科学研究计划项目申请书编写提纲

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1、编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第67页 共67页国家重点基础研究发展计划（含重大科学研究计划）项目申请书编写提纲项目摘要（1,000字左右） 简述项目所面向的国家重大需求、拟解决的关键科学问题、主要研究内容和目标、课题设置。申请书正文（30,000字左右）一、 立项依据项目所面向的我国经济、社会、国家安全和科学技术自身发展的重大需求，项目研究的科学意义，对解决国家重大需求问题的预期贡献等。衍射光栅（diffraction grating，通常简称为“光栅”）是一种核心的光学元件。衍射光栅通过有规律的结构，使入射光的振幅或相位（或两者同时）受到周期性空间调制。

2、衍射光栅在光学上的最重要应用是作为分光器件，常被用于单色仪和光谱仪上。实际应用的衍射光栅通常是在表面上配置着密集、等间距的线、缝、槽或光学性质变化物质的平板。按照工作方式分类，可分为透射光栅和反射光栅两大类。起初衍射光栅的主要用于实现复色光的空间分离。近年来，随着微加工技术和计算机技术的不断发展，光栅的应用范围也越来越广泛。借助衍射光栅，人们分辨出肉眼无法鉴别的物质，在生产、通讯、科研等方面有着重要应用。如应用于单色仪、光谱仪、分析设备、颜色测定仪、生产工艺控制、质量控制、目标确定等方面。随着微加工技术在微光学领域的不断发展，出现了依托光栅的偏振器、光波导、窄带滤波器、分相位衍射元件等新的微光

3、学器件，其应用范围也开始从光谱学领域扩展到计量科学、光通信、X射线天体物理学、实验力学、装饰、防伪等诸多领域。光栅通常是利用光栅刻划机在镀有铝膜的玻璃毛坯上每mm刻划出不同线数的槽来获取的，常用的光栅一般为300g/mm、600g/mm、1200g/mm、1800g/mm等。随着刻划技术的发展，对光栅刻划密度要求越来越高，具文献资料显示，目前世界上可刻划出的最高刻线密度的光栅为：10800g/mm，并且定位精度可达5nm。在刻划光栅时，一般要求刻划的偶然误差小于1/10光栅常数、周期误差小于1/100光栅常数，用干涉方法检验波面差必须小于1/3条纹。近些年来，随着科学技术的不断发展进步，特别是

4、一些大型高技术工程项目的陆续开展，对衍射光栅的技术性能提出了更高的要求。而且，能否获取适用的大面积衍射光栅，已经成为影响某些大型高技术工程项目成败的关键。同时，由于这些大工程项目对大面积衍射光栅的迫切需要，使研制大面积衍射光栅成为国际光栅领域的重大课题之一。对大面积衍射光栅的需求主要体现在以下几个方面：1）天文物理学方面众所周知，为了更好地满足人类探索宇宙空间的需要，天文望远镜的口径正在不断增大。随着光学加工技术、自适应理论及微定位技术和拼接技术的发展，天文望远镜的口径己由原来的直径不到lm发展到现在的直径超过10m甚至更大。衍射光栅是天文望远镜附属光谱分析仪的核心元件，因此它的面积必须相应地

5、随之增大。如美国旧金山州立大学(San Francisco State University)的乔夫瑞莫西(Geoffrey Marcy)和澳大利亚的波尔巴特勒(Paul Butler)等人在1998年八月份宣布，他们利用一种新型高分辨率Echelle光谱仪，探测到太阳系以外未知行星的数目已达到12个。这个高分辨率光谱仪使用了由三块的阶梯光栅。美国德克萨斯大学计划研制300英寸的天文望远镜，其附属光谱仪需要衍射光栅的尺寸为。表1所示为世界上其它一些大型天文望远镜附属光谱分析仪所需衍射光栅的尺寸。这些需要大大加速了国际光栅界探索研制大面积衍射光栅技术的进程。表1大型天文望远镜附属光谱仪的衍射光栅

6、尺寸望远镜名称及国家KECKU.S.ASUBARUJAPANESOEUROPEVLTCHILEHETU.S.ALAMOSTCHINA主镜口径（m）1088894光谱仪器直镜焦比F/13.7F/10F/15F/10F/8F/5光栅面积（）我过研制“大天区面积多目标天文望远镜”(LAMOST)，配置了多台低、中、高分辨率的光谱仪同时观测4000个目标，需要64块大面积衍射光栅。2)同步辐射光束线工程的需要同步辐射是当电子或离子在磁场中加速到接近光速时，沿轨道切线方向产生的一种电磁辐射，其光谱是连续的，且可延伸到很宽的波长范围。同步辐射光源被认为是性能最好的软X射线源之一，它广泛地应用于短波长、准连

7、续、高剂量的实验中。同步加速器辐射光源的问世，给高分辨率光谱分析带来了巨大的变化。因其光路多为掠入射，因此要求较大面积的衍射光栅，并且衍射光栅的损耗特别大，衍射光栅需要定期更换。3)激光核聚变项目的需要当今国际上，能否充分利用被誉为取之不尽的新型能源核能源，己经成为一个国家综合实力尤其是高科技实力的体现。我国已经正式签署了全面禁止核试验的国际公约，向全世界郑重承诺不在野外进行核弹实验，但对于一个有核的国家，对于核技术的研究、掌握和控制是非常重要的。世界上几个发达国家己经将核技术的研究实验转入室内进行，如美国的LLNL(Lawrence Livermore National Laboratory

8、)国家实验室，在激光核聚变项目上，使用了大面积衍射光栅来对激光脉冲进行时间和空间上压缩，利用压缩后获得的高能激光束轰击靶心来产生核聚变，他们所用衍射光栅的面积己经达到之大，取得了满意的效果。能否获取大面积的衍射光栅已经成为这些项目成败的关键之一。由此可见，能否制造大面积、高刻划密度的衍射光栅，对于一个国家的科学技术的发展起着至关重要的作用，也是一个国家高科技实力的体现。若想获得大面积衍射光栅，最容易想到的方法就是利用光栅刻划机来刻制，自哈里森(Harrison)和斯楚克(Stroke)将干涉光电技术成功地用于控制衍射光栅的刻划过程后，由于近代高精度机械加工设备的出现及加工技术的发展，使得研制高

