基于Matlab的电磁场图示化教学Word版

目 录摘 要1关键词1Abstract1Key Words1引言21 Matlab的图示化技术21.1 几个常用的绘图指令21.2 具有两个纵坐标标度的图形21.3 三维曲线32 Matlab在静电场图示化中的应用32.1 基本原理32.2 等量同号点电荷的电场线的绘制42.3 静电场中的导体63 Matlab在恒定磁场图示化中的应用63.1 电偶极子电磁场的Matlab图示与应用63.2 两根载流长直导线在电磁场中的Matlab图示83.3 运动的带电粒子在均匀电磁场中的Matlab图示93.4 电磁波的Matlab图示114 Matlab在时变电磁场仿真分析中的应用124.1 Matlab图示化分析均匀平面波在理想介质中的传播124.2 Matlab图示化分析矩形波导的场量分布145 结语19致谢19参考文献20整理为word格式基于Matlab的电磁场图示化教学自动化 王丽洁指导教师 王庆兰摘 要：Matlab是由美国Mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。Matlab具有丰富的计算功能和科学计算数据的可视化能力，特别是应用偏微分方程工具箱在大学物理电磁学等各类物理场的数值仿真中具有无比的优势。本文将主要介绍Matlab在静电场图示化中的应用、Matlab在恒定磁场图示化中的应用以及Matlab在时变电磁场仿真分析中的应用。利用Matlab的图示化技术、利用Matlab分析电磁学，能够更为方便的实现电磁场图示化教学，能使复杂的问题大大简化，对阐述相关原理能起到很大的作用。关键词：Matlab 图示化教学 电磁场 时变电磁场The electromagnetic field of graphical teaching based on Matlab Student majoring in automation Wang LijieTutor Wang QinglanAbstract：Matlab is published by the United States, the main face of the company Mathworks scientific computing, visualization and interactive program designed for high-tech computing environment. Matlab has a computing functions and rich scientific computing visualization capability of data, especially the application of partial differential equation toolbox has incomparable advantages in numerical simulation of university physics electromagnetism and other types of physical field. Mainly introduces the application of Matlab in electrostatic field, the graphic in Matlab in a constant magnetic field of graphical applications and Matlab application of electromagnetic simulation in the analysis of time. Using Matlab graphic technology, using the Matlab analysis of electromagnetism, can more convenient teaching, the implementation of the electromagnetic field shown can greatly simplify the complex problems, the paper related principle can play a big role.Key Words: Matlab; graphic teaching; electromagnetic field; time-varying electromagnetic field整理为word格式引言 在工科物理教学中，物理实验极其重要，一般院校都将其列为一门单独的课程，它担负着学生的基本实验技能训练的任务，通过一系列的实验、学习，学生可在一定程度上掌握前人对一些物理量的典型测量方法和实验技术，并在以后的实验工作中有所借鉴，能够在这些基础上有所创新。