四年级下数学思维训练教程尖子生

.四年级下期第一讲 定义新运算同学们对于"加、减、乘、除"四则运算已经相当熟悉了。为了扩展对运算的认识,在四则运算的基础上,还可以按需要规定新的运算。例1设a、b都表示数,规定ab3×a2×b。(1) 求43,34。<2>这种运算有"交换律"吗？<3>求<176>2,17<62>。<4>这种运算有"结合律"吗？<5>如果已知5b1,求b。解：像这样的题目叫做"定义新运算"。这里,""当作一种新的运算符号来使用,它的意义是：如等号右端所要求的那样,先求出3×a和2×b的值,再求出3×a与2×b的差。弄清了新定义运算的意义之后,就要严格按照要求进行操作。仍然要先做括号里面的。所以：<1>433×42×31266。343×32×4981。<2>由<1>可知,43与34的结果不同,所以,这种运算没有"交换律"。<3><176>2<3×172×6>2<5112>23923×392×21174113。17<62>17<3×62×2>17<184>17143×172×14512823。<4>由<3>可知,<176>2与17<62> 的结果不同,所以,这种运算也没有"结合律"。<5>因为5b3×52×b152b,而152b1,所以2b151,2b14,b7。通过这个例题使我们认识到,所谓的"新运算"并不神秘,它只不过是对原有的四则运算的一种综合运用而已。在做这类题目时,关键是要弄清楚新运算的意义是什么,并且要严格按照它的意义进行运算。例2如果ab2×a3×b,a*b<ab>÷2,那么<3*5>7？解：""的意义是先求出2×a和3×b,再求出2×a与3×b的和。"*"的意义显然是求a、b的平均数。因为3*5<35>÷24,所以,<3*5>7472×43×729。例3规定：aba<a1><a2><ab1>,其中a、b表示自然数。<1>求1100的值；<2>已知x1075,求x。解：<1> a<a1><a2><ab1> 1<11><12><11001>123100<1100>×100÷2101×100÷25050。<2> x<x1><x2><x101>75 10x<129>75 10x4575 10x7545 10x30x30÷10 x3例4羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以关于羊和狼,我们规定一种运算,用符号表示：羊羊羊；羊狼狼；狼羊狼；狼狼狼。以上运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是狼和羊在一起就只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号表示：羊羊羊；羊狼羊；狼羊羊；狼狼狼。这个运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是由于羊能战胜狼,当狼和羊在一起时,它便被羊赶走而几只剩下羊了。对羊或狼,可以用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法则是从左到右,括号内先算。运算的结果或者是羊,或者是狼。那么求下式的结果：羊<狼羊>羊<狼狼>。解：羊<狼羊>羊<狼狼>羊羊羊狼羊羊狼羊狼狼练习一1设a、b都表示数,规定：ab表示a的4倍减去b的3倍,即ab4×a3×b。试计算：<1>56； 65。2a、b是自然数,规定aba×5b÷3,求89。3设ab8×a18÷b,求79？4规定ab<a3>×<b5>,求5<67>的值。5设aba×bab,试求58。6如果规定ab13×ab÷8,那么1724的最后结果是多少？7设a、b都表示数,规定：ab2×ab÷2。求<1>106； <2>7<48>。8规定ABB×BA,计算<23><45>。9如果规定ab4×a3×b1,那么57和75相等吗？10对于两个数x、y,xy表示y×Ax×2,并且已知826531。计算：<1>2957；<2>38<1423>。11如果34345618,6567891040。计算20006。12如果"、×、÷、< >"的意义与通常相同,而式子中的数字却不是原来的数字,试问下面的四个算式应该是我们通常的哪四个算式？<1>8×78；<2>7×7×76；<3><783>×939；<4>3×33。第二讲图形问题<一>例1有大、小两个正方形,它们的周长相差16厘米,面积相差80平方厘米,那么小正方形的面积是多少平方厘米？解：把小正方形重叠地放在大正方形的左上角如图,因为它们的边长相差16÷44<厘米>,所以图中正方形B的面积是4×416<平方厘米>,又因为阴影部分的面积是<8016>÷232<平方厘米>,所以原来的小正方形<正方形A>的边长是32÷48<厘米>,面积是8×864<平方厘米>。 A B例2下面的整个图形是一个边长40厘米的正方形,求图中阴影部分的面积。解法一：图形的总面积是40×401600<平方厘米>。