9、精度、大行程衍射光栅刻划机成为可能。目前，我国长春光机所研制的2号光栅刻划机，能够刻划的衍射光栅的最大面积为，最高刻线密度为:2000g/mm,这是我国采用光栅刻划机能够刻划的最大面积。美国理查森光栅实验室(Richardson Grating Laboratory)所研制的MIT-B型光栅刻划机可以刻制出衍射光栅的最大面积为，这是目前世界上利用刻划机所能刻制出的最大面积的刻划光栅。而日本的日立公司也拥有光栅刻划机，并有最高的刻划技术，其可刻划的最高密度超过10000g/mm，而定位精度可达5nm。由此可见，我国的光栅刻划技术与美国、日本等发达国家相比还有很大差距。为了满足空天地等大型项目对大

10、面积高精度衍射光栅的需要，必须加大对刻划大面积光栅、高刻线密度的光栅刻划机的研究力度。于此同时，由于光栅刻划机要求在几百毫米的范围内刻划超过几千槽每毫米的刻槽，且定位精度在10nm以内。所以光栅刻划机在刻槽间隙方向的定位技术属于大行程纳米级的超精密定位技术。因此，对刻划大面积、高刻划密度的光栅刻划机的研究，另一方面也可以促进大行程纳米级定位技术的研究，从而推动微电子制造、光电测量仪器、各种超精密加工等领域的发展，也从另一方面提升我国的综合实力。二、 国内外研究现状和发展趋势国际最新研究进展和发展趋势，国内研究现状和水平，相关研究领域取得突破的可能性等。光栅刻划机被称为“精密机械之王”，世界上除

11、了美国、日本、法国、德国、英国、瑞士和俄罗斯等国家拥有光栅刻划机之外，中国是唯一一个拥有光栅刻划机的发展中国家。其中，美国 Richardson 光栅实验室和日本 Hitachi 公司所研制的光栅刻划机处于世界的领先水平。美国的光栅刻划机研究现状目前，美国 Richardson 光栅实验室共有 3 台光栅刻划机全日运行，每年都会生产出大量的高质量光栅。这 3 台光栅刻划机分别是：Michelson 刻划机、Mann 刻划机和MIT-B刻划机。 Michelson刻划机1947年，Bausch & Lomb从美国芝加哥大学获得他们的第一台光栅刻划机。这台光栅刻划机最初是由 Michelson于

12、1910 年代设计，后来被 Gale改造。在经过进一步的改良之后，这台光栅刻划机的性能得到了极大的提升。并连续生产了大量的高质量的最大刻划面积达 的光栅。Michelson 刻划机最初设计的时候采用了一个适当的机械修正凸轮来导出丝杆的误差，并通过一套干涉仪系统进行绘制。在 1990 年，这套系统被一套基于激光干涉仪的数字计算机伺服控制系统所取代。Michelson 刻划机能够刻划的光栅的刻划密度范围非常大，最低的刻划密度为：，最高的刻划密度可达。Mann 刻划机Mann刻划机最初是由美国马萨诸塞州的Mann公司的David W.建造的。从1953年开始，这台光栅刻划机就开始生产光栅了。Baus

13、ch & Lomb采用Harrison光栅实验室的 MIT9光栅刻划机的技术为 Mann 刻划机装备了一套干涉伺服控制系统。Mann 刻划机可以刻划最大面积为 的光栅，几乎无法检测到鬼线，而且分辨率接近理论值。即使丝杆的加工精度达到可以达到的最高的精度，螺纹和轴承仍然会有残留误差。在生产高质量的光栅的时候，必须对这些误差进行补偿，所以 Mann 刻划机采用了一套自动干涉仪伺服系统。在对每条刻槽进行刻划的时候，该系统不断地对光栅工作台进行调整，使其保持在正确的位置。事实上，这个伺服系统相当于一根完美的丝杆。MIT-B刻划机MIT-B 刻划机是由美国 Harrison 光栅实验室建造，并于 196

14、8 年搬到美国的罗契斯特市，在刻划平面光栅时，MIT-B 刻划机可获得 Harrison 光栅实验室中所有刻划机的最高精度。最大刻划面积达 ，刻划密度的范围是：。MIT-B 刻划机采用两个频率稳定的激光干涉仪进行刻划控制，不但可以对工作台分度方向的位置进行正确控制，同时还可以矫正工作台摆角误差。这台刻划机所刻划的光栅分辨率接近理论值，几乎消除了罗兰鬼线，同时杂散光也非常弱。除此之外，这台光栅刻划机还能刻划出非常好的中阶梯光栅。MIT-B刻划机实物如图所示。MIT-B刻划机实物日本的光栅刻划机研究现状1992年，日本Hitachi公司成功研制了一台可以刻划大面积、高刻划密度的光栅刻划机，该光栅刻

15、划机采用一个闭环控制系统对实现工作台微位移驱动和实现工作台大行程运动的丝杠螺母机构进行混合驱动，实现连续运动 -间歇刻划的刻划方式。最大刻划面积为：，最高刻划密度为：。图为 Hitachi 公司 1992 年研制刻划机的布局图，图 为该刻划机的实拍照片。因为在刻划光栅时需要对温度进行严格的控制，所以，刻划机的主要部分被安放在一个温度被稳定控制在 范围内的房间内。刻划机下面的地板是由 4 个空气波纹管支撑，从而隔离外部的震动。一些会产生热量或者震动的设备：计算机、控制系统和主直流电机等都被放在了房间的外面。日本Hitachi公司1992 年刻划机原理布局图在设计工作台时，Hitachi 公司的研

16、究人采用了一种比较新的设计概念，将工作台分为上层台和下层台，如图 ？ 所示。下层台和传统的工作台相似，通过丝杆螺母机构驱动在导轨上移动，从而实现分度方向上大行程的移动。上层台则是通过四个弹簧片支撑，安装在下层台的上方，上层台可以在分度方向无摩擦地移动，光栅毛坯安装在上层台上，这样的设计可以提高光栅毛坯在分度方向的动态特性，在几十纳米范围内准确快速地定位，并且不会因为不稳定因素。在上层台和下层台之间安装一个压电陶瓷，驱动上层台相对于下层台在分度方向微位移移动。在刻划的过程中，下层台以恒定速度进行分度，在落刀刻划时，压电陶瓷驱动上层台以大小相等方向相反的速度移动，从而保持刻划时，光栅毛坯相对于刀桥

