分块矩阵的若干性质及其应用

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1、-U D C 编号本科毕业论文(设计)题目分块矩阵的假设干性质及其应用学院数学与经济学院专业名称应用统计学年级 2021级学生欣2021 年 4 月文献综述一、概述矩阵是数学中的一个重要的根本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。分块矩阵是矩阵的一种特殊形式，对于一些高阶矩阵，形式表达上就比较抽象，运算上就更为繁杂，然而通过矩阵分块的方法到达降阶的目的。分块矩阵的假设干性质及其应用是一个应用型的课题，是通过对分块矩阵的假设干性质的掌握并应用于现实生活上的实际问题，它的应用围非常广，远远不止于本文所列出的这几个方面，还有更广阔的应用有待于我们更加深入地去研究与探索。

2、二、正文通过阅读居余马著作的线性代数一书中了解到，矩阵这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而创造了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经开展的很好了。但是追根溯源，矩阵最早是出现在我国的九章算术中，在九章算术方程一章中，就提出了解线性方程各项系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状，随后移动，就可以求出这个方程。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多根本性质也是在行列式的开展中建立起来的。现阶段，分块矩阵的性质及其应用在各个方面都起着至关重要的作用，分块矩阵的应用非常广泛和深刻

3、，特别是在高等代数和线性代数中的应用更加广阔，例如在计算行列式以及矩阵的秩等方面，都有着很重要的应用。但国一些专家对其研究主要还是在证明和计算方面。林瑾瑜在分块矩阵的假设干性质及其在行列式计算中的应用中，从行列式计算中的经常用到的性质出发，推导出分块矩阵的假设干性质，并举例说明这些性质在行列式计算和证明问题中的应用。蔡铭晶在例说分块矩阵的应用中论述了分块矩阵的概念，举例说明和分析了分块矩阵在线性代数中的应用，包括利用分块矩阵求逆矩阵、求高阶行列式、证明矩阵的秩、解决矩阵的特征值计算和有关矩阵证明等问题中的应用。利用分块矩阵可以使阶数比较高、比较复杂的矩阵和抽象矩阵的特征值问题的解决变得简明而清

4、晰。徐天保在分块矩阵的应用中，主要证明了分块矩阵在高等代数中的应用，包括用分块矩阵求矩阵的行列式问题，讨论了分块矩阵与秩的关系，用分块矩阵求逆矩阵问题，对分块矩阵的假设干性质进展了总结和推广。胡景明在分块矩阵在求高阶行列式中的应用中，介绍了几个利用分块矩阵求解高阶行列式的方法。此方法的主要手段是将高阶行列式通过矩阵分块的方法来到达降阶的目的，从而简化高阶行列式的运算。这些都是他们关于分块矩阵的性质和应用这个课题探究的理论成果。他们每个人都有自己的研究点和研究方向，他们的研究有他们的优点，同时也有他们的欠缺之处。分块矩阵的假设干性质的探究及其矩阵分块不仅是一种解题方法，更是一种技巧，我们必须掌握

5、并应用于现实生活中，但它的应用围非常广，远远不止于专家们所列出的这几个方面，还有更广阔的应用有待于我们更加深入地去研究与探索。三、总结通过上面对矩阵的历史以及现状的了解，我们发现矩阵还是很容易理解和掌握的。然而，矩阵在实际应用中还会遇到很多问题。在实际生活中，我们的很多问题可以用矩阵抽象的描述出来，但是这些矩阵一般都是高阶矩阵，行数和列数都是一个相当大的数字，因此，我们在计算和证明这些矩阵时，会遇到很多很繁琐的任务。这时，我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好地解决，而分块矩阵能够形象的提醒了一个复杂或是特殊矩阵的部本质构造，从而能充分表达出分块矩阵在代数计算与证明方面所具有的优越

