高中数学 3-2-3 空间向量与空间角课时作业 新人教A版选修2-1

高中数学 3-2-3 空间向量与空间角课时作业 新人教A版选修2-1一、选择题(每小题6分，共36分)1设直线l与平面相交，且l的方向向量为a，的法向量为n，若a，n，则l与所成的角为()A.B.C. D.图1解析：如图1所示，直线l与平面所成的角.答案：C2三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若n1，n2，则二面角ABDC的大小为()A. B.C.或 D.或图2解析：如图2所示，当二面角ABDC为锐角时，它就等于n1，n2；当二面角ABDC为钝角时，它应等于n1，n2.答案：C3已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E是AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.图3解析：以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图3，设ABa，则ADa，AA12a.B(a，a,0)，C(0，a,0)，D1(0,0,2a)，E(a,0，a)，(0，a，a)，(0，a,2a)，cos，.答案：C4已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为()A. B.C. D.图4解析：设BC的中点为O，连接AO，A1O，则由题意知A1O平面ABC，AOBC，以AO，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设侧棱长为2a，则OA1a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)所以cos，cos，.答案：D5在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为()A. B.C. D.图5解析：建系如图5，设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，E(1，0)，F(0，1)，B1(1,1,1)(0,1,0)，(0，1)，(1，0)设平面A1EF的一个法向量为n(x，y，z)，则，即.令y2，则.n(1,2,1)，cosn，.设A1B1与平面A1EF的夹角为，则sincosn，即所求线面角的正弦值为.答案：B图66如图6所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA面ABCD，PAADAC，点F为PC中点，则二面角CBFD的正切值为()A. B.C. D.图7解析：如图7，连结AC，ACBDO，连结OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，设PAADAC1，则BD，B，F，C，D，结合图形可知，且为面BOF的一个法向量，由，可求得面BCF的一个法向量n(1，)cosn，sinn，tann，.答案：D二、填空题(每小题8分，共24分)7在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、CC1的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是_图8解析：以A为原点建立直角坐标系(如图8所示)，设B(2,0,0)，则E(1,0,0)，F(2,2,1)，C1(2,2,2)，A1(0,0,2)，(1,2,1)，(2,2,0)，cos，30°.答案：30°图98如图9所示，P是二面角AB棱上一点，分别在，内引射线PM，PN，若BPMBPN45°，MPN60°，则二面角AB大小为_图10解析：如图10，过M在内作MFAB，过F在内作FNAB交PN于点N，连结MN.MPBNPB45°，PMFPNF.设PM1，则：MFNF，PMPN1，又MPN60°，MNPMPN1，MN2MF2NF2，MFN90°.答案：90°9将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，给出下列四个结论：ACBD；AB、CD所成角为60°；ADC为等边三角形；AB与平面BCD所成角为60°.其中真命题是_(请将你认为是真命题的序号都填上)解析：如图11将正方形取BD中点O，连结AO、CO，易知BD垂直于平面AOC，故BDAC；如图11建立空间坐标系，设正方形边长为a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，故(a，a,0)，C(0,0，a)，D(0，a,0)，故(0，a，a)，由两向量夹角公式得：cos，故两异面直线所成的角为；图11在直角三角形AOC中，由AOCOa解得：ACAOa，故三角形ADC为等边三角形易知ABO即为直线AB与平面BCD所成的角，可求得：ABO45°，故错答案：三、解答题(共40分)图1210(10分)如图12在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E是棱AB上的动点(1)若异面直线AD1与EC所成角为60°，试确定此时动点E的位置；(2)求三棱锥CDED1的体积解：(1)以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系设E(1，t,0)(0t2)，则A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)，(1,0，1)，(1，t2,0)，根据数量积的定义及已知得：10×(t2)0×·cos60°，t1，E的位置是AB中点(2)VCDED1VD1DEC××2×1×1.图1311(15分)(2011·课标全国高考)如图13，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60°，AB2AD，PD底面ABCD.(1)证明：PABD；(2)若PDAD，求二面角APBC的余弦值解：(1)证明：因为DAB60°，AB2AD，由余弦定理得BDAD.从而BD2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD.所以BD平面PAD.故PABD.(2)如图14，以D为坐标原点，设AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1,0,0)，B(0，0)，C(1，0)，P(0,0,1)图14(1，0)，(0，1)，(1,0,0)设平面PAB的法向量为n(x，y，z)，则即因此可取n(，1，)设平面PBC的法向量为m，则可取m(0，1，)cosm，n.故二面角APBC的余弦值为.图1512(15分)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，且PD底面ABCD，其中PDADa.(1)求二面角APBD的大小；(2)在线段PB上是否存在一点E，使PC平面ADE.若存在，试确定E点的位置；若不存在，请说明理由解：(1)方法一：连接AC，设AC交BD于点O，图16ACBD，ACPD，BDPDD，AC平面PBD，过O点在平面PBD内作OFPB于点F，AOPB且OFAOO，PB平面AOF，AF平面AOF，AFPB.则OFA是二面角APBD的平面角由已知得ABPA，PAa，ABa，PBa，AFa，sinOFA，OFA60°，二面角APBD的大小为60°.方法二：建立如图17所示的空间直角坐标系，PDADa且ABCD为正方形，图17D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，P(0,0，a)，(0,0，a)，(a，a,0)，(a,0，a)，(0，a,0)，设平面PAB的法向量为m(xm，ym，zm)，则，即，令xm1，则m(1,0,1)设平面PBD的法向量n(xn，yn，zn)，则，即，令xn1，则n(1，1,0)，令m，n的夹角为，则cos，60°，显然二面角APBD的平面角为锐角，二面角APBD的大小为60°.(2)假设在线段PB上存在一点E，使PC平面ADE.则PCDE，PCAD.取PC中点H，连接EH、DH，PDADDC，且PDDC，DHPC，PC平面DEH，PCEH.PCAD，ADBC，PCBC.EHBC，H为PC中点，E为PB中点即在线段PB上存在它的中点E，使PC平面ADE.