17、静止，如图？ 所示。图？是Hitachi公司1992年刻划机的控制系统框图，该控制系统由一个计算机中编程实现的顺序控制系统、两个反馈控制环和作为驱动器的一个压电陶瓷机一个伺服电机组成。日本Hitachi公司1992 年刻划机主要部分实物日本Hitachi公司1992 年刻划机工作台设计原理图日本Hitachi公司1992 年刻划机工作台位移原理图？是Hitachi公司1992年刻划机的控制系统框图，该控制系统由一个计算机中编程实现的顺序控制系统、两个反馈控制环和作为驱动器的一个压电陶瓷机一个伺服电机组成。日本Hitachi公司1992 年刻划机控制系统框图国内的光栅刻划机研究现状目前，国内只有

18、长春光机所一家研究机构仍在进行衍射光栅刻划机的研究。长春光机所目前共有自行研制的 5 台机械式和光电控制式光栅刻划机在正常运转。长春光机所2号光栅刻划机图？ 是长春光机所 2 号光栅刻划机，它建造于 1965 年。当时的最大刻划面积为：，在 1992 年进行扩程改造后，其刻划面积达到。该机曾为南京天文仪器研究所刻制过; 的天文光栅。为 LAMOST 望远镜刻制过 ; 的实验用透射光栅。在 1999 年，长春光机所对 2 号光栅刻划机进行了光电控制改造。由于对光栅刻划精度和刻划质量要求的提高，长光所于 2009 年开始再次对 2 号光栅刻划机进行了改造，图？即为经过改造后，2号光栅刻划机的实物图

19、。长春光机所2号光栅刻划机实物2 号光栅刻划机采用罗兰型的刻划方式，改造后，工作台采用双层台的结构，分为外工作台和内工作台，内工作台通过四个弹簧钢片悬挂在外工作台的内部。外工作台安装在两个平行滑动导轨上，通过一个丝杆螺母副带动外工作台和内工作台在分度方向实现大行程的运动。在外工作台和内工作台之间安装了一个压电陶瓷驱动装置，通过压电陶瓷的伸缩驱动内工作台相对于外工作台实现微位移。长春光机所大光栅刻划机（在研）长春光机所正在研制一台要达到国际领先水平的大型高精度衍射光栅刻划机及其运动系统，这台刻划机的研制目标是：刻划面积为；最高刻划密度达 ；周期误差需要小于 ；连续无故障运行时间不小于 30 昼夜

20、；光栅衍射波前误差小于（范围，）。如图？为大光栅刻划机的整体结构三维设计立体图。长春光机所大光栅刻划机整体结构三维设计立体图这台光栅刻划机总体设计方式采用罗兰方式，即工作台承载待刻光栅做单方向分度运动，光栅刻刀做往复运动，运动方向与分度方向垂直。每运行一个周期刻划一条栅线。刻划机由动力系统、分度系统、刻划系统、控制系统以及监视系统等 5 个部分组成。其中分度系统、刻划系统和控制系统是刻划机最为关键的部分。这台刻划机也是将工作台分为内外两层台结构，内台通过四个弹簧钢片悬挂在外台内部，待刻光栅毛坯则放置于内台上，并在内外台之间安装两个压电陶瓷驱动器（分别置于内台两侧），实现内台相对于外台的微位移驱

21、动。采用两路双频激光干涉仪进行测量定位，通过两个压电陶瓷驱动器对内台进行精确定位并对摆角进行校正。三、 拟解决的关键科学问题和主要研究内容详细阐述围绕国家重大需求所要解决的关键科学问题的内涵。主要研究内容要围绕关键科学问题，系统、有机地形成一个整体来详细阐述，重点要突出，避免分散或拼盘现象。光栅制造技术是当今最为精密的技术之一，光栅刻划机则被称为“精密机械之王”。光栅刻划机作为一项精密工程，涉及到微电子制造、光电测量仪器、各种超精密加工等领域，拥有高精度光栅刻划机既体现了一个国家科学技术的发展程度，又是科学研究和经济建设不可缺少的手段。精密定位技术更是光栅刻划机中的关键技术之一，定位系统在各种

22、光栅刻划机中都到关键性的作用。精密定位是一个交叉性的综合研究领域，需要精密机械、控制、计算机、微电子技术和光学工程等多学科的支撑，如果考虑到定位系统之外周围环境对它的影响，如振动、温度、湿度、气流等，则涉及到更多的数学、物理、化学、光学、力学等方面的知识。由于精密定位技术应用领域的广泛性、对高科技发展影响的重要性，因而一直是各个发达国家的科研机构、高等院校和大型企业研究的重点。精密定位技术在不同领域的应用中有不同的类型，以下根据运动行程和运动方式来对精密定位技术进行分类。从工作行程来说，精密定位的应用分为两个领域。一个是微行程领域，定位行程从几微米到几十微米，相应的定位机构称为微动台、微位移器

23、及微进给机构等；另一个是几毫米至几百毫米的领域，称为大行程精密定位，是应用更为广泛的精密定位方式，如在精密测量领域，为了加大扫描隧道显微镜(STM)的测量范围，要求其工作台与测头一起实现大范围的超精密定位；在集成电路的各种制造设备中，根据晶圆的直径，要求工作台能在几十毫米内进行两维或多维的纳米级精度定位。精密定位的概念在不同时期有着不同的理解和数量界定，但并没有一致或权威的规定。一般都是将精密定位细分为精密级和超精密级。当前，亚微米定位精度是精密定位的最低限度，而纳米级的定位精度则代表着精密定位技术的最高水平。而作为“精密机械之王”的光栅刻划机，要求的自由度更多、定位行程更大、定位精度更高。其

24、研制难度不仅在于要实现大行程，还要保证在行程内的刻线周期误差。定位的范围从几微米、几十微米扩大到几毫米、几十毫米甚至几百毫米，并不是一个简单的数值放大问题，还要在总体方案中综合考虑及其各个关键部件的精度分配、加工精度、装调精度、检测方式、运行部件的精度传递、摩擦、变形、热膨胀、电子学控制精度以及环境等对光栅刻划所带来的影响，工作台的机械结构、位置反馈检测方法和定位控制策略等整个系统的软硬件都要发生很大变化。因此在刻划机的设计和研制中，要充分考虑以下和大行程纳米定位技术有关的研究内容：（1） 工作台的结构和驱动：众所周知，要实现超精密定位，首先要有能实现纳米量级驱动分辨率的微位移机构。实现微位移

