】选B.因为函数y=x-在1,2上是增函数,所以ymax=2-=.2.若函数f(x)=则f(x)的最大值为()A.10B.9C.8D.7【解析】选B.当x1时,f(x)=4x+5,此时f(x)max=f(1)=9;当x>1时,f(x)=-x+9,此时f(x)<8.综上f(x)max=9.3.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,已知该商品每涨价1元,其销售量就减少20个,为了赚得最大利润,售价应定为()A.每个95元B.每个100元C.每个105元D.每个110元【解析】选A.设售价为x元,利润为y元,则y=400-20(x-90)(x-80) =-20(x-95)2+4500(80x110),所以当x=95时,y有最大值4500.4.设a,bR,且a>0,函数f(x)=x2+ax+2b,g(x)=ax+b,在-1,1上g(x)的最大值为2,则f(2)等于()A.4B.8C.10D.16【解析】选B.因为a>0,所以g(x)=ax+b在-1,1上是增函数,又g(x)的最大值为2,所以a+b=2.所以f(2)=4+2a+2b=4+2(a+b)=8.5.(改编)若函数y=ax+1在1,2上的最大值与最小值的差为2,则a的值是()A.2B.-2C.2或-2D.0【解析】选C.当a=0时,不满足题意;当a0时,f(x)=ax+1在1,2上单调,故|f(1)-f(2)|=2,即|a+1-(2a+1)|=2,所以a=±2.6.(xx·贵阳高一检测)函数y=+的值域为()A.1,B.2,4C.,2 D.1,【解析】选C.因为y=+,所以y2=2+2,所以y22,4,所以y,2.【补偿训练】函数f(x)=+x的值域是()A.B.C.(0,+)D.1,+)【解析】选A.因为y=和y=x在上都是增函数,所以f(x)在上是增函数.所以f(x)f(x)min=f=.7.已知f(x)=,则f(x+2)在区间2,8上的最小值与最大值分别为()A.与B.与1C.与D.与【解析】选A.由f(x)=,所以y=f(x+2)=,因为y=在2,8上单调递减,所以ymin=f(8)=,ymax=f(2)=.8.(xx·大庆高一检测)函数f(x)=x2-2x+3在区间0,a上的最大值为3,最小值为2,则实数a的取值范围为()A.(-,2B.0,2C.1,+)D.1,2【解析】选D.由f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2知,当x=1时,f(x)最小,且最小值为2.当f(x)=3,即x2-2x+3=3时,得x=0或x=2,结合图象知1a2.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(xx·北京高考)函数f(x)=(x2)的最大值为_.【解题指南】把x-1看成t,再分离常数转化为反比例函数问题.【解析】令t=x-1(t1),则x=t+1,所以y=1+(t1).所以0<1,所以1<1+2.所以f(x)的最大值为2.答案:210.用长度为24米的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为_米.【解析】设隔墙长度为x米,场地面积为S米2,则S=x·=12x-2x2=-2(x-3)2+18.所以当x=3时,S有最大值18米2.答案:3三、解答题(每小题10分,共20分)11.(xx·浏阳高一检测)已知二次函数y=x2+2ax+3,x-4,6.(1)若a=-1,写出函数的单调增区间和减区间.(2)若a=-2,求函数的最大值和最小值.(3)若函数在-4,6上是单调函数,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=-1时,y=x2-2x+3=(x-1)2+2,因为x-4,6,所以函数的单调递增区间为1,6,单调递减区间为-4,1).(2)当a=-2时,y=x2-4x+3=(x-2)2-1,因为x-4,6,所以函数的单调递增区间为2,6,单调递减区间为-4,2),所以函数的最大值为f(-4)=35,最小值为f(2)=-1.(3)由y=x2+2ax+3=(x+a)2+3-a2可得:函数的对称轴为x=-a,因为函数在-4,6上是单调函数,所以a-6或a4.【补偿训练】(xx·菏泽高一检测)设y=x2+mx+n(m,nR),当y=0时,对应x值的集合为-2,-1.(1)求m,n的值.(2)若x-5,5,求该函数的最值.【解析】(1)当y=0时,即x2+mx+n=0,则x1=-1,x2=-2为其两根,由根与系数的关系知:x1+x2=-2+(-1)=-3=-m,所以m=3,x1·x2=-2×(-1)=2=n,所以n=2.(2)由(1)知:y=x2+3x+2=-,因为x-5,5,所以,当x=-时,该函数取得最小值f(x)min=f=-,又因为f(-5)=12,f(5)=42,所以当x=5时,该函数取得最大值f(x)max=f(5)=42.12.(xx·石家庄高一检测)已知函数f(x)=x+.(1)证明:函数f(x)=x+在x2,+)上是增函数.(2)求f(x)在4,8上的值域.【解析】(1)设2x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=x1-x2+=(x1-x2),因为2x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>4,即0<<1,所以1->0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在2,+)上是增函数.(2)由(1)知f(x)在4,8上是增函数,所以f(x)max=f(8)=,f(x)min=f(4)=5,所以f(x)的值域为.【能力挑战题】(xx·济宁高一检测)某专营店销售某运动会纪念章,每枚进价5元,同时每销售一枚这种纪念章需向荆州筹委会交特许经营管理费2元,预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售xx枚,经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚,而每增加一元则减少销售100枚,现设每枚纪念章的销售价格为x元,x为整数.(1)写出该专营店一年内销售这种纪念章所获利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x(元)的函数关系式,并写出这个函数的定义域.(2)当每枚纪念章销售价格x为多少元时,该特许专营店一年内利润y(元)最大,并求出最大值.【解析】(1)依题意y=所以y=定义域为xN*|7<x<40.(2)因为y=所以当7<x20时,则x=16时,ymax=32400(元)当20<x<40时,则x=23或24时,ymax=27200(元).综上,当x=16时,该特许专营店一年内获得的利润最大,为32400元.