2022年高中数学 第二章 阶段质量检测 北师大版选修2-2

2022年高中数学 第二章 阶段质量检测 北师大版选修2-2一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知函数f(x)，则f()ABC8 D16解析：f(x)(x2)2x3，f2×316.答案：D2曲线yx22x在点处的切线的倾斜角为()A135° B45°C45° D135°解析：yx2，所以斜率k121，因此倾斜角为135°.答案：D3函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是()A在点xx0处的函数值B在点(x0，f(x0)处的切线与x轴所夹锐角的正切值C曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率D点(x0，f(x0)与点(0,0)连线的斜率答案：C4若f(x)sin cos x，则f(x)()Asin x Bcos xCcos sin x D2sin cos x解析：函数是关于x的函数，因此sin 是一个常数答案：A5下列求导运算正确的是()A.1 B(log2x)C(3x)3xlog3e D(x2cos x)2xsin x解析：1，所以A不正确；(3x)3xln 3，所以C不正确；(x2cos x)2xcos xx2·(sin x)，所以D不正确；(log2x)，所以B正确答案：B6(xx·重庆高考)曲线yx33x2在点(1,2)处的切线方程为()Ay3x1 By3x5Cy3x5 Dy2x解析：依题意得，y3x26x，y|x13×126×13，即所求切线的斜率等于3，故所求直线的方程是y23(x1)，整理得y3x1.答案：A7若f(x)log3(2x1)，则f(3)()A. B2ln 3C. D.解析：f(x)，f(3).答案：D8若函数f(x)满足f(x)x3f(1)·x2x，则f(1)的值为()A0 B2C1 D1解析：f(x)x22f(1)x1，所以f(1)12f(1)1，则f(1)0.答案：A9函数y(a>0)在xx0处的导数为0，那么x0()Aa B±aCa Da2解析：因为y，所以xa20，解得x0±a.答案：B10(xx·江西高考)若f(x)x22x4ln x，则f (x)>0的解集为()A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)解析：令f (x)2x20，又x0，所以x2.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确的答案填在题中的横线上)11若f(x)log3(x1)，则f(2)_.解析：f(x)log3(x1)，f(x)log3(x1)，f(2).答案：12已知0<x<，f(x)x2，g(x)，则f(x)与g(x)的大小关系是_解析：由题意，得f(x)2x，g(x).由0<x<，知0<f(x)<，g(x)>1，故f(x)<g(x)答案：f(x)<g(x)13已知物体的运动方程是s(t)t2(t的单位是秒，s的单位是米)，则物体在时刻t4秒时的速度v_米/秒，加速度a_米/秒2.解析：s(t)2t，v(4)s(4)2×4，v(t)2t，v(t)2，a(4)v(4)2.答案：14过原点作曲线yex的切线，则切点的坐标为_，切线的斜率为_解析：设切点坐标为(x0，ex0)，yex，则切线斜率为ex0，切线方程为yex0ex0(xx0)，代入原点坐标(0,0)x01，切点为(1，e)，斜率为e.答案：(1，e)e三、解答题(本大题共4小题，共50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)求下列函数的导数：(1)ysin x；(2)y(x22)(3x1)；(3)yx·ex；(4)ysin 2x.解：(1)y(sin x)()cos x.(2)y(x22)(3x1)(x22)(3x1)2x(3x1)3(x22)9x22x6.(3)yx·exx·(ex)exxex(1x)ex.(4)y(sin 2x)×2·cos 2xcos 2x.16(本小题满分12分)已知曲线yx33x26x10上一点P，求过曲线上P点的所有切线中，斜率最小的切线方程解：y3x26x63(x22x2)3(x1)23.当x1时，斜率最小为3，此时P的纵坐标为y(1)33×(1)26×(1)1014，切点坐标为(1，14)切线方程为y143(x1)，即3xy110.17(本小题满分12分)已知函数f(x)x33xf(a)(其中aR)，且f(a)，求：(1)f(x)的表达式；(2)曲线yf(x)在xa处的切线方程解：(1)f(x)x23f(a)，于是有f(a)a23f(a)f(a)，f(x)x3x，又f(a)，即a3a3a1，f(x)x3x；(2)由(1)知切点为，切线的斜率f(a)，切线方程为y(x1)，即3x6y40.18(本小题满分14分)设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值解：(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y，则f(2).又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx得yx2x0从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为6