李正元高等数学强化讲义全

第一讲 极限、无穷小与连续性 一、知识网络图 二、重点考核点 这部分的重点是：掌握求极限的各种方法掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法判断函数是否连续及确定间断点的类型本质上是求极限复合函数、分段函数及函数记号的运算§1 极限的重要性质 1不等式性质 设.且AB.则存在自然数N.使得当nN时有xnyn 设.且存在自然数N.当nN时有xnyn.则AB 作为上述性质的推论.有如下的保号性质：设.且A0.则存在自然数N.使得当nN时有xn0设.且存在自然数N.当nN时有xn0.则A0 对各种函数极限有类似的性质例如：设.且AB.则存在0.使得当有fxgx设.且存在0.使得当0xx0时fxgx.则AB 2有界或局部有界性性质 设.则数列xn有界.即存在M0.使得xnMn = 1.2.3. 设则函数fx在x = x0的某空心邻域中有界.即存在0和M0.使得当0xx0时有fxM对其他类型的函数极限也有类似的结论§2 求极限的方法 1极限的四则运算法则及其推广 设.则 只要设存在或是无穷大量.上面的四则运算法则可以推广到除"".""."0·".""四种未定式以外的各种情形即： 1°设.则.又B0.则2°设.当xx0时局部有界.即.使得时.则 设.当xx0时gx局部有正下界.即$0.b0使得0x x0时gxb0.则 3°设.则.又$0使得0x x0时fxgx0.则 4°设.xx0时gx局部有界.则无穷小量与有界变量之积为无穷小 2幂指函数的极限及其推广 设 只要设存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除"1"."00”及"0”三种未定式以外的各种情形这是因为仅在这三个情况下是"0·"型未定式 1°设 = 00x时fx0.则 2°设 = A0.A1. = + .则 3°设 = + .则 例1 设分析 例2设an.bn.cn均为非负数列.且则必有 Aanbn对任意n成立 Bbncn对任意n成立C极限不存在 D不存在 用相消法求或型极限 例1求 解作恒等变形.分子、分母同乘例2求 解作恒等变形.分子、分母同除得 利用洛必达法则求极限 例1设fx在x = 0有连续导数.又求例2求例3求例4求例5若.则例6求 例7设a0.b0为常数且.则a.b = _分析型极限 因此a.b = 分别求左、右极限的情形.分别求的情形 例1设.求例2求利用函数极限求数列极限例1求例2求 解1 转化为求 解2用求指数型极限的一般方法转化为求等价无穷小因子替换.余下同前§3 无穷小和它的阶 1无穷小、极限、无穷大及其联系 1无穷小与无穷大的定义 2极限与无穷小.无穷小与无穷大的关系其中o1表示无穷小量 在同一个极限过程中.u是无穷小量u0Þ是无穷大量反之若u是无穷大量.则是无穷小量 2无穷小阶的概念 1定义 同一极限过程中.ax.bx为无穷小. 设 定义 设在同一极限过程中ax.bx均为无穷小.ax为基本无穷小.若存在正数k与常数使得 称bx是ax的k阶无穷小.特别有.称xx0时bx是xx0的k阶无穷小 2重要的等价无穷小x0时 sinx x.tanx x.1 + x x.ex1 x； ax1 xlna.arcsinx x.arctanx x；1 + xa1 ax.1cosx 3等价无穷小的重要性质 在同一个极限过程中 1°若a b.bgÞa g2°a bÛa = b + ob 3°在求""型与"0·"型极限过程中等价无穷小因子可以替换 例1 求例2设分析 由已知条件及又在x = 0某空心邻域fx0Þ.又3x1 xln3于是 例3 设xa时ax.bx分别是x a的n阶与m阶无穷小.又.则xa时 1axhx是x a的_阶无穷小 2axbx是x a的_阶无穷小 3nm时.ax±bx是x a的_阶无穷小 4nm时是x a的_阶无穷小 5k是正整数时.ak是x a的_阶无穷小以上结论容易按定义证明。例如.已知.Þfxgx是x a的n + m阶无穷小 例4设fx连续.xa时fx是x a的n阶无穷小.求证：是x a的n + 1阶无穷小 例5x0时.是x的_阶无穷小；是x的_阶无穷小；是x的_阶无穷小.是x的_阶无穷小 例6x0时.