物理实验需要有相应的配套设备及实验环境。一方面，一些实验设备比较复杂并且昂贵，限制了实验的普及应用；另一方面，有些实验环境是很难满足的，甚至根本不能满足；另外，有些实验是不能直接观察的，或者只能观察到实验对象的局部，如电场、磁场、力场中的分布问题等。鉴于上面的原因，物理仿真实验已引起了大家的关注，出现了一些软件，但很多是基于Flash、Photoshop、3DStudioMAX之类的图形图像软件制作这些软件可以制作逼真的实验环境和生动的实验过程动画，还可以制作出实际实验所无法达到的效果。但这类软件本身是制作动画卡通的，对物理实验规律和过程很少涉及，很难做到真正的交互使用，开发也很困难。因此，在工科物理实验教学中应用很少。Matlab是美国MathWorks公司开发的一套高性能的数值计算和可视化软件它是一种以矩阵运算为基础的交互式程序语言，其应用范围涵盖了当今几乎所有的工业应用与科学研究领域，集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体其丰富的库函数和各种专用工具箱，将使用者从繁琐的底层编程中解放出来。此外，Matlab更强大的功能还表现在其有大量的工具箱(Toolbox)，如：控制系统、数值模拟、信号处理及偏微分方程等工具箱。因此，Matlab已成为美国和其它发达国家大学教育和科学研究中必不可少的工具。Matlab具有丰富的计算功能和科学计算数据的可视化能力，特别是应用偏微分方程工具箱在大学物理电磁学等各类物理场的数值仿真中具有无比的优势。下文是在电磁学方面，利用Matlab软件编程进行大学物理教学的典型案例。1 Matlab的图示化技术Matlab是MathWorks公司研发的一款主要用于科学与工程计算的软件工具, 具有强大的矩阵运算、数据处理和图形显示功能。Matlab拥有大量简单、灵活、易用的二维、三维图形函数以及丰富的图形表现能力, 为各种科技专业图形的绘制带来了方便。1.1 几个常用的绘图指令plot函数：用来绘制线形图形。plot(y), 当y是实向量时，以该向量元素的下标为横坐标，元素值为纵坐标画出一条连续曲线，这实际上是绘制折线图。plot(x,y), 其中x和y为长度相同的向量，分别用于存储x坐标和y坐标数据。plot(x,y,s)。contour函数：用来绘制等高线图形。ezplot函数:对于显式函数f=f(x)，在默认范围-2<x<2上绘制函数f(x)的图形；对于隐式函数f=f(x,y)，在默认的平面区域-2<x<2, -2<y<2上绘制函数f(x,y)的图形。整理为word格式1.2 具有两个纵坐标标度的图形在MATLAB中，如果需要绘制出具有不同纵坐标标度的两个图形，可以使用plotyy绘图函数。调用格式为：plotyy(x1,y1,x2,y2)其中x1,y1对应一条曲线，x2,y2对应另一条曲线。横坐标的标度相同，纵坐标有两个，左纵坐标用于x1,y1数据对，右纵坐标用于x2,y2数据对。1.3 三维曲线plot3函数与plot函数用法十分相似，其调用格式为：plot3(x1,y1,z1,选项1,x2,y2,z2,选项2,xn,yn,zn,选项n) 其中每一组x,y,z组成一组曲线的坐标参数，选项的定义和plot函数相同。当x,y,z是同维向量时，则x,y,z 对应元素构成一条三维曲线。当x,y,z是同维矩阵时，则以x,y,z对应列元素绘制三维曲线，曲线条数等于矩阵列数。2 Matlab在静电场图示化中的应用Matlab具有矩阵运算、数值计算和符号计算等强大的计算功能以及可视化的仿真环境, 利用它所提供的图形技术, 还可根据计算结果绘制各类图形。电磁场课程因为场的概念抽象、理论性强, 需要学生具备较强的空间想象能力和逻辑思维能力, 因而这门课程是学生普遍感到难学的一门课程。另外, 电磁场课程要求有相当的数学基础, 需要进行许多公式推导及微分方程求解。为避免陷入复杂的数学问题, 可借助Matlab进行求解、模拟和实现结果的可视化, 把场的抽象概念变为清晰、直观的数据和图像, 通过场图形象地描述场的分布, 帮助理解和掌握电磁场的规律。这样, 将具体的计算问题交给计算机处理, 在课堂上可以将更多的精力用于电磁场理论本质的探讨。下面以几个典型的电磁场图示化为例讨论如何利用Matlab进行场图的绘制, 将抽象的电磁场问题形象化, 来帮助对电磁场性质的理解。2.1 基本原理由微分方程理论可知：在一个稳恒电场中,场方程与边界条件一旦确定，则它们的解是唯一的。这里的场方程即为麦克斯韦(Maxwell) 方程组，边界条件由所给定的物体系统形状确定，即： (1)(1)式中D为电位移，为电荷密度， H为磁场强度，J为电流密度，E为电场强度，B为磁感应强度。对于恒定的电场: . (2)(2)式中电位满足泊松(Poisson)方程：. (3)(3)式中为电介质的电容率。