2018-2019学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数学案 新人教A版选修2-2

13.2函数的极值与导数1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)1极小值点与极小值(1)特征：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0.(2)符号：在点xa附近的左侧f(x)<0，右侧f(x)>0.(3)结论：点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值2极大值点与极大值(1)特征：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0.(2)符号：在点xb附近的左侧f(x)>0，右侧f(x)<0.(3)结论：点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值3极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为极值点(2)极大值与极小值统称为极值1对极值的认识(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的极值点是区间内部的点而不是端点(2)若f(x)在某区间内有极值，那么f(x)在该区间内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值2对函数取极值条件的认识(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“函数yf(x)在一点的导数值为零是函数yf(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件”(2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在点x0左侧和右侧f(x)的符号不同3对函数极值点的认识(1)函数f(x)在某区间内有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点(2)当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的 (3)从曲线的切线角度看，曲线在极值点处切线的斜率为0，并且曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正注意如果在x0的两侧f(x)的符号相同，则x0不是f(x)的极值点 判断正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)函数的极大值一定大于其极小值()(2)导数为0的点一定是极值点()(3)函数yf(x)一定有极大值和极小值()(4)若一个函数在给定的区间内存在极值，则极值点一定在区间的内部()(5)函数的极值点是自变量的值，极值是函数值()答案：(1)×(2)×(3)×(4)(5) 函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A1个B2个C3个 D4个答案：A 函数yx31的极大值是()A1 B0C2 D不存在解析：选D.因为y3x20，所以yx31在R上为增函数，故不存在极值 函数y13xx3的极大值点为_，极小值点为_解析：y33x23(1x)(1x)，令y0，解得x11，x21.当x<1时，y<0，函数是减函数，当1<x<1时，y>0，函数是增函数，当x>1时，y<0，函数是减函数，所以当x1时，函数有极小值当x1时，函数有极大值答案：11探究点1求函数的极值或极值点求下列函数的极值(1)f(x)2；(2)f(x)x2ex.【解】(1)函数f(x)的定义域为R.f(x).令f(x)0，得x1或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，1)1(1，)f(x)00f(x)极小值3极大值1由上表可以看出，当x1时，函数有极小值，且极小值为f(1)3；当x1时，函数有极大值，且极大值为f(1)1.(2)函数f(x)的定义域为R.f(x)2xexx2exx(2x)ex.令f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，2)2(2，)f(x)00f(x)极小值0极大值4e2由上表可以看出，当x0时，函数有极小值，且极小值为f(0)0.当x2时，函数有极大值，且极大值为f(2).函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域(2)求方程f(x)0的根(3)用方程f(x)0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格(4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况注意当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然 求下列函数的极值：(1)f(x)x33x29x5；(2)f(x).解：(1)函数f(x)x33x29x5的定义域为R，且f(x)3x26x9.令f(x)0，得x11，x23.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，3)3(3，)f(x)00f(x)单调递增10单调递减22单调递增因此，x1是函数f(x)的极大值点，极大值为f(1)10；x3是函数f(x)的极小值点，极小值为f(3)22.(2)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)，令f(x)0，得xe.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)单调递增单调递减因此，xe是函数f(x)的极大值点，极大值为f(e)，函数f(x)没有极小值点探究点2求含参数函数的极值已知函数f(x)16x320ax28a2xa3，其中a0，求f(x)的极值【解】因为f(x)16x320ax28a2xa3，其中a0，所以f(x)48x240ax8a28(6x25axa2)8(2xa)(3xa)，令f(x)0，得x1，x2.(1)当a>0时，<，则随着x的变化，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以当x时，函数f(x)取得极大值f()；当x时，函数f(x)取得极小值f()0.(2)当a<0时，<，则随着x的变化，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以当x时，函数f(x)取得极大值f()0；当x时，函数f(x)取得极小值f().