25、的机械传动机构、导轨支承形式和驱动方法具有多样性，从机械结构上来说大行程纳米定位有多种可选的方案，综合目前世界上的主要纳米级超精密定位机构，工作台可分为两种类型：一种是单层工作台，采用一次定位或步进定位的形式；另一种是采用叠加式(双层)工作台，采用双驱动或混合驱动的方法，将定位分为两个过程：即粗定位和精定位，或宏定位和微定位。实际上，微定位的过程就是误差补偿或精度补偿的过程。单层工作台的大行程定位系统多采用的是静压驱动技术的气浮导轨定位工作台，尽管这种定位方式存在系统复杂、附属设备多等缺点，但仍有很多学者致力于对其进行研究，并取得了一定的研究成果，获得了许多成功的应用；宏微两级定位是目前研究和

26、应用得更为广泛的大行程纳米定位方法，这得益于微位移技术和计算机控制技术的迅速发展，特别是压电陶瓷和柔性铰链两者的结合，极大地推动了纳米定位技术的实用化。而近年来，以压电陶瓷为驱动器、结合各种新型柔性铰链结构的微动工作台一直是超精密定位研究的热点之一；（2） 大行程纳米传感器：在工作台定位时的位移检测方面，尽管目前用于纳米位移测量的方法很多，如各种扫描显微镜类仪器(扫描隧道显微镜STM、原子力显微镜AFM、扫描电子显微镜SEM、扫描电容显微镜SCM等)，电容、电感测微仪，X射线干涉仪以及激光干涉仪和精密光栅尺等，但受到测量范围和测量速度的限制，只有最后两种装置在大行程纳米定位系统中得到了广泛的应

27、用。由于分辨率的限制，光栅尺多用于微米和亚微米级的位移测量。而双频激光干涉仪具有非常高的分辨率、高精度、应用范围广、环境适应能力强、实时动态测速高等一系列无可比拟的优势，以其良好的性能，在很多场合，特别是大长度和大位移的精密测量中得到广泛的应用。（3） 定位控制方法：对微米级的运动定位，普通的PID控制一般能够满足精度要求，但对亚微米至纳米级的定位精度，系统模型的不准确，系统中饱和、死区、迟滞等非线性因素以及振动、温度、湿度、气流等干扰对定位误差的影响异常突出，系统的不确定性和时变性加剧，传统的PID控制往往难以胜任。以工作台固有特性、动态特性和驱动方式为基础，设计一种新的有效的控制算法，实现

28、工作台快速、稳定、大行程的纳米级精密定位；同时，综合运用宏观和微观力学的分析方法，针对超精密定位工作台的刚性、柔性和非线性特性展开分析，并综合利用解析与仿真的虚实混合的仿真建模分析方法，建立一个新型的考虑微观效应的纳米级超精密定位工作台的建模和仿真方法；并在此基础上对工作台进行深入的机构分析和运动分析，并分析机械系统中各项参数对工作台定位精度的影响，以进一步辅助调整和设计机械结构；（4） 摩擦模型摩擦是一种非常复杂的现象，具有非线性特性，摩擦表面在不同的表面质量、负载和润滑条件下具有不同的特性和摩擦模型。精密定位系统中摩擦的存在会产生低速爬行和极限环振荡，同时造成稳态误差和跟踪误差，此外它还使

29、定位控制策略复杂化。目前，传统的摩擦模型基本上只能使定位精度达到微米级，对亚微米级定位精度已难以胜任，因此众多学者正致力于研究各种新的摩擦模型，以便于在控制时实施预测补偿；（5） 误差补偿：定位系统中的各个环节都存在误差，通过分析各项误差及其来源，而后提高关键零部件的制造、安装精度以及对误差实施补偿是提高定位精度的两种常用方法。目前，误差补偿方法已从系统误差补偿向随机误差补偿、单项误差补偿向全误差补偿、静态误差补偿向动态误差补偿的方向发展，在补偿的方法上软件补偿十分有效，发展势头强劲，逐渐成为主要的补偿方法；（6） 振动控制：影响定位精度的振动可以分为两个方面，一个是环境振动造成定位系统中部件

30、的振动，另一个是定位系统内部的振动。解决前一个问题常用的方法是隔振，如地基隔振和支承定位系统的气浮平台隔振等，近些年来随着隔振技术的发展，还出现了对隔振平台实施主动隔振技术的方法。对定位系统内部振动的研究，已经从将振动当作故障源进行研究，发展到将它与定位控制合起来，研究怎样提高系统的控制精度。四、 总体目标、五年预期目标总体目标和五年预期目标应从对解决国家重大需求的预期贡献，在理论、方法等方面预期取得的进展、突破及其科学价值，优秀人才培养等方面分别论述。五年预期目标要求有具体的考核指标和人才培养计划。五、 总体研究方案结合主要研究内容阐述学术思路、技术途径及其创新性，与国内外同类研究相比的特色

31、和取得重大突破的可行性分析等。 一 机械机构一、 超精密衍射光栅刻划机工作方式及系统组成光栅刻划机根据工作方式的不同一般有如下四种工作方式：1）罗兰型：光栅刻刀在刻划方向上往复运动，工作台垂直于刻划方向作单方向运动，通过两个方向的运动合成，实现光栅刻划。这种形式符合运动学的观点，较重的工作台缓慢移动，较轻的刻划系统快速往返运动，刻划过程比较平稳。其缺点是容易引起光栅的扇形误差。罗兰型的具体示意图见图2.1。 图2.1 罗兰型示意图2）斯特朗型：工作台往复运动，光栅刻刀在垂直于工作台运动方向上做单方向进给运动，通过两个方向的运动合成，实现光栅刻划。这种运动方式能自动消除扇形误差，但较重的工作台快

32、速往返运动，较轻的刀桥缓慢移动，运动不平稳。具体示意图见图2.2所示。 图2.2 斯特朗型示意图3）斯托洛克型：工作台不动，由刀桥进行单方向进给和刻刀往复运动实现刻划，具体见图2.3所示。这种刻划机的设计及制造很复杂。图2.3 斯托洛克型示意图4）反斯托洛克型：即刀桥静止，工作台进行单方向进给和在刻划方向往复运动实现光栅刻划。这种方式由于缺点较多，很少采用。 图2.4 反斯托洛克型运动示意图国际上比较著名的光栅刻划机的工作方式都采用罗兰方式，这种运行方式的优点是运行精度易于保证，结构相对简单。表2.1 国内外典型光栅机的对比国别装备名称工作方式特点刻划面积及刻线密度美国MIT-B罗兰式连续刻划