每个小空白正方形的对角线是20厘米,根据"正方形的面积等于对角线的平方除以2",每个空白小正方形的面积是20×20÷2200<平方厘米>,所以图中阴影部分的面积是1600200×4800<平方厘米>。解法二：仔细观察发现,图中阴影部分的面积与空白部分的面积正好相等,所以,阴影部分的面积是40×40÷2800<平方厘米>。例3如图,阴影部分是一个长方形,它的四周是四个正方形,如果这四个正方形的周长的和是240厘米,面积的和是1000平方厘米,那么阴影部分的面积是多少平方厘米？解：图中两个小正方形相同,两个大正方形也相同,所以一个小正方形和一个大正方形的面积的和是1000÷2500<平方厘米>。一个小正方形和一个大正方形的边长的和是240÷2÷430<厘米>。在原图的右上角补上一个同样的长方形,得到一个新的正方形如图这个新正方形的面积是30×30900<平方厘米>,所以一个长方形也就是原图的阴影部分的是<900500>÷2200<平方厘米>。例4如图,矩形ABCD被分成六个正方形,其中最小的正方形的面积等于1,矩形ABCD的是多少？ AB DC解：如果设右下角正方形的边长为a,那么,左下角正方形的边长就是a1,左上角正方形的边长就是a11,右上角正方形的边长就是a111。因为CDAB,所以aa<a1><a11><a111>,即3×a12×a5,于是a4。从而,CDaa<a1>13,AD<a1><a11>11。因此,矩形ABCD的面积是13×11143。练习二1已知甲是正方形,乙是长方形,图形的周长是多少厘米？甲3 乙 15 82把所有周长为22,且4条边的长度都是整数的长方形的面积加起来,和是多少？3一个正方形,如果一组对边各增加10厘米,另一组对边各减少6厘米,那么,所得长方形的面积与原来正方形的面积相等。原来正方形的面积是多少平方厘米？4下图中阴影部分A和阴影部分B的面积,哪个大？AB5一块长方形玻璃,长截去5分米,宽截去3分米,剩下的部分是正方形。已知截去的面积是71平方分米,那么剩下的正方形的面积是多少平方分米？6四个大小相同的正方形拼成一个大正方形后,周长比原来的四个正方形周长的和少了40厘米,原来每个正方形的周长是多少厘米？如果把这四个小正方形拼成的一个长方形,那么这个长方形的周长是多少？7如图,已知大、小两个正方形的边长之和是20厘米,并且大正方形比小正方形的面积大40平方厘米,大正方形的面积是多少平方厘米？8有一块如图所示的纸板,把它剪成三块后再拼成一个正方形,应该怎样剪拼,请画图表示。 2 2 39如图,一个大长方形被分成了4个小长方形,图中数字是它们的面积,阴影部分的面积是多少？ 19 574510将边长为a的正方形各边的中点连结成第二个正方形,再将第二个正方形各边的中点连结成第三个正方形,依此规律继续下去得到下图。那么边长为a的正方形的面积是图中阴影部分面积的多少倍？11在一个正方形水池四周,环绕着一条宽2米的路,这条路的面积是120平方米,那么水池的面积是多少平方米？12如图所示,阴影部分是一个长3分米、宽2分米的长方形,我们需要用14张边长1分米的正方形纸片才能将它围起来。现在有一个面积为124平方分米,且长和宽都是整数分米的长方形,那么至少需要多少张边长1分米的正方形纸片才能用同样的方法将其围起来？第三讲枚举与计数例1数列A：1, 2,3, 4,5, 6,7, 8,9, 10, 11,。把这个数列中一位以上的数的数字全部隔开,得到新的数列：1, 2,3, 4,5, 6,7, 8,9, 1,0, 1,1, 1,2,。<1>数列A中的数100的个位数字0在数列B中是第几个数？<2>数列B中的第100个数是数列A中的第几个数的哪一位上的数字？这个数字是什么？<3>到数列B中的第100个数为止,数字3共出现多少次？解：<1>数列A中,1到9共有9个数字；10到99共有180个数字；100有3个数字。所以数列A中的100的个位数字0在数列B中是第91803192个数。<2>数字B中前9个数是数列A中的一位数1到9,100991,而912×461,说明数列B中第100个数是数列A中第46个两位数的第一位数,这个数是94655,它的第一位十位数字是5。<3>数列A中,55以前的数含有数字3的依次是3, 13, 23, 30, 31, 32,33, ,39, 43, 53,所以数字3共出现16次。答：<略>。例2个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？所有这些两位数的和是多少？解：当十位数字是1时,满足题意的两位数有8个；当十位数字是2时,满足题意的两位数有7个；当十位数字是8时,满足题意的两位数有1个；共有1234567836<个>。这些两位数的十位数字的和是8×17×26×35×44×53×62×71×8120,个位数字的和是9×88×77×66×55×44×33×22×1240,所以这些两位数的和是10×1202401440。答：个位数字大于十位数字的两位数共有36个,所有这些两位数的和是1440。