2022年高考数学大一轮复习 第九章 第44课 直接证明与间接证明要点导学

2022年高考数学大一轮复习 第九章 第44课 直接证明与间接证明要点导学综合法若正数a,b,c满足a2+2ab+4bc+2ca=16,求证:a+b+c4.思维引导从平方关系入手,然后再把条件中的数值代入化简.证明因为a2+2ab+4bc+2ca=16,所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=b2+c2-2bc+16=(b-c)2+1616,当且仅当b=c时等号成立.又a,b,c均为正数,所以a+b+c4.精要点评利用综合法证明的前提是结合分析法进行探求解题思路.但是,一定要注意表达条理清晰.(xx·西安模拟)若cosxcosy+sinx·siny=,sin2x+sin2y=,求证:sin(x+y)=.证明因为cosxcosy+sinxsiny=,所以cos(x-y)=.因为sin2x+sin2y=,所以2sin(x+y)cos(x-y)=,所以2sin(x+y)·=,所以sin(x+y)=.分析法已知ABC的三边长a,b,c的倒数成等差数列,求证:B<90°.证明因为cos B=,故要证明B<90°,即证cos B>0,只需证a2+c2>b2.又三边长a,b,c的倒数成等差数列,即=+Þb=,只需证a2+c2>,即(a2+c2)(a+c)2>(2ac)2.又a2+c2>2ac,只需证(a+c)2>2ac,即证a2+c2>0.而上式显然成立,所以B<90°.精要点评分析法是数学中常用到的一种直接证明方法,就证明过程来讲,它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法.具体地说,即先假设所要证明的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题或是要证命题的已知条件时,则所证命题得证.已知a>0,求证:-a+-2.证明要证-a+-2,只要证+2a+,因为a>0,故只要证,即证a2+4+4a2+2+2+2,从而只要证2,只要证42,即证a2+2,而该不等式显然成立,故原不等式成立.反证法(xx·北京顺义区模拟)求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数.证明假设这个数是奇数,可以设为2k+1,kZ,则有(2k+1)2=4k2+4k+1,而4k2+4k+1(kZ)不是偶数,这与原命题的条件矛盾.故原命题成立.(xx·江苏模拟)已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+Sn=2.(1) 求数列an的通项公式;(2) 求证:数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.解答(1) 当n=1时,a1+S1=2a1=2,则a1=1.又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2,两式相减得an+1=an,所以an是首项为1、公比为的等比数列,所以an=.(2) 假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为ap+1,aq+1,ar+1(p<q<r,且p,q,rN*),则2·=+,所以2·=+1.又因为p<q<r,所以r-q,r-pN*.所以式左边是偶数,右边是奇数,等式显然不成立,所以假设不成立,原命题得证.1. (xx·山东卷)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x2+ax+b=0至少有一个实数根”时,要做的假设是.答案方程x2+ax+b=0没有实数根2. 一般地,欲证-<-,即需证 .答案>3. 设ab>0,求证:3a3+2b33a2b+2ab2.证明3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b).因为ab>0,所以a-b0,3a2-2b2>0. 从而(3a2-2b2)(a-b)0,即3a3+2b33a2b+2ab2.4. (xx·北京顺义区模拟)设an是公比为q的等比数列,Sn为它的前n项和,求证:数列Sn不是等比数列.证明假设Sn是等比数列,则=S1S3,即(1+q)2=a1·a1(1+q+q2).因为a10,所以(1+q)2=1+q+q2.即q=0,与等比数列中公比q0矛盾.故Sn不是等比数列.温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第87-88页).