33、方式，有双层工作台及摆角校正功能250425mm25880g/mm美国MIT-C罗兰式连续刻划方式，有双层工作台及摆角校正功能450635mm2（名义值）紫外-近红外中阶梯日本Hitachi罗兰式激光干涉仪测量定位，双层工作台，采用“连续运动、间歇刻划”。200300mm26000g/mm中国CIOMP-4罗兰式单层工作台，光栅干涉仪测量定位，有减重措施150150 mm22400g/mm中国CG-500罗兰式可实现间歇式和连续式刻划，双层工作台，双频激光干涉仪测量定位，有摆角校正功能，有卸荷措施。400500 mm26000g/mm中阶梯光栅该方式又可细分为间歇式刻划、连续式刻划和连续运动间

34、歇刻划。其中间歇式刻划机是较早期的机器形式，最早刻划机工作台的分度精度完全依靠机械系统的加工精度和装调精度来保证，属于纯机械式刻划机。这种机器的运行精度已经不能满足现代光谱仪器对光栅制作的技术要求。后来又出现了采用简易光电开环控制的间歇式光栅刻划机，运行精度有所提高。在上世纪70年代，连续式光栅刻划机逐步成为光栅机的主流产品，并通过这些刻划机制做出许多高质量的平面光栅和凹面光栅。以上刻划机的工作台都是单层台结构。对于中小型光栅刻划机，这种形式的工作台是可以胜任的。但对于大型光栅刻划机，由大质量工作台带来的微观非线性误差成为制约工作台定位精度的主要因素，不利于精度的进一步提高。另外工作台的大行程

35、所带来的测量误差也对定位精度产生一定的不利影响。到上世纪90年代日本HITACHI公司开发出的使用双层工作台进行精密定位，刻划方式为连续运动、间歇刻划的光栅刻划机，实现了运行精度为5nm、 刻线密度10000线/mm光栅的制作精度要求，从定位精度上讲，这台刻划机代表了当今世界的顶级水平。二、 光栅刻划机关键结构部件光栅机的整机结构三维立体示意图本项目中光栅刻划机的总体运行方式采用罗兰方式，即工作台承载待刻光栅做单方向分度运动，光栅刻刀做往复运动，运动方向与分度方向垂直。每运行一个周期刻划一条栅线。基于这种工作方式，刻划机主要工作单元按典型的T型结构配置于基座上工作台表面。该布置方式可简化系统结

36、构，有利于提高系统工作的稳定性，提高导轨的制造精度和运动精度。此外检测Z、X向运动位置的双频激光测量系统可以装在固定不动的床身上，仅将测量位置用的反射镜装在Z、X方向的移动部件上。这样不仅使测量系统安装简单很多，而且可以大大提高测量精度。刻划机的结构主要由分度系统和刻划系统组成。刻划机的整体结构布局如图所示。分度系统主要包括直线电机、气浮导轨副、工作台、压电驱动柔性铰链机构。工作台由直线电机拉动在Y方向沿导轨做单向运动。刻划系统主要包括刀架摩擦驱动机构、刀架气浮导轨副、刻刀微位移机构。由刀架摩擦驱动机构带动刀架在x方向沿刀架气浮导轨做往复等速运动，刻刀微位移机构的作用是实现光栅刻刀的抬落和刀刃

37、的切换。设计、制造这台高精度衍射光栅刻划机，在技术上遵循的基本原则是：从原理出发，充分考虑“阿贝原则”、“运动学设计原理”、 “弹性平衡原则”及“热平衡原则”等各种有利于提高精度的机械设计原理，参考现有光栅刻划机的制造基础及关键部件，如精密工作台的现代发展成果，融入原始创新设计思想，设计建造一台国际领先水平的衍射光栅刻划机。1.分度系统分度系统主要功能是实现工作台的超精密定位。工作台的定位精度直接影响光栅光谱质量、杂散光和鬼线强度，是光栅刻划机机构设计中最为关键的部分。目前大行程超精密工作台设计的方案主要有两种设计思路：1)单级进给方式，采用直线电机非接触进给或利用静摩擦驱动进给等；2)两级进

38、给方式，即将定位分为两个过程：粗定位和精定位，或宏定位和微定位，以达到高的定位精度和分辨率。实际上，微定位的过程就是误差补偿或精度补偿的过程。两级进给的方案与单级进给相比，优点是可以结合目前成熟的大行程工作台技术与压电陶瓷驱动器的优点，降低技术难度和研制风险，但是不可避免地使工作台的结构复杂化并增加了控制系统的控制难度。本项目采用一级工作台两级进给的工作方式。优点是单级工作台结构简单，理论建模及控制系统设计方便；两级进给驱动可以充分利用压电陶瓷的高精度定位功能。分度系统由直线电机粗定位机构、工作台气浮导轨和压电陶瓷微位移精定位机构组成，刻划机的基本分度动作即工作台的粗定位，由直线电机完成。（1

39、） 直线电机粗定位机构：传统的光栅刻划机粗定位机构由蜗轮蜗杆副和丝杠螺母副组成。传统刻划机粗定位机构蜗轮蜗杆副位移分度系统传动链的前端，因为周期误差会影响光栅刻线的周期误差，所以减小周期误差是蜗轮蜗杆副的关键。机构定位精度对蜗轮蜗杆的机械加工精度有所依赖。而丝杠螺母副是传统大刻划机的“心脏”，是直接产生周期误差的最为关键的部件。该种传动的特点是具有较长的运动范围，可以满足大行程的需求；降速比大，在转角很大的情况下，可得到很小的直线位移量；可获得较高的定位精度，空回误差可以消除或控制得很小；具有增力作用，主动件上转矩很小时，从动件能产生很大的轴向力。缺点是丝杠的安装误差、丝杆本身的弯曲、滚珠的跳

40、动及制造上的误差、螺母的预紧程度等都会给导轨运动精度带来影响，位移分辨率较低，其运动刚度决定于设计参数。该类装置的自动控制进给过程比较复杂，响应速度低，难以用于特别精密的微进给驱动。与传统进给驱动相比，直线电机驱动具有以下优点：省略了中间转换机构，减少了机械磨损，系统运行时可以保持高增益，实现精确的进给前馈，对给定的加工路径可以用高速进行准确跟踪，从而保证了机床的高精度和使用寿命。运行时，直线电机不像旋转电机那样会受到离心力作用，因此其直线速度不受限制。直线驱动的惯性主要存在于滑台，因此加工时可以有很高的加速度。直线电机靠电磁推力驱动，故系统噪声很小，改善了工况环境。直线电机可以认为是旋转电机