例3有10个小朋友围坐在一圈做游戏,从其中选出两个不相邻的小朋友,有多少种不同的选法？解：与某一小朋友不相邻的小朋友有7个,所以不相邻的小朋友有7×1070<对>,每对小朋友都重复算了一次,所以共有70÷235<种>选法。答：有35种不同的选法。例4在校级运动会上,运动员A、B、C分别获得100米短跑的第一、第二、第三。在区级运动会上,他们也是100米短跑的前三名。<1>如果在区级运动会上,他们当中有一人的排名与校级运动会的排名相同,那么排名情况有多少种可能？<2>如果在区级运动会上,他们的排名都与校级运动会的排名不同,那么排名情况有多少种可能？解：<1>设A的排名不变,那么B排第三,C排第二,只有这1种情况。同理B、C的排名不变,也各有1种情况。因此,共有3种情况。<2>如果排名情况都改变,A可能排第二或第三：当A排第二时,B排第三,C排第一,有1种情况；当A排第三时,B排第一,C排第二,也有1种情况。因此,排名均不同的可能性有2种。答：<略>。练习三1三个连续自然数,后面两个数的积与前面两个数的积的差是114,那么这三个数中最小的是多少？2由数字卡片 5 、 7 、 2 、0 、 1 各一张能组成多少个不同的三位数？把这些数按照从小到大的顺序排列,第14个数是多少？3一个三位数,三个数字各不相同且不为0,如果三个数字之和为10,这样的三位数有个？4一个两位数的十位数字比个位数字大5。现将十位和个位上的数字对调,所得的两位数比原来小多少？5编排一本书的页码共用了870个阿拉伯数字,这本书一共有多少页？6新华小学学生的总人数是一个三位数,平均每班有36人。统计员提供的学生总人数比实际总人数少180人。原来在他记录时粗心地将三位数的百位和十位上的数字对调了。学生的总人数最多是多少人？最少是多少人。7一圈小朋友玩报数拍手游戏,从1开始顺序报数,规定：报7的倍数时要拍一次手,报带7的数时要拍两次手,报既带7又是7的倍数时要拍三次手。则报到100时共拍了多少次手？8。一只口袋里有5个小球,另一只口袋里有4个小球,所有这些小球的颜色各不相同。<1>从两只口袋里任意取出一个小球,有多少种不同的情况？<2>从两只口袋里分别取出一个小球,有多少种不同的情况？9某地区有50个县城,每个县城都有3条公路通向别的县城,这些县城之间共有多少条公路？10如图,从B逐步往下走到A,有多少条不同的路线？ BA11如图,小丽从家到学校可以有多少种不同的走法？小丽家学校12小明的爸爸买了6张电影票<如下图>,想和小张家一块去看电影。但因临时有事不能和小张同时出发,小明只好撕下3张连在一起的票给小张家送去。那么有多少种不同的撕法？第四讲推理与判断例1小东、小兰、小英读书的学校分别是一中、二中、三中,他们各自爱好游泳、篮球、排球中的一项体育运动,但是谁爱好哪项运动,在哪个学校读书还不清楚。只知道：<1>小东不在一中；<2>小兰不在二中；<3>爱好排球的不在三中；<4>爱好游泳的在一中；<5>爱好游泳的不是小兰。那么谁在一中？谁在二中？小兰爱好什么？解：由<4>爱好游泳的在一中,由<1>这个人不是小东,由<5>这个人不是小兰,所以这个人是小英,即小英在一中。同时得知,小兰也不在一中,小兰只能在三中,进而得知小东在二中。由<3>爱好排球的在一中或二中,可是一中的小英已经爱好了游泳,所以爱好排球的是在二中的小东。还剩下小兰就只能爱好篮球了。例2小华同学做了三道习题,小明、小丽、小刚看完后分别说："小华做对了第一题","小华第二题没有做对","小华第一题没有做对"。老师看完三道题后发现：小华只做对了一道题,而且小明、小丽、小刚三人中只有一人说对了。请判断小华做对的是哪道题？解：假设小华做对了第一题,那么小明和小丽就都说对了,与题意不符；假设小华做对了第二题,那么小明和小丽就都说错了,只有小刚说对了,与题意相符；假如小华做对了第三题,那么小丽和小刚就都说对了,也与题意不符。所以小华做对了第二题。例3标有A、B、C、D、E、F、G、H记号的8盏灯,顺次排成一行,每盏灯装有一个开关。现在B、E、G开着,其余5盏灯关着,小明从灯A开始,循环逐个拉动8盏灯的开关,拉了2004次后,关着的灯是哪几盏？解：因为2004÷8商250余4,从A开始拉动开关250次后,由于250的双数,所以B、E、G仍然开着,其余5盏灯A、C、D、F、H都灭着。而对前面的4盏灯A、B、C、D又各拉动一次以后,A、C、D变成开着的,B又灭了,所以最后关着的灯是B、F、H。例4购物单上某商品的单价是49.36元千克,总价是7.28元,方框中的数看不清了。则购买此商品的数量至少是多少千克？解：写成竖式进行推导。先考虑个位数： 4 9 3.6 4 9 3.6× 3 × 8 1 4 8 0 8 3 9 4 8 87.2 8 7.2 8进一步考虑十位数：4 9 3.6 4 9 3.6 4 9 3.6 4 9 3.6× 2 3 × 7 3 × 4 8 ×9 8 1 4 8 0 8 1 4 8 0 8 3 9 4 8 8 3 9 4 8 8 9 8 7 2 3 4 5 5 2 1 9 7 4 4 4 4 2 4 4 8 3 7.2 8 7.2 8 7.2 8 7.2 8 所以至少购买98千克。