6、性。既然分块矩阵理论的应用如此广泛，因而即使矩阵理论的研究已相当成熟，我们仍有必要深入体会分块矩阵的应用技巧，归纳总结分块矩阵在不同类型题目当中发挥出的巨大应用。四、参考文献1居余马.线性代数M.清华大学,1992.2穆大禄，裴惠生.高等代数教程M.大学,1900.3蔡鸣晶.例说分块矩阵的应用J.信息职业技术学院(读与写杂志),2021.4，11(04);5253.4林瑾瑜.分块矩阵的假设干性质及其应用J.播送电视大学报,2006,(02):109112.5禾瑞，郝鈵新.高等代数第四版M.：人民教育,1995:199208.6大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数M.：高等教育.2001

7、.7胡景明.分块矩阵在求高阶行列式中应用J.工程技术高等专科学校学报，2004,(4):5053.8徐天保.分块矩阵的应用J.师学院学报自然科学版,2021,(05)：106109.9红旭.利用分块矩阵求解非齐次线性方程组.师专学报,2003.6.10乔占科.矩阵分块方法的应用J.高等数学研究,2021,13(1):8990.11小二.分块矩阵的几种用法J.数学教学与研究,2007,41 (2) :6869.摘要：本文主要探究了高阶矩阵降阶的分块方法、分块矩阵的运算性质、分块矩阵的初等变换以及由分块矩阵的假设干性质得出一些推论等，并举例说明了分块矩阵在现实生活中的应用，分析了分块矩阵在求取矩阵

8、的逆、计算行列式，在证明矩阵的秩的性质上的问题以及在求解非齐次线性方程组中的应用。在数学上，矩阵就是由假设干个方程所组成的方程组的系数以及常数所构成的方阵，把矩阵用在解线性方程组的问题上，运用起来既方便又直观。分块矩阵的假设干性质及其应用又是高等代数中的一个重要的容，是解决行列式计算问题的一个很重要的工具，不仅仅只是针对行列式得运算，更为重要的是，解决各种数学问题都要会用到它，特别是在处理级数比较高的矩阵时候，将高阶的矩阵分块降阶之后，能使各子矩阵块或者使高阶矩阵的部各元素之间的关系变得更清晰明了。为解决一些高阶矩阵问题的需要，适当地对高阶矩阵进展分块，从而把一个复杂的矩阵简化成由一些小矩阵块

9、为元素组成，这样就可以使高阶矩阵的构造看得更加清晰，解题的脉络也就更加一目了然，从而使得复杂的高等代数的问题简单化，我们利用矩阵也就更加便捷了。关键词：分块矩阵初等变换行列式运算性质应用. z.-Abstract: this paper mainly e*plores the reduced order of high-order matri* partition method, the property of the partitioned matri* operation, the elementary transformation of partitioned matri* and th

10、e partitioned matri* of some properties to draw some inferences, etc., and illustrates the partitioned matri* in real life, the application of partitioned matri* is analyzed in calculating matri* inverse, calculating the determinant, the proof of matri* rank on the nature of the problem and its appl

11、ication in solving the non-homogeneous linear equations. In mathematics, the equations of the matri* is posed of a number of equations of coefficients and constants of square, the matri* on the problem of solving linear equations, convenient to use and intuitive. Some properties and applications of

12、partitioned matri* is an important content of higher algebra, is a very important to solve the problem of the determinant calculation tool, not only for determinant puting, even more important, various mathematical problems is to use it, especially in dealing with the matri* series is higher, the hi

13、gh-order matri* block after the order reduction, can make each matri* to block or make high order matri* of the relationship between the internal elements bee more clear. For the need to solve the problem of some high order matri*, appropriately to block of high order matri*, thus a ple* matri* is s

14、implified into a small matri* for elements, so that you can make the high-order matri* structure more clear, the problem solving conte*t is more obvious, so as to make the ple* problem of higher algebra simplification, we make use of the matri* is more convenient. Keywords: Partitioned matri* elemen

