湖南省长沙市2019届高三高考模拟数学(理)试题

科目：数学（理科）（试题卷）注意事项：1 .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷 的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。2 .选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作 答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。3 .本试题卷共5页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自 负。4 .考试结束后，将本试题卷和答题一并交回。姓 名准考证号绝密启用前高考湘军2019年长沙市高考模拟试卷（一）数学（理科）长沙市教科院组织名优教师联合命制满分：150分时量：120分钟A. -15B. -5C. 一5。 D. 53.以双曲线二-22 = 1的离心率为首项45，以函数4、一 2的零点为公比的等比数列的前项B.3-F2 n 4 Tu. ）一说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卷指定位置上.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的）1 .已知Z是复数，f是虚数单位，（1T）Z在复平面中对应的点为P，若P对应的复数是模等于2的负实数，那么Z =C. 1D.A. -1-z B. - 1 + i2.已知不等式一 ar + h>0的解集为（一1,2）, ，是二项式（6二广的展开式的常数项，那么正视 侧视4.已知几何体M的正视图是一个面积为2的半圆，俯视图是正三角形，那么这个几何体的表面积和体枳为俯视A. 6和士亘B. 6+4后和迪乃33A. 9900B. 10100C. 5050 D. 4950C. 64+4行和坦乃 D. 4（乃+ JJ）和±5 336.与抛物线=8x相切倾斜角为135。的直线L与*轴和y釉的交点分别是A和B,那么过A、B两点的最小圆截抛物线V =8x的准线所得的弦长为A. 4B 2V2 C. 2D. V27 .己知直线/与平而。平行，P是直线/上的一点，平面a内的动点B满足：PB与直线/成60°。那么B点轨迹是A.双曲线 B.椭圆C,抛物线 D.两直线8 .使得函数一的值域为的实数对（a,b）有（）对A. 1B. 2C. 3D.无数二.填空题：（每大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上） 选做题（从13题、14题和15题中选两题作答，全做则按前两题记分）9 . G（x）表示函数y = 2cosx + 3的导数，在区间-上，随机取值。，G（a）V 1的概率 3为:10 .已知向量4 = （x,y）, B = （x 2,1）,设集合=bI石_L另, Q = x巾卜6，当JtePAQ时， y的取值范围是 ：11 .计算：j； x2-:12 .从正方体的各表面对角线中随机取两条，这两条表面对角线成的角的度数的数学期望13 .（极坐标和参数方程4-4）极坐标系中，质点P自极点出发作直线运动到达圆：2+ 4cos6 =。的圆心位置后顺时针方向旋转60°后直线方向到达圆周" + 4cos6 = 0上，此时P点的极坐标为 ：14.（几何证明4-1）已知。01和。0:交于点C和D, 上的点P处的切线交。0：于A、B点，交直线CD于点E, M是0于上的一点,若PE=2, EA=1, NAME=30°,那么。0二的半径为15 .（不等式4-5）已知x>Qy>Qz>O,x + 2v + 3z = 3，那么（入+_尸+ （2，+ ,尸+（3z +，尸的最小值 4v 6z 2a J为; 2216 .方程工+二二1（。,金1, 2, 3, 4,，2019）的曲线中，所有圆而积的和等于 ,离a h心率最小的椭圆方程为.三、解答题：(前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤)17 .函数x) = 6cos2 ? +J5sin - 3®>0)在一个周期内的图像如 图所示,A为图像的最高点，为图像与工轴的交点，且AA8C为正三角 形.若x w 0,1,求函数/(x)的值域；若/(%)=学，且X。4一号高，求/(X。+ 1)的值.18 .如图一，ZkABC是正三角形，ZABD是等腰直角三角形，AB二BD=2。将aABD沿边AB折起，使得 ABD与 ABC成30°的二面角D-AB-C,如图二，在二面角。一 A5-C中.(1)求D、C之间的距离：(2)求CD与而ABC所成的角的大小;(3)求证：对于AD上任意点H, CH不与而ABD垂直。19 .