对于不存在电荷的空间部分有=0，上式退化为拉普拉斯(Laplace)方程: . (4)整理为word格式利用上述方程,再加上边界条件，利用Matlab中的偏微分工具箱，即可求解带电体周围空间的电场分布。2.2 等量同号点电荷的电场线的绘制 首先建立电场线的微分方程（二维情况）。因为电场中任一点的电场方向都沿该点电场线的切线方向，所以满足： . (5)引入参变量t得到：. (6)设二点电荷位于(-2，0)和(2，0)，二点电荷“电量”为q1和q2（均等于10），由库伦定律和电场的叠加原理，得出下列微分方程： (7) (8)解此方程就可以绘制出电场线。 下面是写微分方程的函数文件： 这里的y是微分方程的解矢量，它包含两个分量，y(1)表示x，y(2)表示y，解出y后就得到了x与y的关系，即可依此绘制出电场线。 编好函数文件后，命名为dcx1fun.m 存在当前路径下，然后开始编写解微分方程的主程序 dcx1.m： 整理为word格式在确定初始条件时，因为源点处是奇点，这点上微分方程的分母为0，所以电场线不能从源点处绘制，而应当从它附近的邻域圆上绘制。我们将电场线的起点定在以源点为圆心，0.1为半径的圆周上。在程序中就是通过从圆周上取了24个不同的角度（从/24到2-/24，每隔/12 取一个角度），然后算出每个角度上的起点的横、纵坐标值；b1,c和b2,c分别是以两个源点电荷为圆心，0.1为半径的邻域圆周上的起点位置。b0=b1 b2，c0=c c合并矢量，将两个源点处的初始条件组成的矢量放在一起处理。最后所得结果如图1所示，将左端源电荷附近放大可以看到这些电场线的起点都在源电荷的邻域圆上，如图2所示。从这个圆周上发出的电场线共24条，另一端也是相同的情况。图1整理为word格式 图22.3 静电场中的导体问题描述:在电场强度为E的静电场中放置一根无限长的导体，研究截面上的电势分布。首先画一个2*2的矩形R1，然后在中心原点画半径为0.3的圆E1，然后将Set formula对话框中的公式改为R1- E1，表示求解区域为二者之差。矩形所有的边界条件是Dirichlet边界条件，取h=1，r=y。而在圆的边界取h=1，r=0。由于求解域没有电荷，因此在选择方程时选取Elliptic(椭圆)方程，系数为c=1，a=0，f =0。其电势分布如图5所示，电力线用箭头表示。整理为word格式图3静电场中无限长导体的截面上的电势分布3 Matlab在恒定磁场图示化中的应用3.1 电偶极子电磁场的Matlab图示与应用在电磁场理论中, 电偶极子的场问题是一个很典型的问题，其等位线和电场线的绘制，以及空间的电磁场场图的描述等都是课程中较难把握的内容, 但借助于Matlab，这将不再是一个难点。例如考察(a，b) 处有电荷+q，在(-a，-b) 处有电荷-q。采用叠加定理，在电荷所在平面上任何一点的电势和场强分别为， (9)其中 ，。Matlab源程序：fx = inline('0.15*pi*sin(theta)2*sin(theta)*cos(phi)'); fy = inline('0.15*pi*sin(theta)2*sin(theta)*sin(phi)'); fz = inline('0.15*pi*sin(theta)2*cos(theta)'); figure ezmesh(fx,fy,fz,0 2*pi 0 pi,100) colormap(0 0 0) axis equal 整理为word格式set(gca,'xdir','reverse','ydir','reverse') 执行等值线绘图指令contour可获得电位函数在空间的分布，用clabel命令给出电势值；对V求负梯度-gradient，再执行矢量绘图指令quiver就得到空间电场的分布，如图4所示。在此基础上可绘出三维空间中电场的分布，如图5所示。图4 电偶极子的等位线及电场分布图图5 电偶极子的电场三维立体分布将抽象的场函数图示化后，对场的分布就可能有个直观的概念，对场的性质理解起来也就更加容易。电场线的疏密表示电场的弱强，某点处切线方向表示电场的方向，从而建立起电场线与电场强度之间的有效联系。而且等势线与电场线正交，顺着电场线方向电势降低，电场强度是电势的负梯度等，这些从图像中都得到直接的验证。再如在空间载电流I 的磁场，利用毕奥O萨伐尔定律，空间P点的总场可沿载流导体全长积分各段元电流产生的磁场来求得。可采用无限小分割的小段电流磁场的求和来代替积分，整理为word格式则: (10)以圆电流的磁场为例，采用上述方法利用Matlab求得磁场分布，如图6所示。图6 圆形电流的磁场从图6中可直接观察圆电流及其磁场的关系，不仅圆电流和轴线上的磁场满足右螺旋关系，而且电流附近的磁场和电流间也满足右螺旋关系，从而对右螺旋法则有更深一层的理解。