2022年人教版高中数学必修4《向量的加法运算及其几何意义》教学设计

2022年人教版高中数学必修4向量的加法运算及其几何意义教学设计授课类型：新授课课时安排：1课时教材分析：本节课取自普通高中课程标准实验教科书数学4（必修人民教育出版社A版）第二章2.2.1，向量是近代数学中重要和基本的数学概念，它既是代数的对象，又是几何的对象。向量作为代数对象，可以像数一样进行运算。作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线，平面，切线等几何对象；向量有长度，可以解决有关几何对象得长度，面积，体积等几何度量问题。向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，因此，向量是集数，形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。同时也是重要的物理模型，平面力场，平面位移以及二者混合产生的做功问题，都可以用向量空间来刻画和描述。向量不仅沟通了代数与几何的联系，而且体现了近现代数学的思想，它在高中数学中的重要地位是不言而喻的。 学生情况：学生已经通过2.1的学习，掌握了向量的概念、几何表示，理解了什么是相等向量和共线向量，在学习物理的过程中，已经知道位移，速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则。为本课题的引入提供了较好的条件。 三维教学目标: 一、教学知识目标: 掌握向量加法的定义 会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量  理解向量加法的运算律 二、教学能力目标： 让学生了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言与方法表述和解决数学和物理中的一些问题，培养类比、迁移、分类、归纳等能力。发展运算能力和解决实际问题的能力。 三、情感态度： 理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学应用意识。 教学重点、难点 教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量. 教学难点：向量的运算律的理解教学过程： 一、回顾旧知：1、什么叫向量？如何表示向量？既有大小，又有方向的量叫做向量。向量可用有向线段来表示。2、什么叫相等向量？方向相同，长度相等的两个向量叫做相等向量。3、什么叫平行向量？方向相同或相反的两个非零向量，叫做平行向量，平行向量也叫共线向量？二、 创设问题情景，引入新课 【设计思路】：学生虽然具备一定的物理知识，不过对于合力的定义，同样是高一才开始接触，有必要安排实验让学生再次认识合力的大小和方向，学生经过直观实验的观察和分析，很自然地认识三角形法则和平行四边形法则，为向量的加法定义做铺垫。准备适当的器材，让学生分组实验讨论：问题（1）用二个互相垂直的力F1=3，F2=4把橡皮条拉长一定的距离OE，再撤去F1，F2，用一个力F作用在橡皮条上，使橡皮沿着相同的方向伸长相同的长度，记录F的大小和方向问题（2）改变F1，F2的大小和方向，重复以上实验，探究F与F1，F2的关系（学生代表发言）结论：排除误差，合力F的方向在以F1，F2的为邻边的平行四边形的对角线上，且大小等于平行四边形的对角线的长。问题（3）飞机从点A经过点B到C，两次位移的结果与位移比较？结论：的结果为，与从A点直接到C点的位移相同结论：位移和力都可以看成向量，从物理的角度，力F和位移都得到相同的效果，我们把它们称为合力和合位移，从数学的角度可以把它们看成是二个向量相加。那么根据以上实验结果，我们如何定义二个向量的加法呢？三、 向量加法定义的探究 【设计思路】：对于此环节，比较常见的处理方式是直接给出定义，事实上，学生通过引入环节的活动可以初步认识四边形法则和三角形法则，让学生通过讨论探究选择合适的方式作为定义，能调动学生的积极性，激发学生的思维，同时也让学生在比较讨论中进一步掌握二种方式的特点。1、关于加法定义的探讨让学生讨论，怎么定义任意二个向量的和？（教师在黑板上画出二个自由向量），学生讨论以后可能会出现以下二个定义方式：（1）在平面内过同一点O作，则以OE、EB为邻边构造平行四边形OEBA，则以O为起点的对角线向量即与的和AOBE （2）已知向量，在平面内任取一点，作，则向量叫做向量的和记作：，即CB A 学生发言完成后，教师针对方式一提问： 把二个向量平移到什么位置即可做平行四边形？-共起点 教师针对方式二提问： 把二个向量平移到什么位置-首尾连接 二个向量的和起点是哪个？终点是哪个？针对二种方式让学生思考那种定义更加严密？仍然分小组讨论后发言，根据学生的回答，教师适当提示，启发学生注意到第一种定义方式对于二个向量不能构成平行四边形时要增加补充说明，即二向量共线时的向量和如何？教师提示学生考虑：某人从A到B，再从B按原方向到C，则两次的位移和为什么？学生可以很快得出二个向量共线时； (1) 同向： （2）反向： 同样也满足第二种定义方式，因此用方式2给出出二向量和定义：2、向量加法定义：已知向量，在平面内任取一点，作，则向量叫做向量的和记作：，即C求两向量和的运算，叫向量的加法 CB A 问题；当二向量中有一个向量为时，它们的和为？ 学生根据生活经验马上可以得出： ， 教师从零向量的几何意义说明此结果也同样符合向量的加法定义。3、向量加法的二个运算法则【设计思路】：此环节目的为强化巩固以上二个环节，学生通过前面学习探究，已经掌握二个运算法则的关键所在，即三角形法则的“首尾连接”和四边形法则中的“起点相同”，本环节系统概括、适当拓展并且利用适当的练习，帮助学生找出易错点，进一步突出重点。（1）、向量加法的三角形法则：在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则例题1：如图，已知向量，用三角形法则求作向量教师提示注意点A 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。B 二个向量共线时向量和也满足三角形法则练习1：如图：已知向量，用向量加法的三角形法则作出 练习2：下列各式中正确的有 ( )（1） （2）（3） （4） A1个 B2个 C3个 D4个 C 三角形法则可以推广到n个向量相加的情况：（注意字母必须首尾顺次连接首尾） DABCE练习3：根据图示填空：（1） （2） （3） （4） D 位移的合成可以看成是向量加法三角形法则的物理模型（2）向量加法的四边形法则： 例题2： 如图，已知向量，用平行四边形法则求作向量 教师通过例题2示范平行四边形的作图过程，并提示注意点：A 从两个向量的公共始点出发作和向量即三个向量都共起点B 力的合成可以看成是向量加法的平行四边形法则的物理模型四 、向量加法定义的运算律 【设计思路】： 本环节为本节课的难点，采用启发讨论式教学，让学生分组讨论，教师巡堂指导，学生在尝试证明和对比分析讨论的过程理解二个运算律教师：向量的加法既然是一种运算，它应该具有一些运算律？请同学们类比实数加法运算律，猜测一下是什么？学生：交换律：+  =  +  结合律：(+  ) += + (+)师：这仅是猜测，是否正确，请同学们利用下图讨论如何验证？ 请同学协作讨论以后写出证明过程，教师投影学生习作，并根据情况进行归纳点评。五 、 应用举例 例题3 ：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以每小时5公里的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东每小时2公里。（1） 试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两位有效数字）（2） 求船实际航行的速度大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）六、小结、课后思考题 1. 两个向量的和仍然是向量2. 向量加法的三角形法则:第二个向量的起点是第一个向量的终点,和向量是以第一个向量的起点为起点,第二个向量的终点为终点。首尾相接3. 平行四边形法则:以两个已知向量为邻边作平行四边形,和向量是以两个已知向量的公共起点为起点的对角线所对应的向量 向量加法的二个运算法则作业：P91，A组1、2、3