下列无穷小中 比其他三个的阶高. Ax2B1cosx C Dx tanx 例7当x0时.与比较是 的无穷小 A等价 B同阶非等价C高阶 D低阶§4 连续性及其判断 1连续性概念 1连续的定义： 函数fx满足.则称fx在点x = x0处连续；fx满足或.则称fx在x = x0处右或左连续 若fx在a.b内每一点连续.则称fx在a.b内连续；若fx在a.b内连续.且在x = a处右连续.在点x = b处左连续.则称fx在a.b上连续2单双侧连续性fx在x = x0处连续 Ûfx在x = x0处既左连续.又右连续 3间断点的分类： 设fx在点x = x0的某一空心邻域内有定义.且x0是fx的间断点 若fx在点x = x0处的左、右极限fx00与fx0 + 0存在并相等.但不等于函数值fx0或fx在x0无定义.则称点x0是可去间断点；若fx在点x = x0处的左、右极限fx00与fx0 + 0存在但不等.则称点x0是跳跃间断点：它们统称为第一类间断点 若fx在点x = x0处的左、右极限fx00与fx0 + 0至少有一个不存在.则称点x0为第二类间断点 2函数连续性与间断点类型的判断： 若fx为初等函数.则fx在其定义域区间D上连续.即当开区间a.bÌ D.则fx在a.b内连续；当闭区间c.dÌ D.则fx在c.d上连续若fx是非初等函数或不清楚它是否为初等函数.则用连续的定义和连续性运算法则四则运算.反函数运算与复合运算来判断当fx为分段函数时.在其分界点处则需按定义或分别判断左、右连续性 判断fx的间断点的类型.就是求极限 3有界闭区间a.b上连续函数的性质： 最大值和最小值定理：设fx在闭区间a.b上连续.则存在和Îa.b.使得ffxf.axb 有界性定理：设fx在闭区间a.b上连续.则存在M0.使得 fxM.axb 介值定理：设函数fx在闭区间a.b上连续.且fafb.则对fa与fb之间的任意一个数c.在a.b内至少存在一点.使得 f = c推论1零值定理：设fx在闭区间a.b上连续.且fafb0.则在a.b内至少存在一点.使得f = 0推论2：设fx在闭区间a.b上连续.且m和M分别是fx在a.b上最小值和最大值.若mM.则fx在a.b上的值域为m.M 例1 函数在下列哪个区间内有界 A1.0 B0.1 C1.2 D2.3 分析一这里有界只须考察.g<x是初等函数.它在定义域x1.x2上连续.有界闭区间上连续函数有界.1.0Ì定义域.g<x在1.0有界.选A 分析二设h<x定义在a.b上.若或.则h<x在a.b无界因.Þ在0.1.1.2.2.3均无界选A 例2设.讨论y = fgx的连续性.若有间断点并指出类型 分析与解法1先求fgx的表达式Þ 在.1.1.2.2.5.5. +.fg<x分别与初等函数相同.故连续x = 2或5时可添加等号.左、右连接起来.即左连续又右连续Þfg<x在x = 2或5连续x = 1时Þx = 1是fgx的第一类间断点跳跃间断点 分析与解法2 不必求出fgx的表达式g<x的表达式中.x = 2或5处可添加等号.左、右连接起来Þg<x在. +处处连续.u1时连续u = gx = 1Ûx = 1 因此.x1时由连续函数的复合函数是连续的Þfgx连续.x = 1时Þ x = 1是fgx的第一类间断点第二讲 一元函数微分学的概念、计算及简单应用 一、知识网络图 二、重点考核点 这部分的重点是导数与微分的定义、几何意义.讨论函数的可导性及导函数的连续性.特别是分段函数.可导与连续的关系按定义或微分法则求各种类型函数的一、二阶导数或微分包括：初等函数.幂指数函数.反函数.隐函数.变限积分函数.参数式.分段函数及带抽象函数记号的复合函数.求n阶导数表达式求平面曲线的切线与法线.描述某些物理量的变化率导数在经济领域的应用如"弹性"."边际"等只对数三.数四§1 一元函数微分学中的基本概念及其联系 1可导与可微的定义及其联系2几何意义与力学意义是曲线y= fx在点x0.f<x0处切线的斜率是相应于Dx该切线上纵坐标的增量 质点作直线运动.t时刻质点的坐标为x = x<t.是t = t0时刻的速度 3单侧导数与双侧导数fx在x = x0可导均存在且相等 此时 例1 说明下列事实的几何意义12f<x>.g<x>在x= x0处有连续二阶导数.3f<x在x = x0处存在.