某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种 食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x元/千克，政府补贴为，元/千克，根据 市场调查，当164x424时，这种食品市场日供应量万千克与市场日需量q万千克近似地满足 关系：p = 2(x + 4/-14).(xN16,JN0), (? = 24 + 81n ,(16<x<24)o 当 p = q 市场价格称为市场 x平衡价格。(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；(2)为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为每千克多少元20 .设命题p：函数儿。二0汕辿在(O,+s)上是增函数：命题q：方程一一" +一 2 = 0有两个不相 x+等的负实数根°求使得P八q是真命题的实数对(“/)为坐标的点的轨迹图形及其面积。21 .己知A(L,0),点B是y轴上的动点，过B作AB的垂线/交x轴于点Q,若4AP+AQ = 2AB, M(4,0).(1)求点P的轨迹方程：(2)是否存在定直线x = a,以PM为直径的圆与直线x = a的相交弦长为定值，若存在，求出定直线方程;若不存在,请说明理由。y小22 . (1)已知。+ + c = l,a,b,c e (。，)，求证：«log3 + Z?Iog3 Z? + cIog3 c > -1 ;已知 q+的 + +。3” = 1，4r >0(i= 1, 2,3,3=),求证:10g 3 «i+«2 l0g342 + 3 10g3 ”3+.”+。3”a3n 之一2019年长沙市高考数学模拟试卷（一）数学（理科）参考答案及评分标准一.选择题：（本大题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的）题号 12345678答案 ADBCBCAB二.填空题：（每大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线±)9.一10. (-8, 111. 2-In2312. 60°13. (25 ) 616. 202709 br ；厂 V 厂 V"4:= 1 和2012 20132013 2012三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤）17.解由已知得：/（a ） = 3cos cox + >/3 sin cax = 2、Qsin| cox + y又A4BC为正三角形，且高为2,则BC=4.所以函数f（x）的最小正周期为8,即 号=8=* , f(x)= 2 存 sin(如 + g g,3</«<2V3.函数/(x)的值域为b，2j可8V3 印，兀% 乃、4,ux|I s in( + )=一5435因为/(.%)=警,有fM = 2瓜in弓+勺由 X°G(-?,g),得(+如(刍所以，即C。咛+MYYJt、. n+ )sin 34故,+D=2'吟+泻)=2厮吟=2-,f3sin( + )cos + cos(434= 2./3(-x + 2xXl)5 25 277612分18.解：依题意，ZABD=90° ,建立如图的坐标系使得aABC在yoz平面上，ABD与AABC成30, 的二面角,/. ZDBY=30°,又 AB=BD=2, /. A(0, 0, 2), B(0, 0, 0),C(0,g，1), D(l, G 0),(1) I CD = yl( - O)2 +(y3-)2 + (0 -1)2 = x/2 5分(2)x轴与面ABC垂直,故(1, 0, 0)是而ABC的一个法向量,设CD与面ABC成的角为8，而加二(1, 0, -1),/. sin。二+o2 +0。JF +0。+(- 1尸一走 '2”8分(3)设 A“二 tA。二 t(L 的，-2)= (t, a/3 t, -2 t),CH=CA + AH = (Q. -V3,l) +(t,厚，-2 t) = (t,国-6 -2 t+1),若由则(t, 舟-百,-2 t+1) (0, 0, 2)=0 得2而前二（1, V3 , 0）, CH 丽二1-2=1=0,.国和而不垂直,2 2即CH不可能同时垂直BD和BA,即CH不与面ABD垂直。2019.解：(1)由 P=Q 得 2(x + 4t -14 )= 24+81n (16WxW24,t>0).12分13 120t= - -x+ In(16x24)。2 4x,/=二t是x的减函数。 4 xrax'131c一 201, 201、5一-x 24+ In=+ln= + In;24224262 4巨X16+2 413(2)由(1) t= ,20 5 . 5任1 . 5In=+ In ,二 值域为+ In, 16 2426120x+ In(16WxW24)。-+ In- 2413 12020而又二20 时，t= - - x20 + In一 二（兀/千克）t是x的减函数。欲使x<20,必须之（元/千克）要使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为元/千克，12分2。.