天大冲刺之12月30日】数学运算之比例问题

一、解决好比例问题，关键要从两点入手： 1、“和谁比”； 2、“增加或下降多少”。 3、反复变化的比例关系并无难点，关键是一定要弄清楚和谁比增加或者下降，现在是多少 二、小学奥数中的比例问题 1、一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是1：2：3，某人走各段路程所用时间之比依次是456，已知他上坡的速度是每小时3千米，问此人走完全程用了多少时间？ 解析：上坡路的路程：60*1/（1+2+3）=10千米；走上坡路用的时间为10/3小时 上坡路所用时间与全程所用时间比：4/（4+5+6）=4/15 ；走完全程所用时间：10/3÷4/15=25/2小时 2、一块合金内铜和锌的比是23，现在再加入6克锌，共得新合金36克，求新合金内铜和锌的比？ 解析：要求新合金内铜和锌的比，必须分别求出新合金内铜和锌各自的重量应该注意到铜和锌的比是23时，合金的重量不是36克，而是（366）克铜的重量始终没有变 铜和锌的比是23时，合金重量：36630（克）铜的重量：30*2/5=12 新合金中锌的重量：361224（克）新合金内铜和锌的比：122412 3、师徒两人共加工零件168个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟，完成任务时，两人各加工零件多少个？ 解析：师徒的时间比是5：9.因此工效比是9：5 因此，完成任务的时候，师傅加工零件168*9/14=108个 ；徒弟是168-108=60个 4、洗衣机厂计划20天生产洗衣机1600台，生产5天后由于改进技术，效率提高25，完成计划还要多少天？ 解析：实际效率是原来效率的5/4倍。因此实际和原来的效率比是5：4 因为工效和工时成反比例，所以实际和原来所需时间的比是4：5 如果实际还需要X天，原来计划的天数还需要20-5=15天。因此 4：5=X：15 X=12 5、小刚读一本书，第一天读了全书的2/15，第二天比第一天多读了6页，这时已读的页数与剩下页数的比是3：7.小刚再读多少页就能读完这本书？ 解析：（这个是千宠的思考方法，希望能够详细写出来方便Q友理解） 比例问题，其实最重要的是找准比例关系 小刚第一天读了全书的2/15.第二天读了全书的2/15再加上6页 也就是说，全书的4/15加上6页是已读的。占全书的3/10，那么可以知道，这6页是占全书的3/10-4/15=1/30 而未读的占全书的7/10 因此：6：X=1/30：7/10 X=126 其实熟练了就很简单：（3/10-2*2/15）：7/10=6：X X=216 6、“长江”号轮船第一次顺流航行21公里又逆流航行4公里，第二次在同一河流中顺流航行12公里，逆流航行7公里，结果两次所用的时间相等求顺水船速与逆水船速的比 解析：顺流的路程差=顺流速度*顺流时间差 逆流的路程差=逆流速度*逆流时间差 因为最后的总时间相等。所以顺流时间差和逆流的时间差应该是相等的 因此，顺水船速逆水船速（2112）（74）31 三、例题和解析： 1、b比a增加了20%，则b是a的多少？ a又是b的多少呢？ 解析：可根据方程的思想列式得 a×（120%）b，所以b是a的1.2倍。 A/b1/1.25/6，所以a 是b的5/6。 2、2001年，某公司所销售的计算机台数比上一年度上升了20%，而每台的价格比上一年度下降了20%。如果2001年该公司的计算机销售额为3000万元，那么2000年的计算机销售额大约是多少? A2900万元 B3000万元 C3100万元 D3300万元 解析：方法一：可设2000年时，销售的计算机台数为X，每台的价格为Y，显然由题意可知，2001年的计算机的销售额=X（1+20%）Y（1-20%），也即3000万=0.96XY，显然XY3100。答案为C。 方法二：对一商品价格而言，如果上涨X后又下降X，求此时的商品价格原价的多少？或者下降X再上涨X，求此时的商品价格原价的多少？只要上涨和下降的百分比相同，我们就可运用简化公式，1X2。但如果上涨或下降的百分比不相同时则不可运用简化公式，需要一步一步来。对于此题而言，计算机台数比上一年度上升了20，每台的价格比上一年度下降了20，因为销售额销售台数×每台销售价格，所以根据乘法的交换律我们可以看作是销售额上涨了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的1（20%） 0.96，2001年的销售额为3000万，则2000年销售额为3000÷0.963100。 3、某企业发奖金是根据利润提成的，利润低于或等于10万元时可提成10%；低于或等于20万元时，高于10万元的部分按7.5%提成；高于20万元时，高于20万元的部分按5%提成。当利润为40万元时，应发放奖金多少万元? A2 B2.75 C3 D4.5 解析：这是一个种需要读懂内容的题型。根据要求进行列式即可。 奖金应为 10×10%+（20-10）×7.5%+（40-20）×5%=2.75 所以，答案为B。 4、某校在原有基础（学生700人，教师300人）上扩大规模，现新增加教师75人。