2017-2018学年高中数学 第一章 三角函数 5 第2课时 正弦函数的性质教学案 北师大版必修4

第2课时正弦函数的性质核心必知正弦函数ysin x的性质函数ysin x定义域R值域1,1奇偶性奇函数周期T2单调性在(kZ)上是增加的；在(kZ)上是减少的最值当x2k(kZ)时，ymax1；当x2k(kZ)时，ymin1 问题思考1“正弦函数在第一象限是增加的”这一说法正确吗？为什么？提示：不正确事实上，“第一象限”是由所有的区间(kZ)构成的，在这样若干个区间所构成的集合的并集内，显然函数值不是随着x值的增加而增加的2正弦曲线有对称轴和对称中心吗？分别有多少个？提示：正弦函数曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形函数ysin x，(xR)的对称轴是xk(kZ)，有无数条；对称中心是点(k，0)(kZ)，有无穷多个讲一讲1求函数ylg的定义域尝试解答要使函数ylg有意义，则sin x>0，即sin x>.作出正弦函数ysin x，x0，2的图像如图，由图像可以得到满足条件的x的集合为，kZ.函数ylg的定义域为，kZ.1求由三角函数参与构成的函数定义域，对于自变量必须满足：(1)使三角函数有意义(2)分式形式的分母不等于零(3)偶次根式的被开方数不小于零(4)对数的真数大于0.2求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式(组)，这时可利用三角函数的图像直观地求得解集练一练1求函数y的定义域解：要使函数有意义，必须使3sin x0.即sin x0，(2k1)x2k，kZ.函数的定义域为(2k1)，2k，kZ.讲一讲2求下列函数的值域(1)y2sin x；(2)ylg sin x；(3)ysin2x4sin x5，x.尝试解答(1)正弦函数ysin x的值域为1，1所以函数y2sin x的值域为1，3(2)0<sin x1，ylg sin x0.函数ylgsin x的值域为(，0(3)令tsin x，由x，得0t1.yt24t5(t2)21.当t0，即sin x0时，最大值为5，当t1，即sin x1时，最小值为2.该函数的值域是2，51对于形如f(x)asin xb的函数的值域可以利用正弦函数图像或有界性直接解决2对于形如f(x)Asin2xBsin xC的函数，可用配方法求其值域，注意当x有具体限制范围时，需要考虑sin x的范围练一练2. 求函数ya2sin x(aR)取得最大值、最小值时x的集合解：当sin x1时，y最小，此时x2k，kZ，当sin x1时，y最大，此时x2k，kZ，所以，函数ya2sin x取得最大值时x的集合为，取得最小值时x的集合为.讲一讲3判断下列函数的奇偶性(1)f(x)xsin(x)；(2)f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)尝试解答(1)函数的定义域为R，关于原点对称f(x)xsin(x)xsin x，f(x)(x)sin(x)xsin xf(x)f(x)是偶函数(2)由1<sin x<1，得函数定义域为x|xR，且xk，kZ，关于原点对称又f(x)lg1sin(x)lg1sin(x)lg(1sin x)lg(1sin x)f(x)，函数f(x)是奇函数练一练3判断函数y的奇偶性解：函数应满足1sin x0，函数的定义域为.函数的定义域不关于原点对称，该函数既不是奇函数也不是偶函数讲一讲4求下列函数的单调增区间(1)y2sin(x)；(2)yabsin x(a，bR且b0)尝试解答(1)y2sin(x)2sin x，函数y2sin(x)的递增区间就是函数u2sinx的递减区间函数y2sin(x)的递增区间为(kZ)(2)ysin x的单调递增区间为(kZ)，减区间为(kZ)当b>0时，yabsin x的单调递增区间为(kZ)；当b<0时，yabsin x的单调增区间为(kZ)求形如yabsin x的函数的单调区间，只需考察ysin x的单调区间，当b>0时，yabsin x与ysin x的单调区间相同，当b<0时，则ysin x的单调递增(减)区间是yabsin x的递减(增)区间练一练4求函数y2sin x的单调区间解：y2sin x，所求函数的单调性与ysin x的单调性正好相反所求函数的单调增区间是，(kZ)单调减区间是，(kZ).