3.2 两根载流长直导线在电磁场中的Matlab图示问题描述：两根载流长直导线，相距为0.8，导线直径为0.2，求电流引起的磁场。从式(1)描述的麦克斯韦(Maxwell)方程组出发，其磁场强度B和磁感应强度H的关系为：B=H. (11)其中为磁导率。磁场势A与B有如下关系： . (12)故可简化为椭圆方程： . (13)画出大小为2*2的矩形R1，两导线用直径为0.2、相距0.8的两个圆表示。矩形的边界条件是Dirichlet边界条件，取h=1，r=01这种做法是模拟远处的磁场势为零。在设置方程类型时，选取应用模式为Mangetostatics，这时的方程形式为式(13)所示。故在选择方程时选取Elliptic(椭圆)方程，对于矩形其它部分系数取=1、J =0。在表示导线的圆内，取=1，J=1。两根载流长直导线的磁场势和磁力线如图7所示，磁力线用箭头表示。整理为word格式图7两根载流长直导线的磁场势和磁力线3.3 运动的带电粒子在均匀电磁场中的Matlab图示设带电粒子质量为m，带电量为q，电场强度E 沿y方向，磁感应强度B沿z方向。则带电粒子在均匀电磁场中的运动微分方程为：则上面微分方程可化作： ，.选择E和B为参量，就可以分别研究E0，B=0和E=0，B0等情况。下面编写微分方程函数文件ddlzfun.m： 整理为word格式运行结果如图8所示。研究时可以采用不同的初始条件和不同的参量观察不同的现象。图8 B=2,E=1参数运行结果例如令E=0，B=2，所得结果如图9所示。整理为word格式图9 E=0，B=2参数运行结果3.4 电磁波的Matlab图示电磁波是时变电磁场相互转换的结果，而且电磁波是动态的，每时每刻它的位置和状态都在发生变化，但是可以依靠Maxwell方程及边界条件来模拟。考察在无限大均匀介质中传播的平面电磁波，它的电磁场的一般表达式为 (14)在图示电磁波的动态传播时，分别以t和z为自变量，和为因变量设置双重循环，并根据它们的值，利用Matlab提供的实现动态轨迹的指令做出动态图形。为更形象地表现行波随传播距离的变化，可设置两个不同的质点于电场和磁场的波形上，使它们的运动规律也满足Maxwell方程。这样，就能通过图形及质点的瞬时变化，形象地表现动态行波，如图10所示。图10 行波的瞬时分布这样在三维空间对电磁波进行动态描述，容易帮助学生建立起空间动态电磁行波的概念，并且对电磁波的传输性质的理解也很有帮助。本文根据电磁场教学的特点，结合具体实例，讨论了基于Matlab的电磁场图示化在教学中的应用。在当前教学改革中，应用这一思想制作的电磁场课程CAI软件可起到辅助教学的作用。整理为word格式4 Matlab在时变电磁场仿真分析中的应用4.1 Matlab图示化分析均匀平面波在理想介质中的传播假设均匀平面波在无界充满线性、均匀、各向同性理想介质(介电常数为、磁导率为)的无源区域中传播，假定电场为x轴方向，电磁波沿+z方向传播，它的电磁场一般表达式为： (15)式中：本征阻抗；波数。以一频率为100MHz的均匀平面波在线性、均匀、各向同性的理想介质(= 4，=1，=0)中沿+z方向传播为例，仿真程序设计过程如下：根据已知参数编程计算和k等参数。根据(15)两式定义各场强变量，以电场强度、磁场强度分量为因变量，以时间t为自变量，设定for循环。在循环内部，应用网格生成函数meshgrid( )生成空间格点矩阵，即确定空间各点的坐标位置；用plot3( )函数绘制电场强度Ex分量，利用holdon控制指令保留当前图形；在同一张图上用函数plot3( )绘制磁场强度Hy分量，用函数plot3( )绘制z轴；再利用view( )函数调整图形视点，选择合适的角度观看图形。为区分图形，在绘图函数plot3( )中分别指定绘图的颜色，如蓝色为电场强度，红色为磁场强度，黑色为z轴。用holdoff控制指令取消保留当前图形，以便绘制下一幅图形。最后，在for循环内部利用getframe( )函数捕获当前画面，产生一个数据向量，创建一个帧动画矩阵。程序循环一次将绘制一张该时刻的电磁波传播图，当时间变量t大于预设值时，跳出循环，再利用播放动画函数movie( )将各图连续播放，形成了电磁波在三维空间的动态传播。整理为word格式Matlab程序流程框图如图11。开始计算和k等参数设置循环时间变量t，初始值，终值设定图形的坐标取值范围及间隔计算电场强度和磁场强度分量绘制电场强度图形在同一张图上绘制磁场强度在同一张图上绘制z轴调整视点利用getframe（）函数捕获画面t判断函数tt>利用move（）函数连续播放在同一张图上绘制z轴在同一张图上绘制z轴在同一张图上绘制z轴结束图11 理想介质中的电磁波传播程序流程图整理为word格式由于篇幅所限，无法连续显示电磁波传播的动态变化效果图。这里只给出某一时刻的波形图，如图12所示。