41、在结构方面的一种变形，它可以看作是一台旋转电机沿其径向剖开，然后拉平演变而成。如图所示：直线电机示意图该结构电机特点为：(1)直线电机位移装置由三部分组成：力与运动发生装置、刀架及运动导轨副、力与运动控制系统。(2)用直线型电磁装置来产生所需的驱动力和直线运动。(3) x、z方向的驱动力通过径向支承结构和导轨副来承受。(4)驱动力与位移精度均由控制系统调节。 由于直线电机驱动的高速超精密气浮平台，其直线进给单元加速度变化的不连续性以及缺少中间弹性阻尼环节，易产生超调和振荡，限制了直线进给精度，难以满足超精密的要求；并且直线气浮系统传动阻尼小，抗干扰能力较差，并随驱动功率的增大而变得更差。因为干

42、扰力和负载变化直接影响其动态性能，最终极大地影响了高定位稳定性和动态精度的实现。所以需要对直线电机的驱动技术进行研究，对其进行进给结构设计，利用有限元法对其进行电磁流固耦合分析，验证电机推力，分析直线电机进给机构的动态特性。（2） 工作台：刻划机的工作台为单层台结构，优化设计使其满足大刚度和轻质量基本要求，还使导轨的移动副和光栅毛胚刻划面处于同一平面上，即符合阿贝原则。（3） 工作台气浮导轨：工作台导轨起承载和导向作用，是大光栅刻划机最重要的组成元件之一，其直线性精度直接决定了光栅的刻划精度，有严格的要求。传统的光栅刻划机多采用滑动导轨或滚柱式导轨。滑动导轨具有机构简单、紧凑、刚度高，停止时的

43、稳定性高、热稳定性高及价格低等优点，作为超精密加工用的元部件可以充分利用其优点。但是滑动导轨也有缺点，即动摩擦系数和静摩擦系数的差值较大，有爬行，定位精度有限，低速时运动的平滑度比其他导轨差。滚柱导轨的优点是刚度大、抗干扰能力强、结构简单、维护方便，也便于后续的精研磨处理；缺点是虽然摩擦系数较小，但还是在一定程度上存在动、静摩擦系数的差异，在极低速运行的情况下（工作台的运动速度范围为5.56nm/s8333.33nm/s）还会有一些不确定的非线性位移状态的存在。另外由于滚动体与导轨之间的接触为点接触或线接触，其抗振性与滑动导轨相比较差。而气浮导轨的优点是导轨副的摩擦力几乎为零，系统的随动性能极

44、好，可以从根本上解决“爬行”问题，气体支承可在最清洁的状态下工作，具有冷态工作的特点，运动精度高，寿命长，可以在很宽的温度范围和恶劣环境中工作，能够保持很小的间隙。但缺点是刚度低、抗干扰能力差、结构复杂，维护不方便，而且由于有外来气体向恒温室内的泄漏，会对恒温精度和激光干涉仪的测量精度产生不利影响。解决的措施是采取一些主、被动措施来降低该影响的程度，如将外泄的气体回收并导出恒温室，并将激光干涉仪的光路利用伸缩筒封闭起来等。从精度的角度考虑，并参考国际上现有的超精密定位平台，本项目拟采用气浮导轨，导轨的示意图如下图所示。气浮导轨结构图针对气浮导轨的缺点，对导轨承载能力、刚度特性进行分析（4） 压

45、电陶瓷微位移精定位机构：压电陶瓷微进给机构是目前应用最广的微进给机构，压电陶瓷具有出力大，响应速度快，无发热，位移分辨率高的优点，是微位移机构的理想驱动元件。此外，压电陶瓷驱动的柔性并行机构不仅具有更高的精度、刚度，还包括无间隙、几乎无摩擦、无润滑、无热量产生的优点。根据刻划精度要求，分度精度应该优于10nm，首先需要确定执行机构压电驱动器的分辨力要高于这个分度精度。拟选用PI公司的P-841.20压电驱动器元件，它的分辨力是0.3nm，在10KHz信号频率时最大响应幅度约为0.9m，可以满足使用需求。2.刻划系统刻划系统由刀架摩擦驱动机构、刀架气浮导轨、刻刀微位移机构组成，该系统的功能是实现

46、金刚石刀具的等速往复运动并完成光栅的刻划。其中刀架气浮导轨同时对刀架承重和导向。刻刀微位移机构的功能是实现金刚石刀具的抬落和刀刃的切换。工作时伺服电机带动驱动轮，由摩擦力推动刀架机构等速往复运动；由压电驱动器控制金刚石刀具的抬落，并在待刻光栅上刻一条刻槽。（1） 刀架摩擦驱动机构：传统的刻划系统是通过偏心连杆机构作往复直线运动，连杆带动中间滑块，中间滑块牵引刻桥运动。高精度的刻划常设计刀架等速机构，其作用是使刻刀在刻划过程中保持匀速运动，以确保光栅刻线的刻划质量。在单一刻线的刻划过程中，如果刻刀通过刻线上各点的速度不同，铝膜的被擦光程度和被挤压程度都不相同，这会影响光栅的整体质量。采用等速机构

47、可以解决这个问题。另外，在刻划方式上如果采用连续式刻划，刻刀的不等速会造成刻槽直线的弯曲，必须采用等速刻划。但这样的刻划系统传动链较长，结构复杂，传动精度对装配精度要求较高，在刻划不同面积的光栅时，等速机构摆杆调节较麻烦。本项目拟采用摩擦驱动作为刀架往复等速驱动机构。摩擦驱动可以实现无反向间隙、噪声小的等速传动。由于结构上比较简单，因而弹性变形因素大为减少，所以一直被认为是一种非常适合超精密加工的传动系统。一般的摩擦驱动机构的结构和齿轮齿条相似，可以把电机的匀速回转运动直接转换为匀速直线运动。摩擦驱动机构其工作原理如下：与导轨运动体相连的驱动杆夹在两个摩擦轮之间，用弹簧压板压紧，使驱动杆无滑动