但.4y = f<x在x = x0处连续且例2.d0为某常数设均存在且.求证：. 例3请回答下列问题： 1设y = fx在x = x0可导.相应于Dx有Dy= fx0+ Dxfx0.Dx0时它们均是无穷小试比较下列无穷小：Dy是Dx的_无穷小；Dydy是Dx的_无穷小；时Dy与dy是_无穷小2du与Du是否相等？ 例4设fx连续.试讨论的存在性与的存在性之间的关系 1考察下列两个函数图形.由导数的几何意义来分析存在与存在之间的关系 2fx00时.求证：存在Û存在 证明 因0.由连续性.Þ$d0.使得当xx0d时有fx0或fx0.于是在x0该邻域内必有fx= f<x或fx= f<x之一成立.故在点x = x0处两个函数的可导性是等价的 3fx0 = 0时.求证：存在 证明 设fx0 = 0存在综合可得.题目中结论2和3成立也可以概括为：点x = x0是可导函数的绝对值函数的不可导点的充分必要条件是它使得fx0= 0但 评注 论证中用到显然的事实： 例5 设函数f<x连续.且.则存在d 0.使得 A在0.d内单调增加 B在d.0内单调减少C对任意的xÎ0.d有f0D对任意的xÎd.0有f0§2 一元函数求导法 反函数求导法： 设fx在区间Ix可导.值域区间为Iy.则它的反函数x =jy在Iy可导且 例 设y =yx满足.求它的反函数的二阶导数 解 变限积分求导法： 设函数fx在a.b上连续.则在a.b上可导.且.axb 设在c.d上连续.当xÎ a.b时函数ux.vx可导.且的值域不超出c.d.则在a.b上可导.且.axb 例1 设fx在.+ 连续且.求 例2设fx在.+连续.又.求 例3设.求 例4设fx为连续函数.则等于 A2f2 Bf2 Cf2 D0 分析一先用分部积分法将Ft化为定积分Þ选B 分析二转化为可以用变限积分求导公式的情形Þ选B分析三交换积分顺序化为定积分 分析四特殊选取法取fx= 1满足条件Þ选B 隐函数求导法：例1y = yx由所确定.则 例2y = yx由下列方程确定.求 1x + arctany = y； 解对x求导. 解出再对x求导得 2.其中 解对x求导得 利用方程化简得再将的方程对x求导得 解出.并代入表达式Þ若先取对数得lnx + fy=y 然后再求导.可简化计算例3设y = yx由方程yxey = 1确定.求的值 解原方程中令x = 0 Þy0=1将方程对x求导得 令将上述方程两边再对x求导得 分段函数求导法：例1设fx= x2x.则使处处存在的最高阶数n为_ 例2设 A不连续 B连续.但不可导 C可导但导函数不连续 D可导且导函数连续 分析先按定义讨论fx在x = 0的可导性问题Þ进一步考察在x = 0的连续性 当x0时.由此可知.在x = 0不连续 因此.选C 例3求常数a.b使函数处处可导.并求出导数 分析与求解对常数a.b.x3时fx均可导现要确定a.b使存在fx在x = 3必须连续且.由这两个条件求出a与b由 fx在x = 3连续.a.b满足 f3 + 0= f30= f3即 3a + b =9在此条件下.Þ即a = 6 代入3a + b = 9 Þb = 9 因此.仅当a = 6.b = 9时 fx处处可导且 评注求解此类问题常犯以下错误 1°没说明对常数a.b.x3时fx均可导 2°先由x = 3处可导求出a值.再由连续性求出b值请看以下错误表达："因 由得a = 6再由连续性 f3 + 0 = f30即 9 = 3a + b.b=9" 错误在于当3a + b9时不存在.也不可能有f3 + 0= f30不能保证fx在x = 3连续仅当f3 + 0 = f30= f3时才能保证x = 3连续 必须先由连续性定出3a + b = 9.在此条件下就可得 高阶导数与n阶导数的求法 常见的五个函数的n阶导数公式：§3 一元函数导数微分概念的简单应用【例1】 设,在点处的切线与轴的交点为.则 例2若周期为4的函数fx可导且则曲线y = fx在点5.f5处的切线斜率k = _ 例3设y = fx由方程e2x+ycosxy= e1所确定.则曲线y = fx在点0.1处的法线方程为_ 例4已知曲线的极坐标方程为 = 2sin.点M0的极坐标为1.则点M0处的切线的直角坐标方程为_分析一数学一.二点M0在上.直角坐标为：的参数方程为.