15、tary transformation The determinantOperation properties application. z.-目录1.分块矩阵的概念及性质11.1分块矩阵的定义11.2分块矩阵常见的分块方法11.3分块矩阵的运算性质31.3.1分块矩阵的加法31.3.2分块矩阵的数量乘法31.3.3分块矩阵的乘法61.3.4分块矩阵的转置31.3.5分块矩阵的初等变换72.分块矩阵的应用92.1利用分块矩阵求矩阵的逆92.2利用分块矩阵简化高阶行列式的计算112.3分块矩阵在证明矩阵的秩的性质上的应用132.4分块矩阵在矩阵特征值问题中的应用152.5分块矩阵在求解非齐次线性

16、方程组上的应用173.全文总结19参考文献20致211、分块矩阵的概念及性质1.1分块矩阵的定义定义：把一个矩阵，在矩阵行的方向分成块，在矩阵列的方向分成块，称为矩阵的分块矩阵，记作，其中称为的子矩阵块，它们分别是各种类型的小矩阵。例1：将一个四阶矩阵进展分块1用水平和垂直的虚线将矩阵分成以下四块，如下:，如果将这四块分别记成：,就可以把上面的四阶矩阵换写成由四个小矩阵块所组成的分块矩阵，记作：,也就是，并将此矩阵称作是的一个的分块矩阵，其中的每一个小矩阵块称为分块矩阵的一个子块，这四个小矩阵就分别为的四个子块。1.2 分块矩阵常见的分块方法除了上面的分块方法，常用的分块方法还有下面的：按行分

17、块、按列分块、按对角线分成对角矩阵，如下:按行分块:按列分块：按对角线分块：当阶矩阵中的非零元素均集中在主对角线的附近时，则，我们可以将高阶矩阵分块成下面的对角块矩阵，又可称为准对角矩阵。例2：有一个矩阵将矩阵分块，矩阵分块的好处有：（1） 分块矩阵能够使得高阶矩阵通过矩阵分块降阶，从而使得矩阵的构造显得更加清楚，如上面的矩阵1中，的左上角是一个3阶单位矩阵，而左下角则是一个2阶零矩阵。（2） 可以通过对小矩阵的运算从而进展对分块矩阵的运算，把高阶矩阵的运算过程转化为低阶矩阵的运算进而得到分块矩阵的运算结果。实质上，高阶矩阵的分块目的就在于简化矩阵，使得高阶矩阵运算变得简便。1.3 分块矩阵的

18、运算性质以上已经对矩阵的分块方法进展了探究，下文将对分块矩阵的运算性质进展研究，包括分块矩阵的加法、乘法、数量乘法、转置以及初等变换等。1.3.1分块矩阵的加法假设、均是矩阵，并且用一样的分块方法对、矩阵进展分块：其中各子块和都是矩阵，即和是同型矩阵，则就有1.3.2分块矩阵的数量乘法假设有矩阵是矩阵，将矩阵进展分块，得到分块矩阵，再根据以上1中分块矩阵的加法，可以得到，即有1.3.3分块矩阵的乘法本文试着探究分块矩阵的乘法的应用规则是将分块矩阵的每一个子块看成一个元素，从而将分块矩阵看成以数作为元素的矩阵，从而进展乘法运算。则，我们假设为矩阵，为,矩阵，分别对矩阵，作如下矩阵分块：，而 (1

19、)则有其中 (2)例3：有矩阵，将其进展分块得到,请证明将的每一个子矩阵块均看作数，从而将看作以数作为元素的低阶矩阵，存在的矩阵和的矩阵 ,使得.证明：首先，是一个矩阵，根据1式中的分块矩阵、以及2式，则为矩阵，而且有；故将看作是以数作为元素的低阶矩阵，同时可称作矩阵；再者，的元必定位于分块矩阵的*一个子块之中，可以设是的元素，则有：3而由2式可以得到:可以知道的元应该是的第行分别和的第列的对应元素乘积之和。由3式可以知道，的第行元素是位于中的第行，的第列是位于中的第列，由1式中对的分块方法，可以得到其中；从而可以说明矩阵的元素是恰好等于矩阵的元素，以上两点足以证明了为检验以上探究的结论是否正