为使学生和教师比例低于2：1，问学生人数最多能增加百分之几? A7% B8% C10.3% D115% 解析：根据题意，新增加教师75人，则学生最多可达到（300+75）×2=750人，学生人数增加的比列则为 （750-700）÷7007.1% 所以，选择A。 5、某企业去年的销售收入为1000万元，成本分生产成本500万元和广告费200万元两个部分。若年利润必须按P纳税，年广告费超出年销售收入2的部分也必须按P%纳税，其它不纳税，且已知该企业去年共纳税120万元，则税率P为 A40 B25 C12 D10 解析：选用方程法。根据题意列式如下： （1000-500-200）×P+（200-1000×2%）×P=120 即 480×P=120 P=25% 所以，答案为B。 6、甲、乙两盒共有棋子108颗，先从甲盒中取出1/4放入乙盒，再从乙盒取出1/4放回甲盒，这时两盒的棋子数相等，问甲盒原有棋子多少颗? A40颗 B48颗 C52颗 D60颗 解析：采用逆推法比较方便。 因为最后2盒的棋子相等了，因此最后甲乙都是54颗棋子。 乙盒取出1/4前的棋子一共有54/（1-1/4）=72颗 甲原来有（108-72）/(1-1/4)=48颗。选B 7、已知甲的12%为13，乙的13%为14，丙的14%为15，丁的15%为16，则甲、乙、丙、丁4个数中最大的数是： A甲 B乙 C丙 D丁 （2001年中央真题） 解析：甲=13/12%；乙=14/13%；丙=15/14%；丁=16/15%，显然甲乙丙丁是递增或者递减的关系，最大和最小一定在甲、丁之间，所以比较甲和丁的大小即可，甲/丁=13/12%/16/15%1， 所以，甲乙丙丁，选择A。 8、某单位召开一次会议，会期10天。后来由于议程增加，会期延长3天，费用超过了预算，仅食宿费一项就超过预算20%，用了6000元。已知食宿费用预算占总预算的25%，那么，总预算费用是： A18000元 B20000元 C25000元 D30000元 （2001年中央真题） 解析：设总预算为X，则可列议程为， 25%X=6000÷（1+20%），解得X=20000 所以，答案为B。 9、一种收录机，连续两次降价10%后的售价是405元，那么原价是： A490元 B500元 C520元 D560元 （2001年中央真题） 解析：连续涨（降）价相同幅度的基本公式如下： A（1+B）n=C A表示涨（降）价前的价格；B表示涨（降）价的百分比；C表示涨（降）价后的价格；n连续涨（降）价的年数。 如果设原价为X，那么由以上公式可列如下方程： X =405，解得X=500 所以，答案为B。此题可以选择代入法快速得到答案。 10、某企业1999年产值的20%相当于1998年产值的25%，那么，1999年的产值与1998年相比： A降低了5% B提高了5% C提高了20% D提高了25%（2001年中央真题） 解析：此题可采用直接作比的方法。设1998年的产值为a，1999年的产值为b，则根据题意事列方程，a25%=b20%，则1999年的产值与1998年的比=b/a=25%/20%=1.25，也即1999年的产值比1998年提高了25%。 所以，答案为D。 11、某人用4410元买了一台电脑，其价格是原来定价相继折扣了10%和2%后的价格，则电脑原来定价是 A4950元 B4990元 C5000元 D5010元 （2000年中央真题） 解析，采用方程法即可，设电脑原来定价是X，则可列方程为 X×（1-10%）×（1-2%）=4410，解得X=5000。 所以，正确答案为C。 注，此题不能用第9题的基本公式，因为降价幅度不同。 12、某机关共有干部、职工350人，其中55岁以上共有70人。现拟进行机构改革，总体规模压缩为180人，并规定55岁以上的人裁减比例为70%。请问55岁以下的人裁减比例约是多少? A51% B43% C40% D34% （2000年中央真题） 解析：设55岁以下的人裁减比例为X，则可列方程为： 70×（1-70%）（35070）×（1-X）=180 解得X43% 所以，正确答案为B。 13、某储户于1999年1月1 日存人银行60000元，年利率为2.00%，存款到期日即2000年1月1 日将存款全部取出，国家规定凡1999年11月1日后孳生的利息收入应缴纳利息税，税率为20，则该储户实际提取本金合计为 A61 200元 B61 160元 C61 000元 D60 040元 解析，如不考虑利息税，则1999年1月1 日存款到期日即2000年1月1可得利息为60000×2%=1200，也即100元/月，但实际上从1999年11月1日后要收20%利息税，也即只有2个月的利息收入要交税，税额=200×20%=40元 所以，提取总额为60000+1200-40=61160，正确答案为B。 14、甲、乙、丙三人买书共花费96元钱，已知丙比甲多花16元，乙比甲多花8元，则甲、乙、丙三人花的钱的比是（ ）。（2002年B类真题） A3：5：4 B4：5：6 C2：3：4 D3：4：5 解析：我们通常采用方程法，即设甲的花费为X元，则3X+16+896，则X24，进而可算出比例关系为3：4：5即为选项D。这里请注意，我们在进行数学运算的答题时应尽量避免采用方程法，应将这一方程运算过程用习惯性思维替代，具体思维过程如下，用9616872，所得到就应该是3倍甲的花费，由此得到甲的花费是24元。