由图12所见：电场和磁场互相垂直，且都和传播方向( +z轴方向)垂直，是TEM波(或TEM模)；电场E、磁场H的振幅不变，为等幅波；电场和磁场有相同相位。图12 理想介质中的电磁波传播4.2 Matlab图示化分析矩形波导的场量分布矩形波导是截面形状为矩形的空芯金属管，如图13所示，图中，a、b分别表示内壁的宽边和窄边尺寸。管壁材料一般用铜、铝等金属制成，求解时通常可视波导壁为理想导体，波导内填充的介质可视为理想介质(介电常数为、磁导率为)。图13 矩形波导整理为word格式在矩形波导中不可能传输横电磁(TEM)模，只能传输横电(TE)模和横磁(TM)模。对于TEmn模的电场强度E和磁场强度H场分量表达式为 式中：m，n值可以取非负整数，代表不同的TE波场结构模式；为相位常数， ，为临界波数， 。波导中与尺寸有关的截止波长最长的导模称为该导波系统的主模，其他模式都成为高次模式。对于国产BJ-100型号矩形波导，宽边a=22.86mm，窄边b= 10. 16mm，波导内媒质为空气，当工作频率f =9.84GHz时，波导中只能传输模，它是矩形波导的主模。利用Matlab可以动态显示矩形波导模的场结构图。在教学中，为使学生全面理解波导场结构，通常先分析二维电场和磁场分布，再分析三维电磁场结构。整理为word格式以xz平面上的磁场结构为例，演示程序流程图如图14所示。开始计算等参数设置循环时间变量t，初始值，终值设绘制磁场时坐标取值范围及间隔计算电场强度各分量利用quiever（）绘制磁场强度利用getframe（）函数捕获画面判断变量t利用movie（）函数连续播放结束t>t图14 演示电磁场动态分布程序框图此时，应用网格函数meshgrid( )在xz平面上生成格点矩阵，以磁场强度Hx 和Hz 为因变量，以时间t为自变量，设定for循环，循环内部利用二维箭头图函数quiver( )绘制磁场强度矢量场分布图。整理为word格式图15给一个时间周期T内某4个时刻磁场结构的分布图。图中，箭头方向为该点场强矢量的方向，线段长度代表该点场强矢量的大小。图15 矩形波导模磁场在xz平面的分布图整理为word格式同理，可分别绘制出其他平面上的磁场、电场场结构。还可以绘制三维动态电场、磁场的结构图。以电场为例，程序流程与图14相似, 但此时采用三维矢量箭头图quiver3( )函数绘制电场图形。程序流程图略。图16给一个时间周期T内某3个时刻电场结构的空间分布图。如图所见, 电场只有分量, 即电场沿y轴方向变化。图16 矩形波导模电场分布图整理为word格式为直观地分析电磁场的相互作用，可以同时显示电磁场的运动，编程时在一个循环内部，先绘制电场，利用holdon命令保留当前图像，再绘制磁场。为区分图形，在绘图函数quiver3( )中分别指定绘图的颜色，此处电场强度为蓝色，磁场强度为红色。图17给出了t=T/4时刻的电磁场图。图17 矩形波导模电磁场分布图由动态分布图可见，随着时间t的增加，波导内的电磁场连续变化，整个波导场的结构在一个波导波长内保持一定的形状，沿+z方向运动。电力线互不相交，磁力线互不相交，电力线与磁力线相互正交。磁场有和分量，即磁场在xz平面上变化，而沿y轴方向上各截面上的磁场分布相同，图中磁场给出的是y=7.5mm的截面上的磁场分布。5 结语在电磁场与电磁波教学改革中, 引入了Matlab工程软件进行仿真实验。利用Matlab强大的矩阵运算、数值计算以及强大的图形可视化环境, 对时变电磁场的三维空间分布进行仿真, 将电磁空间的分布规律直观的显示出来。教学改革的实践证明, 将抽象的电磁场运动规律利用Matlab形象化、可视化, 不但能大大加深学生对抽象电磁场问题的理解, 激发学生的学习兴趣, 而且也提高了学生对Matlab工程软件的实际应用能力, 能够改进教学效果。致谢伴着论文的即将完成，心情也开始慢慢地轻松起来。从开始进入课题到搜集资料，从写稿到反复修改，期间经历了喜悦、烦躁、痛苦和彷徨，在写作论文的过程中心情是如此复杂。有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！最后感谢我的导师王庆兰老师。她为人随和热情，治学严谨细心。在闲聊中她总是能像知心朋友一样鼓励你，在论文的写作和措辞等方面她也总会以“专业标准”严格要求你，从选题、定题开始，一直到最后论文的反复修改、润色，王老师始终认真负责地给予我深刻而细致地指导，帮助我开拓研究思路，精心点拨、热忱鼓励。正是王老师的无私帮助与热忱鼓励，我的毕业论文才能够得以顺利完成，谢谢王老师。整理为word格式参考文献：1 张 勇，王永涛，刘世清，等. 开放式实践教学模式的探讨 J.实验室研究与探索，2004( 12): 161-162.2 张志勇，徐彦琴. 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