20、确，举下例检验结论；例4：假设有矩阵首先对矩阵进展分块，其中为三阶单位矩阵，为二阶单位矩阵，且,再对对矩阵进展分块，其中为二阶单位矩阵，且计算时依旧按照常用的矩阵乘法法则进展运算，即将矩阵的各子块看作元素，将看作是以数作为元素的矩阵，于是有：而按照矩阵乘法法则直接计算得到：；根据以上计算结果一致，从而验证了分块矩阵的乘法性质与通常的矩阵的乘法性质一致。从上例中可以看到矩阵和分块方法是一致的，也就是说分块矩阵的乘法运算需要遵守一定的规则。值得注意的是：分块矩阵的列的组数应该等于分块矩阵的行的组数；分块矩阵的每个子块的列组所含的列的数目应该等于分块矩阵的每个子块相对应的行组所含的行的数目。1.3.

21、4分块矩阵的转置我们可以先看一个例子：例5：设有矩阵解：首先对矩阵进展分块=，其中先求矩阵的转置而即有通过上述实例，我们可以对分块矩阵求转置的规则进展初步总结：把分块矩阵的每个子矩阵块都看成元素，首先对每一个子矩阵块进展求取转置；将分块矩阵看成是以数作为元素的矩阵，再进展求取转置。1.3.5分块矩阵的初等变换在行列式计算中，我们经常会用到下面三条性质:(1 )如果*行列式的*行有公因子，则则可以将公因子提到行列式号外面；(2)把行列式中的*行乘上*一个非零倍数，再加到另一行中去，则行列式的值不变；(3)把行列式中的*两行的位置互换，则行列式的值符号要变。利用矩阵的分块，我们可以把上面行列式的三

22、条性质分别在分块矩阵应用中进展推广。总结相关分块矩阵在行列式计算方面的相关性质，并将其应用在解决*些行列式计算问题上。分块矩阵的初等变换是用来处理分块矩阵相关问题的重要工具之一。由以上探求的行列式的假设干性质，我们大致的可以总结得到分块矩阵的初等行变换的定义同样，我们由此得出分块矩阵的初等列变换的定义，进而探究分块矩阵的性质，以下三种变换规则便称为分块矩阵的初等行变换：用一个行列式不为零的方阵左乘或右乘分块矩阵的*一个子块的行；把一个子矩阵块的行的矩阵倍即这个子块的行里每一个小矩阵都要左乘或右乘一个矩阵加到另一个子矩阵块的行上；互换两个子块行的位置。性质1 设分块矩阵是由如下分块矩阵组成其中都

23、是矩阵，且是任意一个方阵；对于分块矩阵，则有证明：设为阶单位矩阵，则有于是，即有，则结论成立。性质2 设有分块矩阵是由如下分块矩阵组成其中都是矩阵，且是任意一个方阵；对于分块矩阵，则有证明：设为阶单位矩阵，则有其中为阶单位矩阵，对上等式左右两边同时取行列式得到性质3 设有分块矩阵和写成如以下形式其中都是矩阵，则证明：分块矩阵可通过分块矩阵中的子块与子块相应的两行相互对换而得到，根据行列式的初等变换法则可知，对换行列式的两行，行列式符号相反，故当为偶数时，;当为奇数时，因此，由上可知，对于一般的分块矩阵同样也具有类似性质，相关的性质还有待于我们进一步的探寻。值得注意的是：这些性质不仅仅对矩阵的行