在M0点处的切线的斜率：在M0处的切线方程 分析二的方程可化为r2 =.于是的隐式方程为x2+ y2 = 2y由隐函数求导法.得 .于是切线方程为第三讲 一元函数积分学 一、知识网络图 二、重点考核点 这部分的重点是：不定积分、原函数及定积分概念.特别是定积分的主要性质两个基本公式：牛顿莱布尼兹公式.变限积分及其导数公式熟记基本积分表.掌握分项积分法、分段积分法、换元积分法和分部积分法计算各类积分反常积分敛散性概念与计算定积分的应用§1 一元函数积分学的基本概念与基本定理 1原函数与不定积分的概念及性质： 1定义 若Fx的导函数在某区间上成立.则称Fx是fx在该区间上的一个原函数：fx的全体原函数称为fx的不定积分.记为 2原函数与不定积分的关系 若已知Fx是fx的一个原函数.则 其中C是任意常数 3求不定积分与求导是互为逆运算的关系.即 其中C也是任意常数 4不定积分的基本性质： 2定积分的概念与性质： 1定义设.若对任何存在.则称fx在a.b上可积.并称此极限值为fx在a.b上的定积分.记为 定积分的值与积分变量的名称无关.即把积分变量x换为t或u等其他字母时.有 另外.约定 2可积性条件 可积的必要条件：若fx在a.b上可积.则fx在a.b上有界 可积函数类可积的充分但非必要的条件：1°fx在a.b上连续.则fx在a.b上可积；2°fx在a.b上有界且仅有有限个间断点.则fx在a.b上可积 3定积分的几何意义： 设fx在a.b上连续.则表示界于x轴、曲线y = fx以及直线x = a.x =b 之间的平面图形面积的代数和.其中在x轴上方部分取正号.在x轴下方部分取负号 特别.若fx在a.b上连续且非负.则表示x轴.曲线y=fx以及直线x = a.x = b围成的曲边梯形的面积 4定积分有以下性质： 1°线性性质：若fx.gx在a.b上可积.且A、B为两个常数.则Afx+ Bgx也在a.b上可积.且 2°对积分区间的可加性：若fx在由a、b、c三数构成的最大区间上可积.则 3°改变有限个点上的函数值不改变可积性与积分值 4°比较性质：若fx.gx在a.b上可积.且fxgx在a.b上成立.则 进一步又有：若fx.gx在a.b上连续.且fxgx.fxgx在a.b上成立.则 若fx在a.b可积.则fx|在a.b可积且 5°积分中值定理：若fx在a.b上连续.则存在a.b.使得 3变限积分.原函数存在定理.牛顿莱布尼兹公式： 1变限积分的连续性：若函数fx在a.b上可积.则函数在a.b上连续 2变限积分的可导性.原函数存在定理：若函数fx在a.b上连续.则函数就是fx在a.b上的一个原函数.即"xÎa.b 3不定积分与变限积分的关系由原函数存在定理可得若fx在a.b上连续.则不定积分 .其中x0Îa.b为一个定值.C为任意常数 4牛顿莱布尼兹公式：设在上连续.是在上的任一原函数.则这个公式又称微积分基本公式 推广形式：设函数fx在a.b上连续.Fx是fx在a.b内的一个原函数.又极限Fa + 0和Fb0存在.则 5初等函数的原函数 4周期函数与奇偶函数的积分性质： 1周期函数的积分性质： 设fx在.+ 连续.以T为周期.则1°a为任意实数 2° 3°即fx的全体原函数为T周期的证明1° 证法1证法2.其中 代入上式得。 此种证法不必假定fx连续.只须假定fx在0.T可积> 2° 3°只须注意 例08.数三.数四设fx是周期为2的连续函数. 证明对任意的实数t.有； 证明Gx = 是周期为2的周期函数。分析与证明 它是结论1°的特例.a = 2.见证明1° 由题的结论.Þ Gx = 由于对x.Gx + 2Gx= = = ÞGx是周期为2的周期函数 2奇偶函数的积分性质： 设fx在a.a连续.且为奇函数或偶函数 1° 2°令 3°若fx为奇函数.则在a.a上fx的全体原函数为偶函数 若fx为偶函数.则在a.a上fx只有惟一的一个原函数为奇函数 证明2°设fx为奇函数证法1考察Îa.a ÞÞFx=FxxÎa.a.即Fx为偶函数证法2xÎa.a.即Fx为偶函数此种证法只须假设fx在a.a可积 3°只须注意2°的结论 例1 例2.且f1 = 0.则fx = _ 例3设fx的导数是sinx.则fx的原函数是_ 例4设fx连续.fx = x + 2.则fx = _ 例5下列命题中有一个正确的是_ A设fx在a.b可积.fx0.0.