练习四1甲、乙、丙、丁四人围坐在方桌的四边。乙说：我的对面是"南"；丙说：我在乙的左边；丁说：我的对面不是乙。甲坐在哪边？2甲、乙、丙、丁、戊参加歌咏比赛,获得前五名。他们的得分情况如下：<1>丙比乙低,但比戊高；<2>甲比丁高,但比戊低；<3>乙比戊高。这次歌咏比赛的第一名是谁？3甲、乙、丙三人中一位是工人,一位是农民,一位是教师。已知丙比教师的年龄大,甲与农民不同岁,农民比乙的年龄小。那么谁是教师？4甲、乙、丙三人中只有一人会开汽车。甲说："我会开。"乙说："我不会开。"丙说："甲不会开。"三人的话只有一句是真话。会开车的是谁？5、代表三个数,并且800那么、各代表多少？6下图中的"？"应填多少？2313？583 532 5 4 571号、2号、3号、4号运动员取得了运动会800米赛跑的前四名。赛后他们接受小记者的采访。1号说："3号在我前面冲向终点。"另一个得第三名的运动员说："1号不是第四名。"小裁判员说："他们的号码与他们的名次都不相同。"则第一名是几号？第二名是几号？第三名是几号？8将99棋子放在两种型号的盒子中,每个大盒子中装12粒,每个小盒子中装5粒。已知盒子数大于10个,那么有多少个大盒子？多少个小盒子？9会议室某排有15个座位,小宇去时部分座位已有人就座,他无论坐在何处都要与已坐的人相邻。那么,在小宇就座之前,这一排至少已坐了多少人？10某次数字竞赛有20道题,初始分为60分。规定：答对一题给5分,不答扣1分,答错一题扣3分。最后得分是奇数还是偶数？11"希"、"望"、"杯"、"赛"各代表不同的数字,请根据下面的算式判断这四个汉字分别代表的是哪个数字？希望 希望杯希望杯赛 2 0 0 512下面是一个六位数乘一个一位数的算式,不同的汉字表示不同的数,相同的汉字表示相同的数,这个六位数是多少？小 学 希 望 杯 赛×赛 9 9 9 9 9 9第五讲解决问题<一>例1祖父与父亲的年龄之差是孙子年龄的6倍,而孙子与父亲的年龄之和比祖父的年龄小30岁,孙子今年多少岁？解：当用孙子与父亲的年龄之和与祖父相比时,祖父的年龄比这个和多出来的部分只有孙子的615倍。所以孙子今年30÷56<岁>。答：孙子今年6岁。例2幼儿园分饼干,如果每人分3块,余14块；如果每人分4块,还有3个小朋友没分到。一共有多少个小朋友？有多少块饼干？解：改变分法后,从余15块到缺4×312<块>,一共要多分141226<块>,这是因为每人多分431<块>的缘故,所以一共有26÷126<个>小朋友,有3×261492<块>饼干。答：一共有26个小朋友,92块饼干。例3运输公司为客户装运1600只瓷盘,每只运费1元,如果损坏一只,不但得不到运费,还要照价格的一半赔偿。若运到目的地后运输公司损坏了5只瓷盘,并得到1540元。则瓷盘价格为每只多少元？解：如果瓷盘没有损坏,运输公司将得到1×16001600<元>,实际少得了1600154060<元>。损坏一只瓷盘运输公司少得60÷512<元>,其中有运费损失1元和瓷盘价格的一半,所以瓷盘的价格是<121>×222<元>。答：每只瓷盘22元。例4怀特海是英国数理逻辑学家,曾执教于剑桥大学和哈佛大学。下面是他给他的学生出的一道题：A、B、C三人各有硬币若干枚。A将自己的硬币分给B、C,使他们的硬币各增长了一倍；之后,B将自己的硬币分给A、C,使他们的硬币各增长了一倍；最后,C将自己的硬币分给A、B,使他们的硬币各增长了一倍。这样,三人的硬币都是8枚。请问他们原来各有硬币多少枚？解：用倒推法。第三次调整后：A有8枚,B有8枚,C有8枚；第二次调整后：A有8÷24<枚>,B有8÷24<枚>,C有84416<枚>；第一次调整后：A有4÷22<枚>,C有16÷28<枚>,B有42814<枚>；原来：B有14÷27<枚>,C有8÷24<枚>,A有27413<枚>。答：原来A有13枚、B有7枚、C有4枚。练习五1有甲、乙两队少先队员去春游,甲队人数是乙人数的2倍。从甲队调出10人到乙队后,甲队仍比乙队多5人。甲队原来有多少人？2在第二届"希望杯"全国数学邀请赛中,有一位同学在第一试答了24道题,其中,答对的题数是答错的题数的2倍；第二试答了20道题,结果,两次一共答对的题数是答错的题数的3倍。则这位同学在第二试答对了多少道题？3菜市场运来6筐萝卜,分别装着24千克、33千克、35千克、37千克、38千克、41千克的萝卜。营业员小王承包了其中3筐,小李承包了另外2筐。已知小王承包的萝卜质量是小李的2倍,剩下的没有被承包的萝卜有多少千克？4小光和小明,共有48枚纪念邮票和20枚特种邮票。已知,小光的纪念邮票是小明的5倍,小明的特种邮票是小光的3倍。小光的邮票比小明多多少张？5幼儿园老师给几组小朋友分苹果,每组分7个,少3个；每组分6个,则多4个。