2022年高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布10.6几何概型课后作业理

2022年高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布10.6几何概型课后作业理一、选择题1(xx·陕西榆林二模)若函数f(x)在区间0，e上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是()A. B1 C. D.答案B解析当0x1时，f(x)<e，当1xe时，ef(x)1e，f(x)的值不小于常数e，1xe，所求概率为1，故选B.2(xx·绵阳模拟)在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，则PBC的面积大于的概率是()A. B. C. D.答案C解析如图所示，在边AB上任取一点P，因为ABC与PBC是等高的，所以事件“PBC的面积大于”等价于事件“|BP|AB|>”，即P.故选C.3已知实数a满足3<a<4，函数f(x)lg (x2ax1)的值域为R的概率为P1，定义域为R的概率为P2，则()AP1>P2 BP1P2CP1<P2 DP1与P2的大小不确定答案C解析若f(x)的值域为R，则1a240，得a2或a2.故P1.若f(x)的定义域为R，则2a24<0，得2<a<2.故P2.P1<P2.故选C.4(xx·湖南长沙四县联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是()A1 B. C. D1答案A解析鱼缸底面正方形的面积为224，圆锥底面圆的面积为.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1，故选A.5(xx·铁岭模拟)已知ABC中，ABC60°，AB2，BC6，在BC上任取一点D，则使ABD为钝角三角形的概率为()A. B. C. D.答案C解析如图，当BE1时，AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B、E点)上时，ABD为钝角三角形；当BF4时，BAF为直角，则点D在线段CF(不包含F点)上时，ABD为钝角三角形所以ABD为钝角三角形的概率为.故选C.6(xx·沧州七校联考)用一平面截一半径为5的球面得到一个圆，则此圆面积小于9的概率是()A. B. C. D.答案B解析如图，此问题属几何概型，球的直径为10，用一平面截该球面，所得的圆面积大于等于9的概率为P(A).所截得圆的面积小于9的概率为P()1.故选B.7(xx·福建宁德一模)若从区间(0，e)，(e为自然对数的底数，e2.71828)内随机选取两个数，则这两个数之积小于e的概率为()A. B. C1 D1答案A解析设随机选取的两个数为x，y，由题意得该不等式组在坐标系中对应的区域面积为e2，又不等式组在坐标系中对应的区域面积为edx2e，所求概率为，故选A.8(xx·河南三市联考)在区间，内随机取两个数分别为a，b，则使得函数f(x)x22axb22有零点的概率为()A1 B1 C1 D1答案B解析函数f(x)x22axb22有零点，需4a24(b22)0，即a2b22成立而a，b，建立平面直角坐标系，满足a2b22，点(a，b)如图阴影部分所示，所求事件的概率为P1.故选B.9(xx·江西模拟)向面积为S的平行四边形ABCD中任投一点M，则MCD的面积小于的概率为()A. B. C. D.答案C解析设MCD的高为ME，ME的反向延长线交AB于F，当“MCD的面积等于”时，CD·MECD·EF，即MEEF，过M作GHAB，则满足MCD的面积小于的点M在CDGH中，由几何概型的概率公式得到MCD的面积小于的概率为.故选C.10(xx·湖北襄阳优质高中联考)已知3x2dx，在矩形ABCD中，AB2，AD1，则在矩形ABCD内(包括边界)任取一点P，使得·的概率为()A. B. C. D.答案D解析由已知得3x2dx3×x31.建立如图所示的平面直角坐标系则A(0,0)，C(2,1)，设P(x，y)，则(x，y)，(2,1)，故·2xy，则满足条件的点P(x，y)使得2xy1，由图可知满足条件的点P所在的区域(图中阴影区域)的面积S2×1×1×2，故所求概率为，故选D.二、填空题11. 如图所示，在ABC中，B60°，C45°，高AD，在BAC内作射线AM交BC于点M，则BM<1的概率是_答案解析B60°，C45°，所以BAC75°.在RtABD中，AD，B60°，BD1，BAD30°.记事件N为“在BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得BAM<BAD时事件N发生由几何概型的概率公式，得P(N).12一个长方体空屋子，长、宽、高分别为5米、4米、3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是_答案解析依题意，放在地面一角处的捕蝇器能捕捉到的空间体积V0××13(立方米)，又空屋子的体积V5×4×360(立方米)，三个捕蝇器捕捉到的空间体积V3V0(立方米)故苍蝇被捕捉的概率是.13(xx·湖北八校联考)正方形的四个顶点A(1，1)，B(1，1)，C(1,1)，D(1,1)分别在抛物线yx2和yx2上，如图所示若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是_答案解析利用定积分直接求面积，再利用几何概型的概率公式求解正方形内阴影部分的面积S2 (1x2)dx2|2×，所以所求概率为.14(xx·河南洛阳模拟)已知O(0,0)，A(2,1)，B(1，2)，C，动点P(x，y)满足0·2且0·2，则点P到点C的距离大于的概率为_答案1解析O(0,0)，A(2,1)，B(1，2)，C，动点P(x，y)满足0·2且0·2，如图，不等式组对应的平面区域为正方形OEFG及其内部，|CP|>对应的平面区域为阴影部分由解得即E，|OE|，正方形OEFG的面积为，则阴影部分的面积为，根据几何概型的概率公式可知所求的概率为1.三、解答题15(xx·广东深圳模拟)已知复数zxyi(x，yR)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P4，3，2,0，Q0,1,2，从集合P中随机抽取一个数作为x，从集合Q中随机抽取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x0,3，y0,4，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率解(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.组成复数z的所有情况共有12个：4，4i，42i，3，3i，32i，2，2i，22i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，所求事件的概率为P(A).(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域(x，y)内，属于几何概型该平面区域的图形为图中矩形OABC围成的区域，面积为S3×412.而所求事件构成的平面区域为，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)又直线x2y30与x轴，y轴的交点分别为A(3,0)，D，三角形OAD的面积为S1×3×.所求事件的概率为P.16设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x1,2，都有|f(x)g(x)|8，则称f(x)和g(x)是“友好函数”，设f(x)ax，g(x).(1)若a1,4，b1,1,4，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率；(2)若a1,4，b1,4，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率解(1)设事件A表示f(x)和g(x)是“友好函数”，则|f(x)g(x)|(x1,2)所有的情况有x，x，x，4x，4x，4x，共6种且每种情况被取到的可能性相同又当a>0，b>0时ax在上递减，在上递增；x和4x在(0，)上递增，对x1,2可使|f(x)g(x)|8恒成立的有x，x，x，4x，故事件A包含的基本事件有4种，P(A)，故所求概率是.(2)设事件B表示f(x)和g(x)是“友好函数”，a是从区间1,4中任取的数，b是从区间1,4中任取的数，点(a，b)所在区域是长为3，宽为3的正方形区域要使x1,2时，|f(x)g(x)|8恒成立，需f(1)g(1)ab8且f(2)g(2)2a8，事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分P(B)，故所求的概率是.