概率论与数理统计学1至7章课后答案.doc

一、习题详解：3.1设二维随机向量的分布函数为:求.解：因为 ，所以 0.02343.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X表示取到的黑球的个数, 用Y表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.解：因为X + Y = 4，所以(X,Y)的可能取值为(2,2),(3,1)且 ， ，故(X,Y)的概率分布为XY12200.630.403.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X表示在3次中出现正面的次数, 用Y表示3次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布.解：因为，又X的可能取值为0,1,2,3所以(X,Y)的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3)且 ， ，故(X,Y)的概率分布为XY13001/813/8023/80301/83.4设二维随机向量的概率密度函数为: (1) 确定常数;(2) 求(3) 求,这里是由这三条直线所围成的三角形区域.解：(1)因为由 ，得9a=1，故a=1/9.(2) (3) 3.5 设二维随机向量的概率密度函数为:(1) 求分布函数;(2) 求解：(1) 求分布函数; 当，其他情形，由于=0，显然有=0。综合起来，有(2) 求 3.6 向一个无限平面靶射击, 设命中点的概率密度函数为求命中点与靶心(坐标原点) 的距离不超过a 的概率.解： 3.7设二维随机向量的概率分布如下表所示, 求X 和Y 的边缘概率分布.XY02510.150.250.3530.050.180.02解：因为 所以，X的边缘分布为X13P0.750.25因为 所以，Y的边缘分布为Y025P0.200.430.373.8 设二维随机向量的概率密度函数为求边缘概率密度.解：因为，当时，；其他情形，显然所以，X的边缘分布密度为 又因为，当时，其他情形，显然所以，Y的边缘分布密度为3.9 设二维随机向量的概率密度函数为求边缘概率密度.解，积分区域显然为三角形区域，当时，因此；其他情形，显然所以，X的边缘分布密度为同理，当时，因此其他情形，显然所以，Y的边缘分布密度为3.10 设二维随机向量的概率密度函数为(1)确定常数c的值. (2)求边缘概率密度.解：(1)因为 所以 c = 6(2) 因为，当时，所以，X的边缘分布密度为 又因为，当时，所以，Y的边缘分布密度为3.11 求习题3.7 中的条件概率分布.解：由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是X13Y025P0.750.25P0.200.430.37(1)当X=1时，Y的条件分布为 即 Y025P1/51/37/15(2)当X=3时，Y的条件分布为 即 Y025P1/518/252/25(3)当Y=0时，X的条件分布为 即X13P3/41/4(4)当Y=2时，X的条件分布为 即X13P0.5810.419(5)当Y=5时，X的条件分布为 即X13P0.9460.0543.12 设 X 在区间(0,1) 上随机地取值, 当观察到X = x(0 < x < 1) 时, Y 在区间(x,1) 上随机地取值, 求 Y 的概率密度函数.解：因为 ， 所以(X,Y)的联合密度为于是 故Y的密度函数为3.13 设二维随机向量的概率密度函数为求条件概率密度以及.解：因为，当时，又当时，所以，在Y=y的条件下X的条件分布密度为在X=x的条件下Y的条件分布密度为3.14 问习题3.7 中的X 与Y 是否相互独立？解: 由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是X13Y025P0.750.25P0.200.430.370.75, ,而,显然,从而X 与Y 不相互独立.3.15设二维随机向量的概率分布如下表所示, 求X 和Y 的边缘概率分布.XY02510.150.250.3530.050.180.02问取何值时, X 与Y 相互独立?解：因为 ，要X和Y相互独立，则 即 ，得由 ，得 即 ，得3.16 问习题3.8 和习题3.9 中的X 与Y 是否相互独立？解：由习题3.8，二维随机向量的概率密度函数为X的边缘分布密度为，Y的边缘分布密度为，显然有，X 与Y 相互独立.由习题3.9,维随机向量的概率密度函数为,X的边缘分布密度为，Y的边缘分布密度为,显然有，X 与Y 不独立.3.17设二维随机向量的概率密度函数为,问X与Y是否相互独立?解：因为 对于x>0,y>0，都有 ,所以，X与Y是相互独立的.3.18 设二维随机向量的分布函数为解：因为 由于 所以，X与Y是相互独立的。3.19 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, 并且均服从区间(0, 1) 上的均匀分布, 求X+Y的概率密度函数.解：由于X 与Y均服从区间(0, 1) 上的均匀分布，故X 与Y的边缘密度函数分别为：，记,由于X 与Y 是两个相互独立的随机变量,根据书中72页（3.7.3）式,的概率密度函数可以写为当时,若，则；若或，被积函数为0，此时显然有.当时，若,则，若或，被积函数为0，此时显然有；的其他情形,显然有=0. 综合起来，有此题也可以用先求分布函数然后再求导的方法来解,需要注意的一点是, 当时，积分区域要分成两个部分.3.20 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, 概率密度函数分别为求的概率密度函数.解：记,由于X 与Y 是两个相互独立的随机变量,根据书中72页（3.7.3）式,的概率密度函数可以写为，于是有3.21 设二维随机向量的概率密度函数为求的概率密度函数.