苹果有多少个？小朋友共几组？6某校组织学生去春游,晚上住宿时,如果在预订的房间里每间住5个人,还有4个人无法入住；每间安排6个人,最后一间还可以住2个人。那么预定了房间多少间？共有多少个人？7有三角形桌子和正方形桌子共13张,共有44条腿<桌子的每个角有一条腿>,则三角形桌子比正方形桌子多多少张？8一次口算比赛,规定：答对一题得8分,答错一题扣5分。小华答了18道题,得了92分,小华在此次比赛中答错了多少道题？9购买5元、8元和10元的公园门票共100张,用去748元,其中5元和8元的张数相同,则10元的门票共多少张？10小王、小李两人射击比赛,约定每中一发记20分,脱靶一发则扣12分。两人各打10发,共得208分,小王比小李多得64分,小王打中多少发？小李打中多少发？11小明问老师今年多少岁,老师说："我6年前的年龄和你6年后的相同,我3年后的年龄和你3年前的年龄之和是42岁。"老师今年多少岁？小明今年多少岁？12将786个桃子分成四堆,第一堆比第二堆多24个,比第三堆多16个,比第四堆多46个,那么第四堆有多少个？第六讲解决问题<二>例110名同学的考试成绩按分数从高到低排列名次,前4名平均得92分,后6名的平均分数比10人的平均分数少8分,这10名同学的平均分数是多少分？解：如果从前4名的总分中拿出6个8分补给后6名同学,那么前4名的平均分数也就和10个同学的平均分数同样多了,所以这10名同学的平均分是<92×48×6>÷480<分>。答：这10名同学的平均分是80分。例2一列以相同速度行驶的火车,经过一根有信号灯的电线杆用了9秒,通过一座468米长的铁桥用了35秒,这列火车长多少米？解：因为火车行驶一个车身的距离要9秒,而通过一座铁桥所行的距离包括桥的长度和车身的长度,所以火车行468米只需35926<秒>,每秒行驶468÷2618<米>,这列火车长18×9162<米>。答：这列火车长162米。例3星期天,妈妈从超市买了4支"小梦龙"和3支"可爱多"冰淇淋,用去24元钱。妈妈对小丽说："上星期天我买3支小梦龙和5支可爱多冰淇淋用去29元钱。""小梦龙"和"可爱多"冰淇淋每支各多少钱？解：把已条件整理成算式：4支小梦龙3支可爱多24<元><1>3支小梦龙5支可爱多29<元><2>为了消去"小梦龙",让<1>扩大3倍,<2>式扩大4倍,得：12支小梦龙9支可爱多72<元> <3>12支小梦龙20支可爱多116<元> <4><4>式<3>式得：每支"可爱多"<11672>÷<209>4<元>。再由<1>式得：每支"小梦龙"<244×3>÷43<元>。答："小梦龙"每支3元,"可爱多"每支4元。例4要用1000元钱买23元、22元、21元的三种物品,三种物品都要买,而且不能剩钱,则最多可以买多少件？最少可以买多少件？解：要想买的件数最多,就要尽量多买21元一件的,1000÷214713,说明可以47件21元的,还余13元,可以用这13元补到几件21元的物品上换成22元和23元的物品,所以最多可以买47件。要想买的件数最少,就要尽量多买23元一件的,1000÷234311,也就是说如果买44件就少231112<元>,可以买44件23元的,超出231112<元>,可以用几件23元的物品换21元和22元的物品,直到把超出的12元抵消,所以最少可以买44件。答：最多可以买47件,最少可以买44件。练习六1有四个数,每次选取其中三个数,算出它们的平均数,再加上另外一个数,用这样的方法计算了4次,分别得到4个数：26, 32, 40, 46,那么原来四个数的平均数是多少？2有6个数排成一行,它们的平均数是27。已知前4个数的平均数是23,后3个数的平均数是34。第4个数是多少？3甲筐苹果个数比乙筐多64个,从甲筐取出多少个苹果放入乙筐,可使乙筐苹果比甲筐多12个？4期末考试中,小强语文、数学、外语三门课的的平均成绩是92分,语文、外语两门课的平均成绩比数学低3分,语文比外语高2分。则外语多少分？5小光故意把成绩单上的两个分数涂掉了,让爸爸猜。已知数学比思想品德分数高,那么数学得了多少分？科目思想品德语文数学体育科学艺术平均分数 88 81 79 76 876为了支援西部,四一班班长小明和四二班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本,钱全部用完,小明要了26本,小光要了18本。回校后,小明补给小光28元。小明、小光各带了多少元？每本书多少元？7三个工厂拿出相同的资金买煤,结果甲厂比乙厂多要了15吨,丙厂比乙厂多要了15吨,因此甲厂和丙厂各付给乙厂3000元,每吨煤多少元？8空间站上的5位宇航员轮流值班和休息,值班岗位有2个。在60小时里,平均每个宇航员休息了几小时？9小明沿着长为100米的桥面步行。当他走到桥头时,一辆迎面驶来的火车车头也恰好到达桥头。100秒钟后,小明走到桥尾,火车的车尾恰好也到达桥尾。已知火车的速度是小明速度的3倍,则火车通达这座桥大约用了多少时间？