则0 B设fx在a.b可积. Ìa.b.则 C设在a.b可积.则fx在a.b可积 D设f<x在a.b可积.g<x在a.b不可积.则f<x+ g<x在a.b不可积 分析1fx在a.b可积.g<x在a.b不可积Þf<x+ g<x在a.b不可积反证法若不然.则f<x+ g<x在a.b可积.由线性性质Þgxfx+ gxfx在a.b可积.得矛盾.选D分析2举例说明A.B.C不正确由A的条件只能得0如.x0Îa.bÞfx0.0xÎa.b.但 = 0A不正确 关于B.请看右图.由定积分的几何意义知0.0.B不正确 这里.Ìa.b.但 关于C.是fx与的可积性的关系fx在a.b可积在a.b可积 如 = 1在a.b可积.但fx在a.b不可积.C不正确.因此选D 例判断积分值的大小： 例7把积分值 按大小排序.其中fx在a.b上满足：0.0.0 例8设则xA为正数 B为负数 C为0D不为常数 例9设gx = 则g<x在区间0.2内 A无界 B递减 C不连续 D连续 分析这是讨论变限积分的性质已知结论可以用：若fx在a.b可积.则g<x在a.b连续.这里fx在0.2可积有界.只有一个间断点.则在0.2连续选D 5利用定积分求某些n项和式的极限 例10§2 基本积分表与积分计算法则§3积分计算技巧例1求【例2】 求ba【例3】 求.n为自然数例4对实数.求解例5求解§4反常<广义>积分1基本概念1若.称收敛.并记否则称发散若.称收敛.并记否则称发散若.均收敛.称收敛且=+否则称发散2设fx在a.b内闭子区间可积.在a点右邻域无界.若极限.称收敛.并记=,否则称发散这里x=a称为瑕点若b为瑕点.类似定义设fx在a.cc.b内闭子区间可积.在x=c邻域无界若.均收敛.称收敛且=+ 否则称发散3几个重要的反常积分1°a0. 2°a1. 3° 4°5°.均发散 例1反常积分 发散ABCD 例2下列命题中正确的有_个1设fx在.连续为奇函数.则02设fx在.连续.存在.则收敛3若与均发散.则不能确定是否收敛4若均发散.则不能确定是否收敛 分析要逐一分析1fx在.连续.收敛例如fx=sinx在.连续.为奇函数.但发散1是错的2fx在.连续.收敛存在 如fx=sinx.=0.但发散 故2是错误的3正如两个函数的极限均不存在.但它们相加后的极限可能存在.也可能不存在一样.若.均发散.则不能确定是否收敛如fx=.均发散.但收敛 若取gx=发散因此3是正确的4按敛散性的定义.仅当.均收敛时.才是收敛的.否则为发散因此.均发散时是发散的4也不正确 共有1个是正确的 2广义积分的计算例3<1>求<2>求<3>求 <4>求§5一元函数积分学的应用 1一元函数积分学的几何应用 例1曲线1y=1x20x1.x轴和y轴所围区域被L2y=ax2a0分成面积相等的两部分.确定a的值 解先求1与2的交点x0.y0：被分成的两部分面积分别记为.由例2求由x2+y22x与yx确定的平面图形绕直线x=2旋转而成的旋转体的体积 解一该平面图形可表示为. 在此平面图形绕直线x=2旋转而成的旋转体中纵坐标满足的一层形状为圆环形薄片.其外半径为.内半径为.从而.这个圆环形薄片的体积为 故旋转体的体积为 解二该平面图形可表为作垂直分割.相应的小竖条绕直线x=2旋转而成的体积微元 y x 于是.整个旋转体的体积例3求曲线的全长a0只对数一.数二解以6p为周期在0.6p中.r00.3p.于是.曲线的全长曲线C是光滑.选定一端点作为度量弧S的基点。曲线C上每一点M对应有弧长S.点M 93 / 93处切线的倾角为.称K = 为平面曲线C在点M的曲率.为C点M的曲率半径.过点M作曲线C的法线.在曲线凹的一侧.在法线上取一点D.便.以D为圆心.为半径作一个圆.称它为曲线C在点M处的曲率圆.圆心D称为曲率中心。设曲线C的直角坐标方程为y = yx.yx二阶可导.则曲率 K = 曲线C上点的曲率中心a.b是 a = xb = y + 2.一元函数积分学的物理应用数一.数二例4设在很大的池中放有两种液体.上层是油.比重1.厚度为h1.下层是水.厚度为h22R.现有半径为R.比重1的球沉入池底.如将球从液体中取出需作多少功？设移动过程中两种液体厚度均不变只对数一.数二 解设球心为坐标原点.x轴正向垂直向上.建立坐标系如图.可把球上的一个薄片看成一个质点.