2022年高考数学一轮复习第八章解析几何第八节直线与圆锥曲线的位置关系习题理

2022年高考数学一轮复习第八章解析几何第八节直线与圆锥曲线的位置关系习题理基础达标一、选择题(每小题5分,共25分)1.不论k取何值,直线y=k(x-2)+b与曲线x2-y2=1总有公共点,则实数b的取值范围是()A.(-)B.-C.(-2,2)D.-2,21.B【解析】直线y=k(x-2)+b恒过点(2,b),所以只要满足22-b21,即b23,解得-b.2.(xx·石家庄二模)已知F是抛物线x2=4y的焦点,直线y=kx-1与该抛物线交于第一象限内的交点A,B,若|AF|=3|FB|,则k的值是()A.B.C.D.2.D【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x得y2+(2-4k2)y+1=0,则y1+y2=4k2-2,y1y2=1,又|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,由已知y1+1=3(y2+1),由得y1=3,y2=,代入得k= (A,B在第一象限,负值舍去).3.(xx·山东北镇中学模拟)直线x-2y+2=0经过椭圆=1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.3.C【解析】由题意可知椭圆的一个焦点为(-2,0),一个顶点为(0,1),代入椭圆方程得b=1,c=2,则a=,则该椭圆的离心率为.4.(xx·河南八市联考)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过点F的直线交抛物线于A,B两点,过点A作准线l的垂线,垂足为E,当A点坐标为(3,y0)时,AEF为正三角形,则此时OAB的面积为()A.B.C.D.4.A【解析】如图所示,过点F作AE的垂线,垂足为点H,则H为AE的中点,因为A点坐标为(3,y0),所以AE=3+,EH=p,所以2p=3+,所以p=2,所以y2=4x,此时A(3,2),F(1,0),kAF=,所以直线AF的方程为y= (x-1),代入抛物线方程可得3(x-1)2=4x,解得x=3或,所以y=2或-,所以AOB的面积S=SOFB+SOFA=×1×.5.已知曲线y=ax2与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点A,B,如果过这两个交点的直线的倾斜角是45°,则实数a的值是()A.2B.C.1D.-15.B【解析】曲线y=ax2关于点(1,1)对称的曲线方程为y=-a(x-2)2+2,设两个不同的交点A,B的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程ax2=-a(x-2)2+2,即方程ax2-2ax+2a-1=0的两根,x1+x2=2,过两个交点的直线的倾斜角是45°,=a(x1+x2)=1,a=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(xx·宿迁质检)椭圆C: =1(a>b>0)的右焦点为F,直线y=-x与椭圆C交于A,B两点,且AFBF,则椭圆C的离心率为. 6. -1【解析】设左焦点为F',则四边形F'AFB是平行四边形,又AFBF,所以四边形F'AFB是矩形,则OA=OF=c,又AOF=120°,所以AF=c,AF'=c,由椭圆定义可得AF+AF'=c+c=2a,即c=a,则离心率e=-1.7.(xx·绍兴质检)已知抛物线C:y2=4x,点M(-1,1),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若=0,则实数k的值为. 7.2【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可得直线AB的方程为y=k(x-1),代入抛物线C:y2=4x,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则x1+x2=,x1x2=1,所以=(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=x1x2+x1+x2+y1y2-(y1+y2)+2=x1x2+x1+x2+k2(x1-1)(x2-1)-k(x1+x2)+2k+2=(1+k2)x1x2+(1-k2-k)(x1+x2)+k2+2k+2=0,所以1+k2+(1-k2-k) +k2+2k+2=0,解得k=2.8.已知圆M:x2+y2+2mx-3=0(m<0)的半径为2,椭圆C: =1的左焦点为F(-c,0),若垂直于x轴且经过F点的直线与圆M相切,则a的值为. 8.2【解析】圆M:x2+y2+2mx-3=0(m<0)的半径为2,m2+3=4,m2=1,m<0,m=-1,圆心M的坐标为(1,0),垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切,c=1,a2=1+3=4,a=2.三、解答题(共20分)9.(10分)求过点P(,5)且与双曲线=1有且只有一个公共点的直线的方程.9.【解析】若直线的斜率不存在,则x=,此时仅有一个交点(,0),满足条件.若直线的斜率存在,设直线的方程为y-5=k(x-),则y=kx+5-k,代入双曲线方程,得=1,即(25-7k2)x2-7×2kx(5-k)-7(5-k)2-7×25=0,当k=时,方程无解,不满足条件;当k=-时,2×5x×10=875,则方程有一解,满足条件,直线方程为y=-x+10;当k2时,令=14k(5-k)2+4(25-7k2)7(5-k)2+175=0,化简后k无解,所以不满足条件;所以满足条件的直线有两条,分别是x=和y=-x+10.10.