解二 TF'p 真=£二注 。对于 x£ (0, +s )成立U>a-b+5>0。实数对（a, b）为坐标的点的轨迹图形如图（阴影部分，不包括边界。）8分解：。一/? + 5 = 0。2-4 + 8 = 0得 ak -2, a：= 6,a-b+5=0b = 2得 a= -3;.（a, b）为坐标的点的轨迹图形的而积:11分S= J 3(4 + 5 - 2)da+(亍 + 2 - 2)da = J §(。+ 3)" += (-a:+3a) 2+ a2-1213分21 .解：(1)设 B(0, t),设 Q(m, 0), t:= m，= m<0, m二一4t， 41 Q(-4t 0),设 P(x, y),则 A尸二(x，y), 4而二0), 2AB = (-, 2 t), v Xp + AQ2AB. 42/. (x- - > y)+ (-4t'- , 0)= (-，2 t), 442/. x=4t y=2 t,y三x,此即点P的轨迹方程： 6分。(2)由(1),点P的轨迹方程是yJx；设P(y' y), vM (4, 0),则以PM为直径的圆的圆心即PM的中点T(上上，-),以PX为直径的圆与直线x二a的相交弦长： 22L=2号总”>二2 1(a - 4)(y2 q) + 亍=2 (a-)y2 -a(a-4) 10 分若a为常数，则对于任意实数y, L为定值的条件是a-上二0,即a二”时，L二屏 44，存在定直线x=:，以PM为直径的圆与直线x二?的相交弦长为定值历°13分 4422 .解：(1)证明：*/ a+b+c=l, a、b c£(0. +°°) >a 1 ogsa-rb 1 ogsb+c 1 ogsc= a 1 ogsa+b 1 ogsb+ (1 -a-b) logs(l-a-b) =/(a)1 A1 Z?那么 f ' (a)= log5a-log3(l-a-b),当 (0, )时 f ' (a)<0,当 a£ (, 1)时 f '22(a)>0.f(a)在(0, T上递减，在1也，1)上递增；221 b1 h1 h/. f(a)2£() = (l-b) log：+ blogsb, id g(b)= (1-b) logs-+ blogsb, 3分222得：gz (b)= log3b-log3 > 当 b£(0, 1)时8，(b) <0,当 bw(L 1)时，gz (b) >0,233/. g(b)在(o,')递减，在(L, i)上递增：，g(b)g(-)=-io333alogaa+blogsb+clogjc-l 当 a二b二c二1时等号成立。5 分(2)证明："1 时,%+% + %=1，%>0(i=l,2,3),由(D知设n=k时结论成立，即+%+,勺=1，6>0(i=l,2,3,，3”)时% log3 a+a2 log3 % +。3 1叫或+勺 咋3 a3k *.那么，n=k+l 时，若 +2 +a3. +，勺+1 +仁川二1，°(i=L 2, 3,，3七)时,令+4*，=3则2+反+人=L由归纳假设: 3*3IT IT 1-r- log. + logA log 2-k.1T 3- J1-ZJ' 一 /. ax log3 a +a2 log3 a2 + a3 Iog3 a3+a log3 a3K -(1-t) Iog3 (1-t) >-k(l-t). a log3 a +a2 Iog3 a2 + a3 log3 «3+*-+ log343A >-k(l-t)+ (1-t) log3 (1-t) (1)设+'3=s，则+'1=tf 2+ 安i.十二二L由归纳假设： 2bgz&L+log3 52-k.t - S t - S t - S t - S t - S t -5二勺+ Jog3 勺+1 +旬+2 bg 3 '勺+2+&R 10g 3 * 2-k(t-S)+ (t-s) log 3 (t-S)(2)10分/'一1+&-尸$，.4口+它=+-+2二1：由归纳假设同理可得： 03s SS限 + Jog3 旬3、1+40+2 bg 3 a2d+2+"" ,0§3 %山+ S】Og3 s (3)将(1)、(2)、(3)两边分别相加得：% 10 g 3。1+。2 bg 3 %+&* l°g3 a3*+°2><3* bg3 峻 + +。/脸。/>-k (l-t) + (t-s) +s+ (1-t) log 3 (l-t)+ (t-s) log 3 (t-s) + S log 3 s而(l-t) + (t-s)+s=l, (l-t)>0» (t-s) >0, s >0o /. (1-t) log; (l-t)+ (t-s) log3 (t-s) + slog3 s2一1。/. -k(l-t) + (t-s)+s+ (l-t) log3 (l-t)+ (t-s) log3 (t-s) + slog3 s(k+1) o:41 log3 +2 ,O§3 «2+ + log3 a3k +-+6/1 log3 令2-(k+l) 013分，n=k+l时，题设结论成立。综上所述，题设结论得证。