当把球从池底完全取出液体的过程中.该薄片在水中移动的距离是h2Rx.这时外力的大小是重力减去浮力即.该薄片在油中移动的距离是h1.这时外力的大小是；该薄片在空气中移动的距离是Rx.这时外力的大小是.故出取出该薄片的过程中需作功：从R到R积分dW.并利用奇函数在对称区间上积分为零的性质和球体积公式可得到将球从液体中取出需作的功：平面曲线的质心形心公式数一.数二：设质量均匀分布的平面曲线.其线密度为常数.参数方程有连续的导数.则的质心: 平面图形的质心形心公式数一.数二： 设有平面图形：axb.gxyfx.其中fx.gx在a.b连续.质量均匀分布.面密度为常数.则它的质心；. 例5数一.数二质量均匀分布的平面光滑曲线.全长l.以A点作为计算弧长的起点.取弧长s为自变量.参数方程为x=xs.y=ys0sl写出的质心的积分表达式.在x轴上方.证明绕x轴旋转一周产生的旋转体的侧面积等于曲线的质心绕x轴旋转产生的圆周之长乘以曲线的弧长l求圆周绕x轴旋转一周所生成的圆环体的侧面积A解用微元法可导出的质心的表达式.由题得 等式右端即绕x轴旋转一周产生的旋转体的侧面积.左端正是的质心绕x轴旋转产生的圆周之长与l之积.因此结论成立由题.又质心0.a.圆周长为.于是圆环体的侧面积 §6积分等式与不等式的证明 例1设fx在a.b有二阶连续导数.求证明： 证用分部积分法 例20ab.fx在a.b连续.并满足：.求证： 证用换元积分法令.故 于是 例3设fx.gx在a.b连续且满足, 求证： 分析与证明已知* 要证： 因 所以将*式从a到b积分即得证第四讲 一元函数微分学中的基本定理及其应用 一、知识网络图拐点 二、重点考核点这部分的重点是：罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理及其应用利用导数研究函数的性态函数为常数.单调性与极值点.凹凸性与拐点.渐近线最值问题及应用题利用微分学方法证明函数或导函数零点的存在性并确定个数.证明函数不等式等§1一元函数微分学中的基本定理中值定理 费马定理：设fx在x=x0取极值.存在 罗尔定理：设fx在a.b连续.在a.b可导.且 例1设fx在a.b可导且ax1x2b.则至少存在一点c使 成立 A B CD例2回答问题：设fx在a.b有连续的一阶导数且.又fx在a.b二阶可导.是否存在.为什么？ 例3设fx在x=x0连续.在除x0点可导且.求证：§2微分中值定理的应用利用导数研究函数的变化1函数为常数的条件与函数恒等式的证明2函数的单调性与极值点1函数的单调性的充要判别法 设fx在a.b连续.在a.b可导.则fx在a.b单调不减单调不增fx在a.b单调增加单调减少.2°在a.b的子区间上0 2函数取极值的充分判别法设fx在x=x0连续.在可导.当时00时00.则x=x0是fx的极大小值点 设=0.00.则x=x0是fx的极小大值点3函数的凹凸性与拐点 1函数的凹凸性的充要判别法 设fx在a.b连续.在a.b可导.fx在a.b是凸凹的： 曲线y=fxaxb在点处的切线除该点外总在曲线的上方下方在a.b是单调减增函数 设fx在a.b连续.在a.b二阶可导.则fx在a.b是凸凹的00.又在a.b的子区间上02拐点的充分判别法与必要条件 设fx在x0邻域连续.在x=x0两侧凹凸性相反.称x0.fx0是曲线y=fx的拐点 充分判别法1°设fx在x=x0邻域连续.在x=x0空心邻域二阶可导.且在x=x0两侧变号.则x0.fx0为y=fx的拐点 2°=0.则x0.fx0为y=fx的拐点 必要条件 设x0.fx0为y=fx的拐点.则=0或不存在 例1设fx在0.1上0.则 成立ABCD 例2设恒正可导且0.则当axb时有ABCD例3 设fx在x = 0某邻域连续且f0 = 0.则fx在x = 0处 A不可导 B可导且0C有极大值 D有极小值例4 设fx有二阶连续导数. = 0.则 成立 Af0不是fx的极值.0.f0不是y = fx的拐点 Bf0是fx的极大值 Cf0是fx的极小值D0.f0是y = fx的拐点例5 设fx满足且 = 0则Af0是fx的极大值 Bf0是fx的极小值C点0.f0是y = fx的拐点 Df0不是fx的极值.0.f0也不是y = fx的拐点.【例6】 设fx在a.b可导.