综上，当a>0时，函数f(x)在x处取得极大值，在x处取得极小值0；当a<0时，函数f(x)在x处取得极大值0，在x处取得极小值.含参数函数极值的求法求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题讨论的依据有两种：一是看参数是否对f(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论 已知函数f(x)xaln x(aR)，求函数f(x)的极值解：由f(x)1(x>0)知，(1)当a0时，f(x)>0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；(2)当a>0时，由f(x)0，解得xa，又当x(0，a)时，f(x)<0；当x(a，)时，f(x)>0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值探究点3已知函数的极值求参数已知函数f(x)(kR)(1)k为何值时，函数f(x)无极值；(2)试确定k的值，使f(x)的极小值为0.【解】(1)因为f(x)，所以f(x).要使f(x)无极值，只需让f(x)0或f(x)0恒成立即可因为ex>0，所以f(x)与g(x)2x2(k4)x2k同号因为g(x)的二次项系数为2，所以只能满足g(x)0恒成立，令(k4)216k(k4)20，解得k4，所以当k4时，f(x)无极值(2)由(1)知k4，令f(x)0，得x12，x2.当<2，即k<4时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，)(，2)2(2，)f(x)00f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减令f()0，得2·()2k·k0，解得k0，满足k<4.当>2，即k>4时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)(，)f(x)00f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减令f(2)0，可得2×222kk0，解得k8，满足k>4.综上，当k0或k8时，f(x)有极小值0.已知函数的极值求参数的方法对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号(1)已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：求函数的导数f(x)；由极值点的导数值为0，列出方程(组)，求解参数注意求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f(x)0或f(x)0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立 已知函数f(x)x34xm在区间(，)上有极大值.(1)求实数m的值；(2)求函数f(x)在区间(，)上的极小值解：(1)f(x)x24，令f(x)0，解得x12，x22.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x(，2)2(2，2)2(2，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表可知，当x2时，f(x)取得极大值f(2)8m，解得m4.故实数m的值为4.(2)由m4可得f(x)x34x4，结合上表，可得f(x)在x2处取得极小值f(2)84.故函数f(x)在区间(，)上的极小值为.1函数f(x)x2ln x的极值点为()A0，1，1B.C D.，解析：选B.由已知，得f(x)的定义域为(0，)，f(x)3x，令f(x)0，得x(x舍去)当x>时，f(x)>0；当0<x<时，f(x)<0，所以当x时，f(x)取得极小值从而f(x)的极小值点为x，无极大值点，选B.2如图为yf(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是()f(x)在(3，1)上为增函数；x1是f(x)的极小值点；f(x)在(2，4)上为减函数，在(1，2)上为增函数；x2是f(x)的极小值点A BC D解析：选B.当x(3，1)时，f(x)<0，当x(1，2)时，f(x)>0，所以f(x)在(3，1)上为减函数，在(1，2)上为增函数，x1是f(x)的极小值点；当x(2，4)时，f(x)<0，所以f(x)在(2，4)上为减函数，x2是f(x)的极大值点故正确3函数y3x39x5的极大值为_解析：y9x29.令y0，得x±1.当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，1)1(1，1)1(1，)y00y单调递增极大值单调递减极小值单调递增从上表可以看出，当x1时，函数y有极大值3×(1)39×(1)511.答案：114已知函数f(x)ax2bln x在x1处有极值.(1)求a，b的值；(2)判断函数f(x)的单调区间，并求极值解：(1)因为f(x)ax2bln x，所以f(x)2ax.又函数f(x)在x1处有极值.故即可得a，b1.(2)由(1)可知f(x)x2ln x.其定义域为(0，)且f(x)x.令f(x)0，则x1(舍去)或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：x(0，1)1(1，)f(x)0f(x)极小值所以函数f(x)的单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，)，且函数在定义域上只有极小值f(1)，而无极大值 知识结构深化拓展三次函数的极值与零点的关系对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，为了描述方便简洁，这里只给出a>0的情形令x1，x2为f(x)的极值点，用表示f(x)3ax22bxc对应方程的根的判别式，则结合零点存在性定理，有如下结论：(1)yf(x)有一个零点0或f(x1)·f(x2)>0.(2)yf(x)有两个零点.(3)yf(x)有三个零点.相应函数图象的情况如下(1)三次函数有一个零点意味着函数单调或者极大值和极小值同号，如图和所示(2)三次函数有两个零点意味着函数有两个极值点，且其中一个极值点为零点，如图所示(3)三次函数有三个零点，则函数的极大值和极小值异号，如图所示 A基础达标1设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析：选D.求导得f(x)exxexex(x1)，令f(x)0，解得x1，易知x1是函数f(x)的极小值点2函数f(x)ln xx在区间(0，e)上的极大值为()Ae B1C1e D0解析：选B.函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.令f(x)0，得x1.