专题16.2 二次根式的乘除--八年级数学人教版(下册)

第十六章 二次根式16.2 二次根式的乘除 1二次根式的乘法法则（1）一般地，二次根式的乘法法则是：语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数_在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件推广：，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数；乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用（2）二次根式乘法法则的逆用语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a0，b0实际上，a0，b0是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab0即可二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替使用推广：运用这个性质可以化简二次根式：如果一个二次根式的被开方数有的因数（式）是完全平方数（式），则可以利用性质及将这些因数（式）“开方”出来，从而将二次根式化简利用积的算术平方根的性质化简的步骤：将被开方数进行因数分解或因式分解；应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来2二次根式的除法法则（1）一般地，二次根式的除法法则是：语言叙述：二次根式相除，把被开方数_，根指数不变【注意】a0，b>0时，式子才成立，若a，b都是负数，虽然有意义，但在实数范围内无意义；若b=0，则号无意义学-科网如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数二次根式的运算结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式（2）二次根式除法法则的逆用语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根公式中的a，b表示的代数式必频满足a0，b>0，a0，b>0是限制公式右边的，对公式的左边，只要且即可利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为“（a0，b>0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可3最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式（1）被开方数不含_；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式【拓展】分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜K知识参考答案：1，不变 2，相除 3分母 K重点二次根式的乘法和除法；最简二次根式的判断K难点二次根式的乘法法则和除法法则的逆用K易错运算顺序错误；忽视隐含条件一、二次根式的乘法1法则中的a，b表示的代数式都必须是非负的2两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方【例1】下列计算正确的是A2×3=6B3×3=3C4×2=8D2×6=12【答案】D【例2】化简得A144B±144C±12D12【答案】A【解析】=故选A二、二次根式的除法1；2，其中【例3】等式成立的条件是Aa、b同号Ba0，b>0Ca>0，b>0Da>0，b0【答案】B【解析】由二次根式的非负性可知，a0，b0，由于b是分母，故b>0故选B【例4】计算的结果为ABCD【答案】C【解析】原式=4x÷=4x×=×3=2×3=6，故选C三、二次根式的乘除混合运算二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用二次根式乘除混合运算的一般步骤：（1）将算式中的除法转化为乘法；（2）利用乘法运算律将运算转化为系数和被开方数的乘法运算；（3）将系数和被开方数分别相乘；（4）化成最简二次根式【例5】计算：于ABCD【答案】A【解析】故选A四、最简二次根式判断二次根式是不是最简二次根式的方法：一看：看被开方数中是否含有能开得尽方的因数（或因式），且被开方数中是否含有分母二化：若被开方数是多项式，能化成因数（或因式）积的形式，要先化成积的形式三判断：得出结论【例6】下列根式中，是最简二次根式的是ABCD【答案】C【解析】因为：A、；B、；D、，所以这三项都可化简，不是最简二次根式故选C1下列二次根式中，最简二次根式是ABCD2如果mn>0，n<0，下列等式中成立的有；A均不成立B1个C2个D3个3下列各组二次根式化成最简二次根式后，被开方数完全相同的是A和B和C和D和4下列等式不成立的是A6×=6B÷=4C=D×=45若=，则x的取值范围是Ax<3Bx3C0x<3Dx06计算÷×结果为A3B4C5D67若成立，则x的取值范围是_8计算：_9化简=_学科_网10下列二次根式：；3；其中是最简二次根式的是_（只填序号）11计算：_12_13计算：（1）；（2）-3·14计算：（1）；（2）；（3）-÷；（4）3÷15计算（1）；（2）；（3）；（4）16当x<0时，等于AxBxC-xD-x17化简的结果是ABCD18计算的结果是ABCD19下列运算正确的是ABCD20若和都是最简二次根式，则_，_21一个圆锥的底面积是2 cm2，高是4 cm，那么这个圆锥的体积是_22计算：+（-2）2-（-）23方老师想设计一个长方形纸片，已知长方形的长是cm，宽是cm，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助方老师求出圆的半径24（2018·甘肃兰州）下列二次根式中，是最简二次根式的是ABCD25（2018·湖南益阳）_26（2018·江苏镇江）计算：=_1【答案】D【解析】A、=|a|，可化简；B、，可化简；C、，可化简；因此只有D： ，不能开方，符合最简二次根式的条件故选D2【答案】C【解析】根据题意，可知mn>0，n<0，所以可得m<0，根据二次根式的乘法的性质，可知m0，n0，故不正确；根据二次根式的乘法，可得=1，故正确；根据二次根式除法的性质，可知m0，n>0，故不正确；根据二次根式的除法，可得=-m，故正确故选C3【答案】D【解析】选项A，=，与的被开方数不相同；选项B，=，与的被开方数不相同；选项C，不能够化简，被开方数不相同；选项D，=，=，和化简后被开方数完全相同，故选D4【答案】B【解析】选项A、C、D正确；选项B，÷=，选项B错误，故选B5【答案】C【解析】根据题意得：，解得：故选C6【答案】B【解析】原式=，故选B9【答案】【解析】故答案为：10【答案】【解析】最简二次根式是满足下列条件的二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数.由此可得是二次根式，故答案为：11【答案】-5【解析】原式故答案为：12【答案】+2【解析】原式故答案为：13【解析】（1）（2）14【解析】（1）（2）（3）（4）15【解析】（1）原式（2）（3）原式（4）原式16【答案】C【解析】x<0，=|x|=-x，故选C17【答案】A【解析】原式=，故选A18【答案】B【解析】原式故选B19【答案】A【解析】根据二次根式的乘法，可知，故正确；根据二次根式的性质，=，故不正确；根据二次根式的除法和分母有理化，可知=，故不正确；根据二次根式的性质，被开方数不能为负数，可知，故不正确故选A20【答案】1、2【解析】由题意，知，解得，因此m的值为1，n的值为2故答案为：1，221【答案】【解析】根据圆锥的体积公式可得，这个圆锥的体积是故答案为24【答案】B【解析】A、不是最简二次根式，错误；B、是最简二次根式，正确；C、不是最简二次根式，错误；D、不是最简二次根式，错误，故选B25【答案】6【解析】原式=2×=6故答案为：626【答案】2【解析】=2，故答案为：2 14