(10分)(xx·重庆三诊)如图,椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为,F1,F2为其左、右焦点,且|F1F2|=2,动直线l:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点.(1)求椭圆C的方程;(2)过F1,F2分别作直线l的垂线,垂足分别为P,Q,求四边形PF1F2Q面积的最大值.10.【解析】(1)由题知c=1,e=,故a=,b=1,故椭圆C的方程为+y2=1.(2)当k=0时, =2;当k0时,令|PF1|=d1,|QF2|=d2,则d1=,d2=,|PQ|=.由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,由题知=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0,即m2=1+2k2,所以 (d1+d2)·|PQ|=,又m2=1+2k2,故|m|>1,所以=|=<2;综上,当k=0时,取得最大值2.高考冲关1.(5分)(xx·哈尔滨三中二模)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=3|FB|,则k=()A.B.C.D.1.A【解析】由抛物线定义可得|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,则xA+2=3(xB+2),xA=3xB+4.将直线y=k(x+2),k>0代入抛物线C:y2=8x整理得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,则xA+xB=-4+,xAxB=4,与联立解得xA=6,xB= (舍负),k2=,又k>0,所以k=.2.(5分)(xx·江苏盐城中学阶段检测)已知椭圆=1(a>b>0),M,N是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点,且直线PM,PN的斜率分别为k1,k2(k1k20),若椭圆的离心率为,则|k1|+|k2|的最小值为. 2.1【解析】设P(x0,y0),M(x1,y1),N(-x1,-y1),则k1k2=,因为两式相减得=-=-=-1+=-,所以|k1|+|k2|2=1,当且仅当|k1|=|k2|=时取等号,所以|k1|+|k2|的最小值为1.3.(5分)已知正方形的一条边AB在直线y=x+4上,顶点C,D在抛物线y2=x上,则该正方形的边长为. 3.3或5【解析】设CD所在直线的方程为y=x+b(b<0),由消去x得y2-y+b=0,设C(x1,y1),D(x2,y2),则y1+y2=1,y1y2=b,|CD|=,又AB与CD的距离d=,由四边形ABCD为正方形有,解得b=-2或b=-6,正方形的边长为3或5.4.(12分)(xx·北京昌平区模拟)已知椭圆C: =1(a>b>0),右焦点F(,0),点A在椭圆上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线y=kx+m(k0)与椭圆C有且只有一个公共点M,且与圆O:x2+y2=a2+b2相交于P,B两点,问kOM·kPB=-1是否成立?请说明理由.4.【解析】(1)因为椭圆C的右焦点F(,0),经过点A,所以解得a2=4,b2=1,所以椭圆C的方程是+y2=1.(2)不成立.由(1)知圆O:x2+y2=5,因为直线与椭圆C有且只有一个公共点M,所以方程组 (*)有且只有一组解,由(*)得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,从而=0,即16(4k2-m2+1)=0,化简得m2=1+4k2,xM=-,yM=kxM+m=.所以点M的坐标为.因为kPB=k0,由可知m0,所以kOM×kPB=×k=-1,所以kOM·kPB=-1不成立.5.(13分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若BFD=90°,ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.5.【解析】(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形,则|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p.由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=p.因为ABD的面积为4,所以|BD|·d=4,即·2p·p=4,解得p=-2(舍去),p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,ADB=90°.由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,所以ABD=30°,直线m的斜率为或-.当直线m的斜率为时,由已知可设n:y=x+b,代入x2=2py得x2-px-2pb=0.由于直线n与C只有一个公共点,故=p2+8pb=0.解得b=-.因为直线m的截距b1=3,所以坐标原点到直线m,n距离的比值为3.同理,当直线m的斜率为-时,坐标原点到直线m,n的距离的比值也为3.