24、成立，对矩阵的列也同样成立。2、分块矩阵的应用行列式以及行列式的计算是高等代数的一个重要组成局部，在高等代数中常常遇到一些计算高阶行列式的问题，如果直接按照行列式运算法则去计算高阶行列式的话，不但计算量非常大，而且花费时间较多，更糟糕的是极易出现错误。如果将高阶矩阵进展降阶，则我们可以通过对高阶矩阵进展分块，便可以使高阶矩阵复杂的构造变得清晰明了，从而简化高阶行列式的运算；分块矩阵是矩阵的一种推广，与普通矩阵不同的是，分块矩阵的元素不仅可以是简单的数，也可以是小矩阵块；分块矩阵的引入使矩阵这一重要工具得到更加广泛的应用于实际问题之中，下文主要探究是几种用分块矩阵求取行列式的方法，即分块矩阵在行

25、列式计算和证明问题中的应用。2.1利用分块矩阵求矩阵的逆通常，我们在求一个较低阶矩阵的逆矩阵时，一般可以通过求取其伴随矩阵和矩阵行列式进而来求得其逆矩阵。但对于一些高阶矩阵求取逆矩阵时，求取其伴随矩阵和行列式这两个步骤是进展起来是非常复杂的。而如果我们对高阶矩阵进展适当的分块，并利用分块矩阵的一些性质，求取高阶矩阵的逆矩阵便有可能，这是探求一种使复杂的问题得到更佳的解决方法。命题1：设是一个分块矩阵，其中是阶方阵，是阶方阵，当与都是可逆矩阵时，则是可逆矩阵，且有：，值得注意的是：1当都是可逆矩阵，则就有；2当都是可逆矩阵，则就有；3当都是可逆矩阵，则就有。例6：设矩阵的逆矩阵。解：首先将矩阵进

26、展分块，令，则，由知可逆，则很容易求得逆矩阵，再利用分块矩阵的初等行变换：故有所以有2.2利用分块矩阵简化高阶行列式的计算假设在计算高阶行列式的时候，不进展化简而直接进展繁杂的计算的话，计算量不仅非常大，而且计算极易出错。而如果我们利用矩阵分块的方法将高阶的行列式简化成几个低阶的矩阵块组成的行列式，便可以使矩阵的构造变得更简单，将高阶的行列式简化成低阶行列式，从而到达简化行列式计算的目的。以下有两个的结论：定理1设都是阶方阵，其中有，并且，则有：证明：由条件可知是存在的，并且，用乘矩阵的第一行后加到矩阵的第二行中去之后得到矩阵：，从而就有：由上可知，结论得证。例7：计算行列式解：设，其中，由计

27、算可知：并且；所以定理2 设分块矩阵分别为阶方阵，则有证明：由上述分块矩阵的乘法运算规则可知：，将两边分别取行列式，得到：。由上可知，结论得证。例8：试计算行列式的值解：首先将矩阵进展分块，令，则由定理2得到：由上可见，对于解决一些特殊的高阶行列式的计算问题，可以将高阶行列式进展适当的分块，将高阶行列式进展降阶，会大简化高阶行列式的计算。使用这种简化的方法，不仅可以使得行列式与矩阵这两个非常重要的概念前呼后拥、相互承接，而且还可以使学习者能对分块矩阵加深理解，同时，又能到达对高阶行列式降阶的目的，从而得以计算出高阶行列式的结果。2.3分块矩阵在证明矩阵秩的性质上的应用在线性代数的学习中，得知矩

28、阵的秩作为矩阵理论的一个根本概念，在矩阵计算过程中起着非常重要的作用。在涉及矩阵以及矩阵的秩的命题的证明题目时，由于本身的抽象性而使矩阵的秩的问题证明起来感到十分困难，然而，利用矩阵的分块方法可以使这些命题的证明得以简单而直观耳朵解决。通常采用的方法一般有以下两种，一是：利用的矩阵作为矩阵的元素来构成矩阵，进而进展命题的证明；二是：将高阶矩阵拆分成级数较低的矩阵块，再来证明有关矩阵秩的命题。以下有几个的结论；结论1：设为矩阵，为矩阵，则有：证明：设有矩阵令，且表示的行向量，表示的行向量，则有：即的行向量组应当可以由的行向量组线性表示，则就有；同理，可令表示来的列向量，表示来的列向量，则有：则就