10两列相向而行的火车恰好在某站相遇。如果甲列车长225米,每秒行25米,乙列车每秒行20米,甲、乙两列车错车时间是9秒。求：<1>乙列火车长多少米？<2>坐在甲列车上的小明看到乙列车通过用了多少秒？11甲、乙两人练习跑步,如果甲让乙先跑10米,那么甲跑5秒钟可追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟,那么甲跑4秒钟可追上乙。求甲的速度。12小明去相距9千米远的同学家,已知他步行的速度是每小时3千米,他每走50分钟要休息10分钟,他想在中午12：00之前赶到同学家,则他最晚要在上午几时几分出发？第七讲 综合练习<一>1如果ab3a2b,a*b<ab>÷2,那么<7*3>6？2一个两位数的十位数字比个位数字小6。现将十位和个位上的数字对调,所得的两位数比原来大多少？3有10个盒子和45个乒乓球,能否把这45个乒乓球放入这10个盒子中,使任意两个盒子中的乒乓球数都不相同？410公园里有一个正方形花坛,在花坛四周有一条2米宽的小路。如果这一圈小路的面积是64平方米,那么花坛<阴影部分>的面积是多少平方米？5一个长方形的宽去掉3厘米而长不变,其面积比原来减少30平方厘米；如果长增加6厘米,而宽不变,其面积比原来增加42平方厘米。那么原长方形的面积是多少平方厘米？6个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？7某次会议有30人参加,如果见面时每两人都要握一次手,那么这些人总共要握手多少次？8幼儿园分饼干,如果每人分3块,那么余10块；如果每人分4块,那么还有2个小朋友没分到。一共有多少块饼干？9甲、乙、丙三个好朋友都喜欢集邮。如果甲把自己的邮票给乙、丙一些,使他们的邮票各增加一倍；乙再把自己的邮票给甲、丙一些,使他们的邮票各增加一倍；丙再把自己的邮票给甲、乙一些,使他们的邮票各增加一倍。这样一样,三个人的邮票正好都是80枚。原来甲有邮票多少枚？10一列以匀速行驶的火车,经过一根电线杆用了10秒,通过一座600米长的铁桥用了40秒,这列火车全长多少米？1110名同学的考试成绩<满分为100分>按分数排列名次,前5名平均得90分,后5名的平均分数比10人的平均分数少6分,这10名同学的平均分数是多少分？121999年12月澳门回到了伟大祖国的怀抱。在下面的算式中,"庆"、"澳"、"门"、"归"四个汉字各代表一个数字,那么"庆"是、"澳"是、"门"是、"归"是。澳门澳门归庆澳门归 1 9 9 9第八讲 等差数列上学期我们已经对等差数列有了一些初步的了解。比如,等差数列 a1,a2,a3,an 的和Sn<a1an>×n÷2；如果公差是d,那么从ap到aq共有<aqap>÷d1项等。这一讲我们就来研究一些有关等差数列的比较复杂的问题。例 1从1,2,3,100这100个数中,每次取两个数,使其和大于100,共有多少种取法？解：较小数取1时,较大数可以取100,共1种取法；较小数取2时,较大数可以取99、100,共2种取法；较小数取3时,较大数可以取98、99、100,共3种取法；较小数取50时,较大数可以取51、52、100,共50种取法；较小数取51时,较大数可以取52、53、100,共49种取法；较小数取52时,较大数可以取53、54、100,共48种取法；较小数取99时,较大数可以取100,共1种取法。总共有<12349>×250<149>×49÷2×2502500<种>取法。例2计算：<101103399><9193389>。解：第一个等差数列共有<399101>÷21150项,第二个等差数列共有<38991>÷21150项。方法一：原式<101399>×150÷2<91389>×150÷21500。方法二：原式<10191><10393><399389>10×1501500。例3计算：1000999998997996995106105104103102101。解法一：观察发现：由于减数"998、995、104、101"的存在,使得加数失去了连续性,不能运用等差数列的求和公式。为了解决这个问题,添上所缺的加数"998、995、104、101",同时把原有的减数扩大2倍,因为一共有<1000101>1900个加数,<998101>÷31300个减数,于是：原式<1000999998102101><998995992104101>×2<1000101>×900÷2<998101>×300÷2×2165750。解法二：先对减号两边的进行计算,一共得到300个1,同时,原有的900个加数减少到300个<参看解法一>于是：原式10001997110611031<1000103>×300÷21×300165750。例4计算123246369100200300。解：原式<123><246><369><100200300>1×<123>2×<123>3×<123>100×<123><123100>×<123><1100>×100÷2×630300。