大一下学期高等数学期中考试试卷及答案

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1、大一第二学期高等数学期中考试试卷一、填空题(本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分),请将合适的答案填在空中。1、已知球面的一条直径的两个端点为和,则该球面的方程为_2、函数在点处沿点指向点方向的方向导数为 3、曲面与平面平行的切平面方程为 4、 5、设二元函数,则_二、选择填空题(本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分)。以下每道题有四个答案,其中只有一个答案是正确的,请选出合适的答案填在空中,多选无效。1、旋转曲面是( ) (A)坐标面上的双曲线绕轴旋转而成; (B)坐标面上的双曲线绕轴旋转而成; (C)坐标面上的椭圆绕轴旋转而成; (D)坐标面上的椭圆绕轴旋转而成2、微分方程的一

2、个特解应具有形式( ) 其中都是待定常数. (A).; (B).; (C).; (D). 3、已知直线与平面,则 ( ) (A).在内; (B).与不相交; (C).与正交; (D).与斜交. 4、下列说法正确的是( )(A) 两向量与平行的充要条件是存在唯一的实数,使得; (B) 二元函数的两个二阶偏导数,在区域D内连续,则在该区域内两个二阶混合偏导必相等; (C) 二元函数的两个偏导数在点处连续是函数在该点可微的充分条件; (D) 二元函数的两个偏导数在点处连续是函数在该点可微 的必要条件.5、设且(即函数具有连续的二阶连续偏导数),则( ) (A); (B); (C); (D).三、计算

3、题(本大题共29分)1、(本题13分)计算下列微分方程的通解。(1)(6分)(2)(7分)2、(本题8分)设,求全导数。3、(本题8分)求函数的极值。四、应用题(本题8分)1、某工厂生产两种型号的机床,其产量分别为台和台,成本函数为 (万元),若市场调查分析,共需两种机床8台,求如何安排生产使其总成本最少?最小成本为多少?五、综合题(本大题共21分)1、(本题10分)已知直线,求过且平行于的平面方程2、(本题11分)设函数 在球面上求一点,使函数取到最大值六、证明题(本题共12分)1、设函数,其中是常数,函数具有连续的一阶偏导数试证明:第二学期高等数学期中考试试卷答案一、填空题(本题满分15分

4、,共有5道小题,每道小题3分)1.、 2、3、4、05、;二、选择填空题(本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分)1(A)2(B)3(C)4(C)5(A)三、计算题(本大题共29分)1、(1)解:将原微分方程进行分离变量,得: 上式两端积分得 即: 其中为任意常数(2)解:题设方程对应的齐次方程的特征方程为特征根为 于是,该齐次方程的通解为因是特征方程的单根,故可设题设方程的特解:代入题设方程,得比较等式两端同次幂的系数,得 于是,求得题没方程的一个特解 从而,所求题设方程的通解为2、解:, , 依复合函数求导法则,全导数为 3、解:解方程组,得驻点。由于,在点处,所以函数在点处取得极小值,极小值为。四、应用题(本题8分)1、解:即求成本函数在条件下的最小值 构造辅助函数 解方程组 解得 这唯一的一组解,即为所求,当这两种型号的机床分别生产台和台时,总成本最小,最小成本为:(万)五、综合题(本大题共21分)1、解:直线与的方向向量分别为, ,作 ,取直线上的一点,则过点且以为法向量的平面 ,就是过且平行于的平面方程2、解:设球面上点为令 ,由前三个式子得,代入最后式子得由题意得在球面上的最大值一定存在,因此唯一的稳定点就是最大值点,最大值为六、证明题(本题共12分)1、证明: 所以,

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