48、。两个摩擦轮均有静压轴承支承，可以自由转动。下摩擦轮有电机驱动，靠摩擦力带动导轨作非常平稳的直线运动。采用摩擦传动机构，机床导轨的直线运动非常平稳，并且达到极高的直线运动精度。最典型的应用即美国LODTM大型超精密机床采用的就是摩擦驱动。（2） 刀架气体静压导轨：刻槽的直线性由刀架导轨的平面度保证，导轨的平面度为1/8。另外，在系统的回转轴上安装有21位光电轴角编码器，作为系统的抬落刀时间基准和连续工作模式的基准位置信号，落刀时间与分度系统的配合由计算机控制。目前国内现有刻划机刀桥的运行方式是刀桥带着刀架在曲柄连杆驱动下作往复直线运动，刀桥导轨分别放在工作台的两侧，刀桥横跨工作台，质量和尺寸都

49、较大。由于刀桥刀架一起运动，运动质量比较大，惯性大，换向时容易产生振动和冲击。国外的一些刻划机，如日立机以及MIT-C机等，都采用两根导轨，其中一根高精度平面导轨为小刀架导向，另一根圆导轨承载刀桥及小刀架的全部重量。本方案考虑到需要进行金刚石刻刀的换刃问题，设计了刀架微位移机构，导致刀架系统的重量增加，因而不能沿用已有的导轨形式。设计采用闭式气体静压导轨，导轨的上平面为承重面，垂直的一个侧平面为导向面。图2.13为刀架导轨的示意图，中间为刀架微位移机构。刀架气体静压导轨结构图采用球面与V型支座组合形成的铰接支撑结构，可极大地降低装配工艺难度，减少由于装配过程引起的导轨扭曲变形。右端压电微驱动机

50、构实现水平微位移，左端柔性铰接弹性变形实现X 、Y导轨直线误差的精度补偿。这样刀架导轨微位移精度补偿机构与左端柔性交接组合，通过铰接处的弹性变形，为刀架导轨提供横向微量角位移与精细定位。在微位移补偿运动过程中，支撑钢球并不产生实际的滚动，各支撑钢球以弹性元件形式对导轨的形成弹性支承，不会对微位移过程产生迟滞或爬行等不利的影响。（3） 刻刀微位移机构：刻刀微位移机构包括金刚石刀具的抬落机构和刀刃的切换机构。因光栅的最大刻划面积为300300mm，当刻划79线mm的中阶梯光栅时，刻刀在铝膜表面上运行的距离达23.7km，并且刻划力很大；当刻划300线mm的天文光栅时，行程更高达90km，会引起刀具

51、的明显磨损。为了解决刀具在刻划过程中的磨损，延长刀具的使用寿命，设计了两种金刚石刀具：一种是四面体刀，这种刀由四个平面交于一点，两边的棱决定刻线的轮廓、刻划时前刃和后刃近于一条直线（通常为178）。后槽是很钝的二面角，类似于圆弧型刻刀。这种刻刀，挤压作用由钝的二面角完成，代替了普通刻刀锐的棱尖，相比较而言强度更高、耐磨性更好，延长了刀具的寿命。缺点是前刃和后刃的直线性不容易保证，需要进行工艺上的探索。另一个方案是研制一种具有圆弧形结构的刻刀，利用复合式刀架的高精度转刃机构实现刀刃的切换。该方案的优点是刀刃的定位精度相对容易保证，刀架结构相对简单。缺点是每一把刀只能刻划一种角度的光栅，不具备互换

52、性；因制作刀具的金刚石为单晶结构，每个方向的硬度各异，刻划工艺和刻刀的制作工艺不成熟，并需要重新设计制作一台高精度磨刀机。图为不同金刚石刻刀的示意图，图为刻刀微位移机构的机构图。 a:常用刻刀 b:圆弧刻刀 c:四面体刀图2.14 金刚石刻刀图图2.15 复合式刀架结构图三、 刻划机工作台的运动方式1. 间歇式运动这里所说的工作台间歇式运动，是指光栅机工作台运行一个光栅常数后停止，然后由刻划系统完成一条刻线的刻划。下图为工作台间歇式运动时刻划过程的原理框图。工作台间歇运动时刻划过程的原理框图具体工作过程如下：首先由直线电机驱动工作台在气浮导轨上运行一个光栅常数名义值，完成工作台的粗定位。该过程

53、属于开环控制。工作台导轨带来的运行误差，需做进一步的补偿。工作台上放置待刻光栅，并安装测长干涉仪和测角干涉仪的测量镜，由这两台干涉仪分别测出工作台的定位误差和摆角误差。工作台与底部的直线电机通过柔性机座相连，通过压电驱动器驱动工作台做微量调整，以补偿粗定位的定位误差和摆角误差，待工作台精确定位后，即可由刻划系统完成一次刻划，该过程为闭环控制。2.连续式运动所谓工作台连续式运动，是指光栅工作台以恒定的速度在一个方向连续运行，刻划系统在工作台运动状态中完成一次刻划。该方式的机械结构与间歇式运动时完全相同，只是在刻划系统的回转轴上增加了一个21位角位移编码器。下图为工作台连续式运动时刻划过程的原理框

54、图。工作台连续运动时刻划过程的原理框图具体工作过程如下：首先根据待刻光栅的具体刻线参数，通过计算机确定刻划系统和分度系统的运动速度，并根据该速度分别设定驱动分度系统和刻划系统的电机速度。该工作方式为连续刻划（也可以理解为动态刻划），实际上就是通过光栅工作台运动速度与刀架运动速度（或位置）的精确匹配，完成光栅的刻划并保证光栅的刻线间距精度和刻线的直线性。工作台同样采用粗精两级调速，由刻划系统的光电轴角编码器发出一系列在时间上均匀分布的交流信号，并以该信号作为控制工作台运动的时间基准。驱动分度系统的直线电机的速度是根据待刻光栅的具体参数事先设定的，并由它本身的控制系统加以控制，可以达到较高的直线精

55、度，但由工作台导轨带来的误差，必然会引起工作台的运行误差，该误差需经做进一步的补偿。补偿的过程为首先由激光干涉仪测量上台的运动速度，并实时输出运动信号的信息（周期或频率），该信号经处理后与编码器输出信号的相位相比较，并通过压电驱动器控制二者的相位同步精度，实现光栅的高精度刻划。从技术角度分析，间歇刻划的最大缺点是工作台在分度过程中处于一种循环式的“走-停”运动状态，采用静压式气浮导轨，因工作台加上待刻光栅的质量较大，存在因惯性力而引起的诸多不确定因素。这种方式的优点是光栅的刻线间距精度和刻线直线性精度分别由分度系统和刻划系统单独保证，二者之间相互独立，没有互相干扰的问题。而连续刻划的缺点在于，