练习八1计算：<1351997><2461996>？2计算：13467910121366676970？3计算：2481014162022929498100？4计算：<19941992199042><13519911993>？5计算<20041><20032><20023><10031002>。<XX省第九届小学数学邀请赛试题>6在1000到2000之间,所有个位数字是7的自然数之和是多少？7小明从一月一日开始写大字,第一天写了4个,以后每天比前一天多写相同数量的大字,结果全月共写了589个大字。问：小明每天比前一天多写几个大字？8袋子里共有415个小球,第一次从袋子里取出1个小球,第二次从袋子里取出3个小球,第三次从袋子里取出5个小球,第四次从袋子里取出7个小球依次地取球,如果剩下的球已不夠某次取了,则将余下的小球留在袋中。那么,袋子中留下多少个小球？<20XXXX省小学数学竞赛试题>9学校进行乒乓球选拔赛,每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场,一共进行了78场比赛。问：有多少人参加了选拔赛？10有一列数：1,1993,1992,1,1991,1990,1,从第三个数起,每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差。求从第一个数起到第1993个数的和。11计算100×9595×9090×8585×8080×7575×7020×1515×1010×5。12观察下面的数阵,第20行所有的数的和是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25第九讲 速算与巧算<一>例1用简便方法计算134859348591485913859134591348913485。<XX省第九届小学数学邀请赛试题>解：观察发现：各个数位上的数字都是"1、3、4、5、8、9",所以134859348591485913859134591348913485111111×<134589>111111×303333330。例2计算：99999×7777833333×66666？解：观察发现：66666含有因数3,如果把66666分解成3×22222,再根据乘法结合律,让3与前一个因数33333相乘,得到99999,这样一来,与前面的积就有相同的因数,于是可以用乘法分配律进行简算。99999×7777833333×6666699999×7777833333×3×2222299999×7777833333×3×2222299999×7777899999×2222299999×<7777822222>99999×1000009999900000。例3计算200420032002200120001999654321。<XX省第九届小学数学邀请赛试题>解：观察发现：<1>算式中的数是从2004递减到1的连续自然数；<2>算式是由3个加数、3个减数、3个加数、3个减数组成。所以,可以分组计算： 200420032002200120001999654321<200420032002200120001999><654321>9×<2004÷6>3006。例4计算100×10199×10098×9997×9896×9795×962×31×2。<20XXXX省小学数学竞赛试题>解：100×10199×10098×9997×9896×9795×962×31×2<100×10199×100><98×9997×98><96×9795×96><2×31×2><10199>×100<9997>×98<9795>×96<31>×22×<10098962>2×<1002>×50÷22×25505100。练习九1计算5683225683325688325668325。20XXXX省小学数学竞赛试题2计算：<1> 9999999999？<2> 199999919999919999199919919。XX省小学数学竞赛题3计算：379000÷125÷8？4计算：<3899×9961>÷<396÷36>？5计算：<1> 12345679×810？<2> 8888888×7777777÷1111111÷1111111？6计算：<1> 22222×22222？ <2> 33333×33333？7计算：<1> 99999×2222233333×33334？<2> 66666×1000166666×6666？<3> 111111×999999999999×777777？<4> 353353×352352352×353。<XX省第九届小学数学邀请赛试题>8计算：2375×39879207×60133987×6832？9计算：77×13255×999510？10计算：2000×19991999×19981998×19971997×19962×1？11. 计算：<1×2×3×4××9×10×11>÷<27×25×24×22>。