二次函数和根与系数的关系

例1：已知关于x的二次函数y=x22mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1x2）（1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想（3）当m=0，无论k为何值时，猜想AOB的形状证明你的猜想（平面内两点间的距离公式）解：（1）当k=1，m=0时，如图由得x2x1=0，x1+x2=1，x1x2=1，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C直线AB的解析式为y=x+1，BAC=45°，ABC是等腰直角三角形，AB=AC=|x2x1|=；同理，当k=1，m=1时，AB=；（2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=理由如下：由，得x2（2m+1）x+m2+m1=0，x1+x2=2m+1，x1x2=m2+m1，AB=AC=|x2x1|=；（3）当m=0，k为任意常数时，AOB为直角三角形，理由如下：当k=0时，则函数的图象为直线y=1，由，得A（1，1），B（1，1），显然AOB为直角三角形；当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，由，得x2x1=0，x1+x2=1，x1x2=1，AB=AC=|x2x1|=，AB2=10，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（x1+1）2+（x2+1）2=x12+x22+（x12+2x1+1）+（x22+2x2+1）=2（x12+x22）+2（x1+x2）+2=2（1+2）+2×1+2=10，AB2=OA2+OB2，AOB是直角三角形；当k为任意实数，AOB仍为直角三角形由，得x2kx1=0，x1+x2=k，x1x2=1，AB2=（x1x2）2+（y1y2）2=（x1x2）2+（kx1kx2）2=（1+k2）（x1x2）2=（1+k2）（x1+x2）24x1x2=（1+k2）（4+k2）=k4+5k2+4，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（kx1+1）2+（kx2+1）2=x12+x22+（k2x12+2kx1+1）+（k2x22+2kx2+1）=（1+k2）（x12+x22）+2k（x1+x2）+2=（1+k2）（k2+2）+2kk+2=k4+5k2+4，AB2=OA2+OB2，AOB为直角三角形如图，已知抛物线y=x²-4x+3，过点D(0，-)的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，且点M、N与X轴交于E点，且M、N关于点E对称，求直线MN的解析式。解：D(0,-) 设直线MN的解析式为y=kx- kx-= x²-4x+3x²-(4+k)x+=0+=-=4+k+=0=k(4+k)k=1或-5(舍)直线MN的解析式为y=x-1、 如图，抛物线y=x22x3与坐标轴交于A、B、三点，直线y=kx-1与抛物线交于P、Q两点，且y轴平分PCQ的面积，求k的值。 （答案：k=-2）已知：二次函数的图象交x轴于、两点，交y轴正半轴于点C，且。（1）求此二次函数的解析式；（2）是否存在过点D(0，)的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由。例2、已知抛物线y=0.25x22x5与x轴交A、B两点，与y轴交于点C，将直线m:y=0.75x-9向上平移，交抛物线于M、N。MN交y轴正半轴于点 T，SMCT-SCNT=44，求直线m的解析式。如图，抛物线y=x2，过Q（0，3）作直线l交抛物线于E、F，点Q关于原点的对称点为P，当SPEF=12时，求E、F点的坐标。如图，抛物线y=x2+4x3与x轴交A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，将抛物线沿射线OM的方向平移，平移后的抛物线交x轴于点A1，B1，若2A1B14，求M移动的最大距离.如图，抛物线y=x2+3x+6交 y轴于点A，点C(4，k) 在抛物线上，将抛物线向右平移n个单位长度后与直线AC 交于M、 N两点，且M、N关于点C成中心对称，求n的值。解：点A、C在抛物线y=-x²+3x+6上 A(0,6) C(4,2) AC:y=-x+6抛物线y=-x²+3x+6的顶点G(1.5,8.25)抛物线向右平移n个单位后，G点对应点G坐标为(1.5+n,8.25),设新抛物线解析式为y=-x-(1.5+n)²+8.25联立： x²-(4+2n)x+n²+3n=0 =4+2n点M、N关于C点中心对称 =2 n=2、如图，已知抛物线y=-x²+2x+3与坐标轴交于A、B、C三点，点D、C关于原点对称，点M、N是抛物线上两点，且四边形CMDN为平行四边形，求点M、N的坐标。解：点A、B、C在抛物线y=-x²+2x+3上C(0,3) (-1,0) B(3,0) 点D、C关于原点对称 D(,)四边形CMDA是平行四边形 CNMD且CN =MD设N(m,n) MN关于原点对称 M(-m,-n)M、N在抛物线y=-x²+2x+3上= =-(舍)n=2N(，2)M(-，-2)例3、如图，抛物线y=（x1）213/4的顶点为A，与y轴的负半轴交于B点，将抛物线向下平移与直线AB相交C、D两点，若BC+AD=AB,求平移后的抛物线的解析式.1、 抛物线y=x2/3+x/3,将直线y=0.5x向下平移n个单位长度，与抛物线交于E、F两点，若EOF=90°，求n的值2、如图，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C， P点为BC上的一个动点，过P作BC的垂线交抛物线于M、N两点，若四边形BMCN的面积为12，求直线MN的解析式。如图，已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)。（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;（3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。-分隔线-解：抛物线与y轴交于点C（0，3），设抛物线解析式为根据题意，得，解得抛物线的解析式为由得，D点坐标为（1，4），对称轴为x1。若以CD为底边，则PDPC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理，得，即y4x。又P点(x,y)在抛物线上，即解得，应舍去。EF，即点P坐标为。若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x1对称，此时点P坐标为（2，3）。符合条件的点P坐标为或（2，3）。由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理,得CB,CD,BDBCD90°设对称轴交x轴于点E，过C作CMDE，交抛物线于点M，垂足为F，在RtDCF中，CFDF1,CDF45°,由抛物线对称性可知，CDM2×45°90°,点坐标M为（2，3），DMBC,四边形BCDM为直角梯形xyF-2-4-6ACEPDB521246G由BCD90°及题意可知，以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;不存在以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。-分隔线-5、已知抛物线经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点.（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点B的直线与抛物线相交于点C（2，m），请求出OBC的面积S的值.（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E. 直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED（如图），是否存在点P，使得OCD与CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. -分隔线-解：（1）由题意得： 解得： 抛物线解析式为：（2）在抛物线上，点坐标为（2，6），、C在直线上 解得：直线BC的解析式为设BC与x轴交于点G，则G的坐标为（4，0）（3）设P，故xy-4-6CEPDB51246FAG2-2或即或解得或又在抛物线上，或解得或P点坐标为和。