高中数学36指数函数幂函数对数函数增长的比较同步练习北师大版必修1

3-6 一、选择题1函数yax与ylogax(a>0，且a1)在同一坐标系中的图像形状只能是()答案A解析排除法：函数ylogax中x>0，故排除B；当a>1时，函数yax为增函数，函数ylogax为减函数，故排除C；当0<a<1时，函数yax为减函数，函数ylogax为增函数，故排除D，所以选A.2函数y12x与y2x2，当x>0时，图像的交点个数是()A0B1 C2D3答案C解析作出函数图像，易知有2个交点(2,4)和(4,16)3在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图像如图所示现给出以下说法：前5分钟温度增加的速度越来越快；前5分钟温度增加的速度越来越慢；5分钟以后温度保持匀速增加；5分钟以后温度保持不变其中正确的说法是()AB CD答案B解析因为温度y随着时间t变化的图像是先凸后为平行于x轴的直线，即前5分钟每当t增加一个单位量t，y相应的增量y越来越小，故正确；而5分钟后y关于t的增量为0，故正确故选B.4某种动物的数量y(只)与时间x(年)的关系为yalog2(x1)，设这种动物第一年有100只，第7年它们发展到()A300只 B400只C500只 D600只答案A解析当x1时，y100alog22，a100，y100log2(x1)，当x7时，y100log28300，故选A.5下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是()Af(x) Bf(x)(x1)2Cf(x)ex Df(x)ln(x1)答案A解析由题意得函数f(x)是减函数，在四个选项中，只有A符合，故选A.6若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则y与x的函数关系为()Ay0.9576 By0.9576100xCyx Dy10.0424答案A解析设镭每年放射掉其质量的百分比为t，则有95.76%(1t)100，所以t1，所以y(1t)x0.9576.二、填空题7方程2x2x的解的个数为_答案1解析分别作出函数y2x与y2x的图像如图所示，易得两图像只有一个交点，即原方程只有一个解8某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，这样，一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是_答案y2x(xN)解析该函数为指数函数型y2x(xN)三、解答题9在我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中，发掘出古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5570年(叫作14C的半衰期)，它的残余量从a变为a，则经过t年后的残余量a与a之间满足aa·ekt.现测得出土的古莲子中14C残余量占原量的87.9%，试推算古莲子的生活年代解析aa·ekt，即ekt，两边取对数，得lgktlge，又知14C的半衰期是5570年，即t5570时，所以lg5570klge，即klge.将式代入式，并整理得：t.将0.879代入得：t1036(年)即古莲子约是1036年前的遗物能 力 提 升一、选择题1已知函数f(x)lg(axbx)(a，b为常数，a>1>b>0)，若x(1，)时，f(x)>0恒成立，则有()Aab>1 Bab1Cab<1 Dab1答案B解析由x>1，a>1>b>0，知ax>a，bx<b，从而axbx>ab.由题意，得axbx>1恒成立，故ab1，故选B.2用固定的速度向下图形状的瓶子中注水，则水面的高度h和时间t之间的关系是()答案B解析t越来越大时，h增大的较快，而A、D是匀速增长的，瓶子应为直筒状，C表示的瓶子应是口大于底，故选B.二、填空题3函数y的反函数是_答案y解析x<0时，yx1，xy1，x<0，y<1，其反函数为yx1(x<1)又x0时，yex，xlny.x0，y1，其反函数为ylnx(x1)，反函数为y4四个变量y1、y2、y3、y4随变量x变化的数据如下表：xy1y2y3y405555513094.478302.3107105051758.2551.429515113033733801.14072020206.37×1051051.04612531301.2×1071301.01513045052.28×1081551.005关于x呈指数型函数变化变量的是_答案y2解析根据数字增长特征三、解答题5我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？分析(1)由题中所给函数式令v0即可；(2)令函数式Q80即可求得此时的v.解析(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v0，代入函数关系式可得：05log2，解得Q10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位(2)将耗氧量Q80代入函数关系式得y5log25log2815(m/s)即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15m/s.6已知实数p、q满足lg(log3p)lg(2q)lg(q1)，求p的取值范围解析由已知lg(log3p)lg(2q)lg(q1)，得lg(log3p)lg(2q)(q1)log3p(2q)(q1)，又由题设可知p>1且1<q<2.令t2，当1<q<2时，0<t.p3t在t时的值域为p.p的取值范围是.7要建造一个容积为1200m3，深为6m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/m2，池底的造价为135元/m2，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价控制在7万元以内(精确到0.1m)?解析设水池总造价为y元，水池长度xm，则y×95×135，(*)画出函数(*)和函数y7的图像由图可知，若y7，则x应介于x1，x2之间，x1，x2即为方程×95×13570000的两个根解得x16.4，x231.3.所以，水池的长与宽应该控制在6.4,31.3之间