求函数ysin2x4sin x1的值域错解ysin2x4sin x1(sin x2)25，y5.此函数的值域为5，)错因在探讨y(sin x2)25的值域时，误认为sin xR，而忽略了正弦函数的有界性，即|sin x|1.这也是此类问题的常见错误正解ysin2x4sin x1(sin x2)25，且1sin x1当sin x1时，函数的最大值是4.当sin x1时，函数的最小值是4.此函数的值域为4，41正弦函数ysin x，xR的图像的一条对称轴是()Ay轴 Bx轴C直线x D直线x答案：C2函数f(x)1sin x的最小正周期是()A. B C. D2答案：D3(天津高考)函数f(x)sin在区间上的最小值为()A1 B C. D0解析：选B由已知x，得2x，所以sin，故函数f(x)sin在区间上的最小值为.4函数f(x)sin2x1的奇偶性是_解析：f(x)sin2(x)1sin2x1f(x)f(x)是偶函数答案：偶函数 5设函数ysin(x)取得最大值的x的集合是_解析：当且仅当x2k，kZ，即x2k，kZ时，ysin(x)取最大值故x的集合为.答案： x|x2k，kZ6比较下列各组数的大小(1)sin 2 012°和cos 160°；(2)sin 和cos ；解：(1)sin 2 012°sin(360°×5212°)sin 212°sin(180°32°)sin 32°.cos 160°cos(180°20°)cos 20°sin 70°.sin 32°<sin 70°，sin 32°>sin 70°，即sin 2 012°>cos 160°.(2)cos sin ，又<<<，ysin x在上是减少的，sin >sincos ，即sin >cos .一、选择题1函数y4sin x，x，的单调性是()A在，0上是增加的，在0，上是减少的B在上是增加的，在和上是减少的C在0，上是增加的，在，0上是减少的D在上是增加的，在上是减少的解析：选B由正弦函数y4sin x，x，的图像，可知它在上是增加的，在和上是减少的2函数y|sin x|的最小正周期是()A2 B C. D.解析：选B画出函数y|sin x|的图像，易知函数y|sin x|的最小正周期是.3下列关系式中正确的是()Asin 11°cos 10°sin 168°Bsin 168°sin 11°cos 10°Csin 11°sin 168°cos 10°Dsin 168°cos 10°sin 11°解析：选Csin 168°sin(180°12°)sin 12°，cos 10°sin(90°10°)sin 80°，又ysin x在上是增加的，sin 11°sin 12°sin 80°，即sin 11°sin 168°cos 10°.4定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数若f(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)sin x，则f的值为()A B. C D.解析：选Df(x)的最小正周期为，f()f()f()sin.二、填空题5yabsin x的最大值是，最小值是，则a_，b_解析：由得a，b±1.答案：±16函数y的定义域是_解析：要使有意义，则有1sin x0.x2k，kZ答案：x|x2k，kZ7函数f(x)x3sin x1，(xR)若f(a)2，则f(a)的值为_解析：f(a)2，a3sin a12.a3sin a1.f(a)(a)3sin (a)1(a3sin a)1110.答案：08函数f(x)3sin xx的零点个数为_解析：由f(x)0得sin x画出ysin x和y的图像如右图，可知有3个交点，则f(x)3sin xx有3个零点答案：3三、解答题9求函数y2sin(x)，x的值域解：x，x.则当x，即x时，y最大为2，当x即x时，y最小为1.函数y2sin(x)，x的值域是1，210已知函数ysin x|sin x|.(1)画出这个函数的图像；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；(3)指出这个函数的单调增区间解：(1)ysin x|sin x|其图像如图所示(2)由图像知函数是周期函数，且函数的最小正周期是2.(3)由图像知函数的单调增区间为(kZ)