求证：在a.b为减函数Ûfxfx0 + xx0.分析与证明1设在a.b为减函数.Þfxfx0 + = 0.其中由微分中值定理知.在x与x0之间.fxfx0 = 2设对.fxfx0 + 现对x2, x1.x2,有fx1fx2 + , fx2fx1 + 兩式相加得0Þ.即在a.b为减函数例7 求y = x + 6的单调性区间.极值点.凹凸性区间.拐点与渐近线 解1定义域x0.间断点x = 0 2 由 单调增区间：¥.2.3.+ ¥；单调减区间2.0.0.3 极大值点x = 2.极小值x = 3 凹区间：¥.凸区间.0.0. +¥.拐点. 3只有间断点x = 0.是垂直渐近线 还有斜渐近线y = x + 7§3 一元函数的最值问题例1求fx= x + 2cosx在0.上的最大值例2某公园在一高为a米的雕塑.其基高为b米.试问观赏者离基座底部多远处.使得其视线对塑像张成的夹角最大.设观赏者高为h米§4 微分中值定理的应用证明不等式【例1】 试证：x0.x1时x21lnxx12例2设fx在0.1可导.f0 = 0.01.求证：分析与证明1 引进辅助函数Fx = 要证：Fx0xÎ0.1 由条件知.fx在0.1单调上升.fxf0 = 0xÎ0.1 从而 与gx = 0xÎ0.1Þgx在0.1单调上升.gxg0 = 0xÎ0.1.Þ0xÎ0.1ÞFxF0=0xÎ0.1因此F10.即结论成立 分析与证明2要证1由条件知fx0.xÎ0.1 令Fx = 则由柯西中值定理 = 1对例3 设a1.n1.证明：§5 微分中值定理的应用讨论函数的零点【例1】 设有方程xn + nx1 = 0.其中n为正整数.证明此方程存在惟一正根xn.并求 例2设fx在a.b要导.0.求证：存在cÎa.b.例3设fx在a.b连续.在a.b二阶可导.并在a.b内曲线y = fx与弦相交.其中Aa.fa.Bb.fb.求证：存在a.b使得=0 例4设fx在¥.+ ¥可导. = A.求证：存在¥.+ ¥使得 = 0例5设fx.gx在a.b连续.在a.b可导且ga = 0.fb = 0.xa.b时fx0.gx0.求证：存在a.b使得例6设函数fx.gx在a.b上连续.在a.b内具有二阶导数且存在相等的最大值.fa = ga.fb = gb.证明：存在a.b.使得 分析与证明一令Fx = fxgxÞFx在a.b连续.在a.b可导.在题设条件下.要证存在a.b. = 0已知Fa = Fb = 0.只须由题设再证ca.b.Fc = 0（1） 由题设x1a.bM = .若x1 = x2.取c = x1 = x2.Fc = 0 若x1x2.不妨设x1x2.则Fx1 = fx1gx10.Fx2= fx2gx20Þcx1.x2.Fc = 02由Fa = Fc = Fb = 0.对Fx分别在a.c.c.b用罗尔定理Þ$x1Îa.c.$x2Îc.b.使得. 再对用罗尔定理Þ$xÎx1.x2Ìa.b.使得.即 分析与证明二利用以下两个已知的结论：1°设hx在a.b可导.若x在a.b恒不为零.则x0xÎa.b或x0xÎa.b 2°设hx在a.b连续.在a.b可导.若ha = hb = 0hx在a.b为凸凹函数.则hx00xÎa.b同前.由题设x1Îa.b. 令Fx = fxgx.若结论不对.则0或0xÎa.b 1若0xÎa.bÞFx在a.b为凹函数.又Fa = Fb = 0ÞFx0xÎa.b.但 Fx1 = fx1gx20.得矛盾 2若0xÎa.bÞFx在a.b为凹函数.又Fa = Fb = 0ÞFx0xÎa.b.但 Fx2 = fx2gx20.得矛盾 因此必$xÎa.b.使得 = 0.即 = 【例7】 设函数fx在闭区间0.1连续.在开区间0.1内可导.且f1 = 0求证：至少存在一点xÎ0.1.使得4fx + xx = 0 例8确定方程ex = ax2a0为常数的根的个数 解令fx = 12考察区间fx在单调上升.又.Þ对0.fx在有唯一零点3考察区间0.+ ¥fx在0.2单调下降.在2.+ 单调上升.又 于是.当f20即a时fx在0.+ ¥无零点当a =时fx在0.+ ¥有唯一零点即x = 2.当a 时fx在0.22. + 分别有唯一零点.即在0.+ ¥有且仅有二个零点§6用微分中值定理证明函数成导数存在某种特征点 例1已知函数fx在0.1连续.在0.1可导.