解: 根据书中72页（3.7.1）式,的概率密度函数可以写为当时,若，则，若或，被积函数为0，此时显然有；当时，若,则，若或，被积函数为0，此时显然有；的其他情形,显然有.综合起来，有3.22 设随机变量服从参数为的指数分布,并且与相互独立,求的概率密度函数.解：由于所以分布函数为由于服从参数为的指数分布，所以分布函数为 与相互独立，故的分布函数为对分布函数求导以后得的密度函数 3.23 设随机变量,并且与相互独立,求的概率密度函数.解：由于所以分布函数为由于，所以分布函数为 与相互独立，故的分布函数为对分布函数求导以后得的密度函数 3.24 设随机变量相互独立,并且都服从正态分布,求的概率密度函数.解：由于相互独立,根据P76公式（3.8.4），易知，于是的概率密度函数为： 其中，3.25 对某种电子装置的输出测量了5 次, 得到观察值.设它们是相互独立的随机变量, 且有相同的概率密度函数, 求的分布函数.3.26 设电子元件的寿命X(单位: 小时) 的概率密度函数为今测试 6 个元件, 并记录下它们各自的失效时间. 求(1) 到800 小时时没有一个元件失效的概率;(2) 到3000 小时时所有元件都失效的概率.二、第三章定义、定理、公式、公理小结及补充：（1）联合分布离散型如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机量。设=（X，Y）的所有可能取值为，且事件=的概率为pij,称为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： YXy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1这里pij具有下面两个性质：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）连续型对于二维随机向量，如果存在非负函数，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有则称为连续型随机向量；并称f(x,y)为=（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面两个性质：（1） f(x,y)0;（2） （2）二维随机变量的本质（3）联合分布函数设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：（1）（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即当x2>x1时，有F（x2,y）F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2) F(x,y1);（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即（4）（5）对于.（4）离散型与连续型的关系（5）边缘分布离散型X的边缘分布为；Y的边缘分布为。连续型X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为（6）条件分布离散型在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为；在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为（7）独立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布0随机变量的函数若X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互独立， h,g为连续函数，则：h（X1，X2,Xm）和g（Xm+1,Xn）相互独立。特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。（8）二维均匀分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）U（D）。例如图3.1、图3.2和图3.3。y1 D1O 1 x图3.1yD211 O 2 x图3.2yD3dcO a b x图3.3（9）二维正态分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其中是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）N（由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即XN（但是若XN（，(X，Y)未必是二维正态分布。（10）函数分布Z=X+Y根据定义计算：对于连续型，fZ(z)两个独立的正态分布的和仍为正态分布（）。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。， Z=max,min(X1,X2,Xn)若相互独立，其分布函数分别为，则Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函数为：分布设n个随机变量相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量W服从自由度为n的分布，记为W，其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。分布满足可加性：设则t分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，且可以证明函数的概率密度为我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)。F分布设，且X与Y独立，可以证明的概率密度函数为我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为Ff(n1, n2).