29、有；综上所述，可得到结论2：矩阵的和的秩不会超过这两个矩阵的秩之和，即有证明：设有分块矩阵，对分块矩阵作初等变换：所以有而又因为综上，所以由上可知，推论结论得证。结论3：假设为矩阵，为矩阵，则有证明：假设有分块矩阵，将其进展分块矩阵的初等变换，得到：所以，又因为，所以，值得注意的是：当时，有高等代数中学习，可知有关矩阵秩的证明问题是一大难点，通过构造适当的分块矩阵使高阶矩阵到达降阶的目的，从而使矩阵秩的证明问难简单化，下面我们将利用以上几个结论证明以下例题：例9：设分别为和矩阵，则有证明：1又2记又所以有，综上所述，命题得证。2.4分块矩阵在矩阵特征值问题中的应用引理1 设为阶矩阵，则为幂等矩

30、阵的充分必要条件是，这里为阶单位矩阵，表示的秩引理2 幂等矩阵与或相似，例10 设均为阶方阵，且，；假设，则的特征值为1或0，且1的个数和它们的秩相等。分析：因为给出的矩阵并不是具体的，所以我们考虑用分块矩阵来解这道题目证明：1可逆时，即，因为，所以;又,，由得到:;由引理1得到同样地，是幂等矩阵由引理2知，则和有一样的特征值，所以的特征值为1或0，且特征值1的个数和它们的秩相等。2当时，即，结论显然成立。3设，即矩阵为非零的又不可逆的矩阵，故存在可逆矩阵，使得，令这里从而这样，且，由1的证明可知，存在可逆矩阵，使得：设,设同上可以得到，故有又因为，从而，同样的有，及所以有，综上所述，对于，结

31、论始终成立。2.5分块矩阵在求解非齐次线性方程组上的应用例11：设非齐次线性方程组为1解：将方程组1写成矩阵方程的形式：2其中，为系数矩阵，；假设是非奇异矩阵，即有，则方程组就有唯一确定的解。将系数矩阵分块：，是非奇异矩阵，则就有是非奇异矩阵，同时也将以及进展矩阵分块：，其中分块矩阵的行数是分块矩阵、的行数，分块矩阵的行数是分块矩阵、的行数，则矩阵方程2就可以写成：3将3式的左右两端分别乘一个上三角分块矩阵，则就有：通过运算得到：4其中将方程4分解成下面两个矩阵方程5由初等矩阵的相关性质可知方程4和5是同解方程；又因为，所以是存在的，故有：再将代入方程中，得到：；由此得到：故得到方程组的解:参

32、考文献1林瑾瑜.分块矩阵的假设干性质及其应用J.播送电视大学报，2006，(02):109112.2禾瑞，郝鈵新.高等代数第四版M.：人民教育，1995:199208.3大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数M.：高等教育，2001.4胡景明.分块矩阵在求高阶行列式中应用J.工程技术高等专科学校学报，2004，(4):5053.5徐天保.分块矩阵的应用J.师学院学报自然科学版，2021，(05)：106109.6红旭.利用分块矩阵求解非齐次线性方程组.师专学报，2003.6.7乔占科.矩阵分块方法的应用J.高等数学研究，2021，13(1):8990.8小二.分块矩阵的几种用法J.数学教学与研究，2007，41 (2) :6869.9唐盛明.社会科学研究方法新解.：社会科学学院，2003.(国经贸中小企2003143号文件)10蔡鸣晶.例说分块矩阵的应用J.信息职业技术学院(读与写杂志)，2021.4，11(04)：5253.11纪伟.分块矩阵在矩阵特征值问题中的应用.大学学报，2003.8，1708：105107. z.