且f0 = 0.f1 = 1证明 1存在Î0.1使得f = 1 2存在两个不同的点h.Î0.1 分析与证明 1即证在0.1$零点因Fx在0.1连续.又F0 = 1.F1 = 1异号.由连续函数零点存在性定理知.$Î0.1F = 0.即F = 12由上题的.分别在0.与.1对fx用拉格朗日中值定理得.$hÎ0.使得 $Î.1使得 两式相乘得 例2设fx在a.b连续.在a.b可导.0ab.求证：存在1.2Îa.b使得证第一步.将中值1.2分离到等式两端.得：第二步.根据上式两端的形式.将等式两端的表达式写成适当的中值定理所得结果注意.按柯西中值定理.存在1.2Îa.b分别使得 由此可得. 最后.利用题设条件验算原等式是否成立.与第二步所得结果比较.只需验证当0ab时成立三角恒等式为此.将以下两个和差化积公式. 做商即可.故.本题结论成立得证例308.数二证明积分中值定理.若函数fx在闭区间a.b上连续.则至少存在一点hÎa.b.使得若函数具有二阶导数.且满足证明至少存在一点Î1.3.使得0 分析与证明： fx在a.b连续.于是存在最大.最小值.mfxM xÎa.bÞmbam 由a.b上连续函数fx达到最大值与最小值定理取中间值定理Þ$hÎa.b.fh= 即 先由积分中值定理可知.$hÎ2.3.使得 现条件变成 21.2h.hÎ2.3要证：$xÎ1.3.x0 方法10：分别在1.2.2.h上同拉格朗日中值定理Þ$xÎ1.$x2Î2.h使得0.0再在x1.x2上对x用拉格朗日中值定理Þ$xÎx1.x21.3.0 证法20：用反证法证明 若不然Þ对xÎ1.3.0Þx在1.3单调不减若x在1.3恒正或恒负Þx在1.3单调与12.2h矛盾.于是$Î1.3. = 0.由x在1.3单调不减ÞÞx在1.单调不增.在.3单调不减 若2Î1.xÞ12与21矛盾 若2Î.hÞ2h与2h矛盾因此0xÎ1.3是不可能的.即$xÎ1.3.0证法3：用反证法证明 已知结论：若0xÎ1.h.连接点1.1.h.h的直线做方程是y = 1 + .则xgxxÎ1.h 证明如下：令Fx = xgx.则F1 = 0.Fh = 0.于是$Î1.h.又ÞÞFxF1 = 0 xÎ1.xFxFh = 0 xÎ.h 因此Fx0 xÎ1.h即 xgxxÎ1.h 但由21.2hÞ2g2这便矛盾了.因此$xÎ1.3.0微积分学在经济中的应用数三.数四一元函数微积分学中与经济有关的概念与公式1复利与贴现 设A1是现有本金.r是年利率.连续复利计息.At是t年末的未来值则有 复利公式：已知A0求At 贴现公式： 已知At求A02"边际"概念 在经济函数中.因变量对自变量的导数一般用"边际"概念Cx是总成本函数.则MC = 称为边际成本函数.其中x为产品的产量.x的经济意义是：x近似于产量为x时再生产一个单位产品所需增加的成本.这是因为Cx十1Cx = Cxx Rx是总收益函数x为销售量.则MR = x称为边际收益函数.它的经济意义是：x近似于销售量为x时再销售一个单位产品所增加或减少的收入Lx是总利润函数x为销售量.则MR = x称为边际利润.注意Lx = RxCx.x为销售量.只考察销售部分的成本.则3弹性 1弹性概念 设经济量x.y有函数关系y = fx.x在x0时.相对变化为 .引起函数y的相对变化.它们的比值为 为fx的平均弹性 极限值称为fx在x0的弹性.它反映出当充分小时fx在x0引起的"相对变化率"称为y = fx的弹性函数 2需求对价格的弹性设某商品的需求量Q是价格P的函数.称Q = QP为需求函数.则需求对价格的弹性为 Ep = .也记为也称之为需求弹性 关于需求弹性1一般说来Ep0QP是价格P的减函数.当我们比较商品需求弹性的大小时.是指弹性的绝对值2提价0或降价0对总收益的影响 由需求弹性可得出价格变动如何影响销售收益的结论 由需求弹性定义及收益与需求的关系得 PdQ = EpQdp.R = QPP求收益函数的微分得dR = QdP + PdQ = Q1 + EpdP用微分近似改变量得 Þ1低弹性时.0Þ0 降价使收益减少；1高弹性时.0Þ0 降价使收益增加： = 1时.提或降价对收益无明显影响 3收益对价格的弹性 4若干关系式1°将Q·P代入表达式得到2°将R = Q·P求导得两边都除Q得到 3°1°、2°两