当x(0，1)时，f(x)>0，当x(1，e)时，f(x)<0，故f(x)在x1处取得极大值f(1)ln 11011.3已知函数f(x)2x3ax236x24在x2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A(2，3) B(3，)C(2，) D(，3)解析：选B.因为f(x)6x22ax36，且在x2处有极值，所以f(2)0，244a360，a15，所以f(x)6x230x366(x2)(x3)，由f(x)>0得x<2或x>3.故f(x)的递增区间为(，2)和(3，)4已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A1<a<2 B3<a<6Ca<3或a>6 Da<1或a>2解析：选C.由题意知f(x)3x22ax(a6)0有两个不相等的根，所以>0，解得a>6或a<3.故选C.5函数f(x)x3bx2cxd的图象如图所示，则xx等于()A. B.C. D.解析：选C.由图象可得f(x)0的根为0，1，2，故d0，f(x)x(x2bxc)，则1，2为x2bxc0的根，由根与系数的关系得b3，c2，故f(x)x33x22x，则f(x)3x26x2，由题图可得x1，x2为3x26x20的根，则x1x22，x1x2，故xx(x1x2)22x1x2.6设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点，则常数a_解析：因为f(x)2bx1，由题意得所以a.答案：7若f(x)exkx的极小值为0，则k_解析：因为f(x)exkx的定义域为R，所以f(x)exk，当k0时，f(x)>0，f(x)在R上单调递增，所以f(x)无极值当k>0时，由f(x)0，得xln k；令f(x)>0，得x>ln k；令f(x)<0，得x<ln k，所以f(x)极小f(ln k)eln kkln kk(1ln k)0，所以1ln k0，即ke.答案：e8若函数f(x)x3x2ax4在区间(1，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为_解析：由题意，f(x)3x22xa，则f(1)f(1)<0，即(1a)(5a)<0，解得1<a<5，另外，当a1时，函数f(x)x3x2x4在区间(1，1)上恰有一个极值点，当a5时，函数f(x)x3x25x4在区间(1，1)内没有极值点故实数a的取值范围为1，5)答案：1，5)9已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x±1时取得极值，且f(1)1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由解：(1)由已知，f(x)3ax22bxc.且f(1)f(1)0，得3a2bc0，3a2bc0.又f(1)1，所以abc1.所以a，b0，c.(2)由(1)知f(x)x3x，所以f(x)x2(x1)(x1)当x<1或x>1时，f(x)>0；当1<x<1时，f(x)<0，所以函数f(x)在(，1)和(1，)上是增函数，在(1，1)上为减函数所以当x1时，函数取得极大值f(1)1；当x1时，函数取得极小值f(1)1.10求下列函数的极值(1)f(x)3ln x；(2)f(x)sin xcos xx1(0<x<2)解：(1)函数f(x)3ln x的定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0，得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，1)1(1，)f(x)0f(x)单调递减3单调递增因此当x1时，f(x)有极小值3，无极大值(2)由f(x)sin xcos xx1，0<x<2，知f(x)cos xsin x1，0<x<2，于是f(x)1sin(x)，0<x<2，令f(x)0，从而sin(x)，又因为0<x<2，所以x或x.当x变化时f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)(，2)f(x)00f(x)单调递增2单调递减单调递增因此，当x时，f(x)有极小值；当x时，f(x)有极大值2.B能力提升11设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()解析：选C.因为f(x)在x2处取得极小值，所以当x2时，f(x)单调递减，即f(x)0；当x2时，f(x)单调递增，即f(x)0.所以当x2时，yxf(x)0；当x2时，yxf(x)0；当2x0时，yxf(x)0；当x0时，yxf(x)0；当x0时，yxf(x)0.结合选项中图象知选C.12若函数f(x)x33ax1在区间(0，1)内有极小值，则a的取值范围为_解析：f(x)3x23a.当a0时，在区间 (0，1)上无极值当a>0时，令f(x)>0，解得x>或x<.令f(x)<0，解得<x<.若f(x)在(0，1)内有极小值，则0<<1.解得0<a<1.答案：(0，1)13设a为实数，函数f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点？解：(1)f(x)3x22x1.令f(x)0，则x或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值是fa，极小值是f(1)a1.(2)函数f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，所以曲线yf(x)与x轴至少有一个交点由(1)知f(x)极大值fa，f(x)极小值f(1)a1.因为曲线yf(x)与x轴仅有一个交点，所以f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，即a<0或a1>0，所以a<或a>1，所以当a(1，)时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点14(选做题)已知函数f(x)(x2axa)ex(a2，xR)(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由解：(1)f(x)(x2x1)ex，f(x)(2x1)ex(x2x1)ex(x23x2)ex，当f(x)>0时，解得x<2或x>1，当f(x)<0时，解得2<x<1，所以函数的单调增区间为(，2)，(1，)；单调减区间为(2，1)(2)令f(x)(2xa)ex(x2axa)exx2(2a)x2aex(xa)(x2)ex0，得xa或x2，因为a2，所以a2.列表如下：x(，2)2(2，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极小值由表可知，f(x)极大值f(2)(42aa)e23，解得a43e22，所以存在实数a2，使f(x)的极大值为3，此时a43e2.16