2022-2023学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法优化练习 新人教A版选修2-2

2022-2023学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法优化练习 新人教A版选修2-21命题“ABC中，若AB，则ab”的结论的否定应该是()AabBabCab Dab解析：“ab”的否定应为“ab或ab”，即ab.故应选B.答案：B2用反证法证明命题：“a，b，c，dR，ab1，cd1，且acbd1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为()Aa，b，c，d全都大于等于0Ba，b，c，d全为正数Ca，b，c，d中至少有一个正数Da，b，c，d中至多有一个负数解析：至少有一个负数的否定是一个负数也没有，即a，b，c，d全都大于等于0.答案：A3“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()Aa，b，c都是奇数Ba，b，c都是偶数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数答案：D4给定一个命题“已知x10，x21且xn1，证明对任意正整数n都有xnxn1”，当此题用反证法否定结论时应是()A对任意正整数n有xnxn1B存在正整数n使xnxn1C存在正整数n使xnxn1D存在正整数n使xnxn1且xnxn1解析：“对任意正整数n都有xnxn1”的否定为“存在正整数n使xnxn1”答案：B5设a，b，c(，0)，则三数a，c，b中()A都不大于2B都不小于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于2解析：a，b，c(，0)，a2，b2，c2，6，三数a、c、b中至少有一个不大于2，故应选C.答案：C6命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是_解析：“至少有一个”的否定是“没有一个”答案：没有一个是三角形或四边形或五边形7ABC中，若ABAC，P是ABC内的一点，APB>APC，求证BAP<CAP.用反证法证明时的假设为_解析：反证法对结论的否定是全面否定，BAP<CAP的对立面是BAPCAP或BAP>CAP.答案：BAPCAP或BAP>CAP8用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：ABC90°90°C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则AB90°不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设A，B，C中有两个角是直角，不妨设AB90°.正确顺序的序号排列为_解析：由反证法证明的步骤知，先反证即，再推出矛盾即，最后作出判断，肯定结论即，即顺序应为.答案：9已知a1，求证以下三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实数解证明：假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：a1，这与已知 a1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解10求证：不论x，y取何非零实数，等式总不成立证明：假设存在非零实数x，y使得等式成立于是有y(xy)x(xy)xy，即x2y2xy0，即(x)2y20.由y0，得y2>0.又(x)20，所以(x)2y2>0.与x2y2xy0矛盾，故原命题成立B组能力提升1有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人走访了这四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”乙说：“甲、丙都未获奖”丙说：“我获奖了”丁说：“是乙获奖”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是()A甲 B乙C丙 D丁解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙答案：C2若ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D不确定解析：分ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD(点D在BC上)，则ADBADC，若ADB为钝角，则ADC为锐角而ADC>BAD，ADC>ABD，ABD与ACD不可能相似，与已知不符，只有当ADBADCBAC时，才符合题意答案：B3已知数列an，bn的通项公式分别为anan2，bnbn1(a，b是常数)，且a>b，那么两个数列中序号与数值均相同的项有_个解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得anbn，由题意a>b，nN*，则恒有an>bn，从而an2>bn1恒成立，不存在n使anbn.答案：04完成反证法证题的全过程设a1，a2，a7是1,2，7的一个排列，求证：乘积p(a11)(a22)(a77)为偶数证明：假设p为奇数，则a11，a22，a77均为奇数因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数_0.但0奇数，这一矛盾说明p为偶数解析：据题目要求及解题步骤，因为a11，a22，a77均为奇数，所以(a11)(a22)(a77)也为奇数即(a1a2a7)(127)为奇数又因为a1，a2，a7是1,2，7的一个排列，所以a1a2a7127，故上式为0.所以奇数(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)0.答案：(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)5已知a，b，c都是小于1的正数，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a中至少有一个不大于.证明：假设(1a)b，(1b)c，(1c)a都大于，即(1a)b，(1b)c，(1c)a.a，b，c都是小于1的正数，.(*)又，(当且仅当1ab,1bc,1ca，即abc时，等号成立)，与(*)式矛盾假设不成立，原命题成立，故(1a)b，(1b)c，(1c)a中至少有一个不大于.6求证：抛物线上任取四个不同点所组成的四边形不可能是平行四边形证明：如图，设抛物线方程为y22px(p0)，在抛物线上任取四个不同点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则y2pxi(i1,2,3,4)，于是直线AB的斜率为kAB，同理：kBC，kCD，kDA.假设四边形ABCD为平行四边形，则有kABkCD，kBCkDA，即有得y1y3y3y1，y1y3，同理y2y4，则x1x3，同理x2x4，由，.显然A，C重合，B，D重合这与A，B，C，D为抛物线上任意四点矛盾，故假设不成立四边形ABCD不可能是平行四边形.