<20XX全国奥赛预赛题>12计算<2823102313023133023133302>÷47。<20XXXX省小学数学竞赛试题>第十讲 速算与巧算<二>例1计算181440÷3÷4÷5÷6÷7÷8。<20XXXX省小学数学竞赛试题>解：根据运算性质：一个数连续除以几个数,等于这个数除以那几个除数的积。181440÷3÷4÷5÷6÷7÷8181440÷<3×5×6>÷4÷7÷8181440÷90÷4÷7÷82016÷4÷7÷8504÷7÷872÷89。例2计算23233232343443434545545456566565676776767878878789899898。<20XXXX省小学数学竞赛试题>解：观察发现：有一些加数可以凑成9999,另一些加数比较接近10000,于是：23233232343443434545545456566565676776767878878789899898<23237676><32326767><34346565><43435656><45455454>78788787898998989999×540000<212212131011102>499954000044485000040000445390000445285547。例3计算2004400220055002200660022007700220088002。<20XXXX省小学数学竞赛试题>解：观察发现：如果从2004中取出2移给4002,从2005中取出3移给5002,从2006中取出4移给6002,从2007中取出5移给7002,从2008中取出6移给8002,那么,所有的加数就都含有因数1001,于是：200440022005500220066002200770022008800220024004200250052002600620022007200280081001×<2425262728>1001×<2×545678>1001×4040040。例4计算19981999×1999199819981998×19991999？解：观察发现,如果把19981999变成199819981,把19991999变成199919981,就有可能找到两个积的相同部分。于是19981999×1999199819981998×19991999<199819981>×1999199819981998×<199919981> 19981998×19991998+19991998-19981998×19991998+19981998199919981998199810000。练习十1计算：<1> 516418734825582266484175。<20XXXX省小学数学竞赛试题> <2> 71868671671818673282132981332814。<20XXXX省小学数学竞赛试题>2计算：<1> 232232233222332223332222333。<20XXXX省小学数学竞赛试题><2> 1111211221123211233211234321。<20XXXX省小学数学竞赛试题>3计算：<1> 161616×5994。<20XXXX省小学数学竞赛试题 <2> 37037037×594。<20XXXX省小学数学竞赛试题>4计算87840÷2÷3÷4÷5÷6。<20XXXX省小学数学竞赛试题>5计算919282837273636453544445343525261516。<20XXXX省小学数学竞赛试题>6计算：<1> 2008×42007×52006×62005×72004×8。<20XXXX省小学数学竞赛试题><2> 2004×42003×32002×2200119991998×21997×31996×4。<20XXXX省小学数学竞赛试题>7计算<10×12×24×36>÷<12×24×3612×36×4812×36×7224×36×48>。<XX省第九届小学数学邀请赛试题>8计算：<1> <5678967895789568956795678>÷7。<陈省身小学数学邀请赛试题><2> 2003×2001÷1112003×73÷37。<陈省身小学数学邀请赛试题>9计算：<1> 1991×× <2> 20022003×2003200220022002×20032003。<陈省身小学数学邀请赛试题> <3> 20042005×2005200420042004×20052005。<XX省第九届小学数学邀请赛试题>10计算20032002200120001999199819971996321。<陈省身小学数学邀请赛试题>11计算2004200320022001200019991998199712111098765。<XX省第九届小学数学邀请赛试题>12计算200421920×20041924×20001928×19961932×19922004×1920。<20XXXX省小学数学竞赛试题>第十一讲 速算与巧算<三>例1计算66666×397。<20XXXX省小学数学竞