56、作为时序基准的光电编码器的输出存在误差，会导致光栅刻线出现弯曲。刀架机构的等速误差也会产生刻线弯曲等等。同时，光栅的刻线间距精度和刻线直线性精度由分度系统和刻划系统运行速度的配合来保证，控制难度相对增大。优点是工作台在分度过程中处于连续运动状态，惯性力的问题可以在很大程度上可以解决。因此可以在机械结构不变的条件下，采取以间歇刻划为主同时兼顾连续刻划的控制方式更为稳妥可靠。四、 光栅刻划机结构关键零部件研究内容1. 精密工作台的结构优化为了满足光栅刻划符合阿贝原则，工作台外台采用了两端悬臂的特殊结构。工作台面的尺寸为350350（mm2）。工作台加光栅毛坯总质量约90kg。对于工作台，我们首先关

57、心在承载光栅毛坯情况下毛坯刻划面面型的变形是否满足使用要求；其次关心工作台悬臂处受力情况以及驱动方向的刚度能否满足使用要求。重力作用下工作台台面与光栅毛坯的接触表面可能发生变形导致毛坯的支撑方式发生了变化，由原来的底面全接触变成了只有两端局部面接触，必然会引起毛坯刻划面的面型变形。所以需要通过有限元分析了解工作台和光栅毛胚的接触变形，并对工作台结构进行优化设计，使其达到最佳使用条件。2. 精密气浮导轨的研制气浮导轨布置图针对工作台气浮导轨的缺点，为了保证和提高轴承的承载能力与刚度特性，需要对节流器部分关键尺寸进行研究，分析节流孔直径、节流孔长度、气腔直径和气腔深度对矩形导轨承载能力与刚度的影响

58、，进行多参数的结构优化设计，获得符合要求的承载能力和刚度特性。由于系统所采用的气浮导轨，会导致系统发生振幅为纳米级的微幅振动，进而影响系统精度。微振动发生时其振幅通常在几纳米到几十纳米，频率从几十赫兹到几千赫兹。这种振动的一个显著特点是只有给气浮轴承通气时才出现，因此显然是一种流体引发的振动。这种振动对于一个精度要求达到纳米级的运动定位系统极为有害。首先，这种振动沿运动方向的分量直接影响定位精度；其次，这种振动的频率如果落在控制带宽之内，由于属于一种闭环之外的扰动，控制系统对它的抑制作用很小，且系统一旦加上使能，这种振动将会被放大，从而大大降低系统的控制精度。因此必须对导轨进行流固耦合分析，采

59、取相应的抑制措施，保障超精密气浮工件台系统的精度实现。3. 压电陶瓷微位移进给机构压电陶瓷驱动的铰链微位移机构可以使精定位达到很高的精度和分辨率。不同的弹性铰链其力学性能相差较大，所以需要对铰链微位移机构优化设计，使得其满足性能要求。柔性铰链的基本性能包括刚度、精度、应力特性等多方面，不同性能直接关系到微进给系统的功能实现。需要通过有限元分析得到压电陶瓷微进给机构的可控性；机构动、静态负载特性；机构精度传递特性及其稳定性；压电晶体温度特性；微位移机构的响应特性等性能指标。4. 摩擦传动机构摩擦轮传动是利用主动轮与从动抢在直接接触处所产生的摩擦力来传递运动和转矩。从传动的工作原理来看，摩擦轮传动

60、工作时，在两个摩擦轮的接触面之间可能产生下列不同性质的滑动，即弹性滑动、打滑及几何滑动。在设计时只要适当增大压紧力，则打滑是完全可避免的。但是在起动和剧烈变速等短时间内，出现过载而引起短时间的打滑是很难免的。摩擦轮传动在正常工作时，除去打滑失效之外，当两轮都是金属材料时，在润滑良好的条件下，传动还可能由于表面接触强度不够而产生疲劳点蚀破坏。为了防止疲劳点蚀，应进行表面接触疲劳强度计算多为了防止磨损。五、 计算机辅助制造（CAE）起始于上个世纪50年代中期的计算机辅助工程（CAE，Computer Aided Engineering），在计算机技术和数值分析方法的发展及紧密结合的情况下得到了快速

61、的发展，为整个工业的发展起了巨大的推动作用。机械行业大中型企业的众多工程技术人员也在CAD（Computer Aided Design）普及的条件下，将主要精力投入到如何优化设计中，以此来提高产品与工程的质量以及生产效率。以ANSYS、LS-DYNA等为代表的高端CAE软件早已活跃在全球各行各业中，将“基于物理样机试验的传统设计方法”带入基于“虚拟样机仿真的现代设计方法”，大幅缩短产品开发周期，降低成本，提高企业竞争力。本项目拟采用理论分析计算与力学建模相结合、计算机有限元模拟计算和试验研究相结合的方法，通过利用大型有限元分析软件Pro/E、Adams、Abaqus等对其进行数值分析计算，并应

62、用协同优化设计平台iSight-FD对其进行多目标优化设计。机械结构CAE优化流程图以下面的刀架导轨静力学分析为例：刀架导轨采用的是闭式气体静压导轨，采用球面与V型支座组合形成的铰接支撑结构，可极大地降低装配工艺难度，减少由于装配过程引起的导轨扭曲变形。刀架导轨在自重及载荷状态下沿铅垂方向会产生较为严重的挠曲变形，且导轨形变曲线随载荷位置变换而改变。刀架导轨模型图1、 理论分析讨论由于施加载荷而弯曲变形时，以变形前的梁轴线为x轴，垂直向上的轴为y轴，xy平面为梁的纵向对称面。在对称弯曲的情况下，变形后的梁的轴线将成为xy平面的一条曲线，成为挠曲线。挠曲线上横坐标为x的任意点的纵坐标，用表示，它

63、代表坐标为x的横坐标的形心沿y方向的位移，称为挠度。 弯曲变形中，梁的横截面对其原来位置转过的角度称为截面转角。根据平面假设，弯曲变形前垂直于轴线的横截面，变形后仍垂直于挠曲线。所以，截面转角就是y轴与挠曲线法线的夹角。它应等于挠曲线的倾角，即等于x轴与挠曲线切线夹角。所以有： （1-1）在纯弯曲情况下，弯矩和曲率之间的关系为： 其中：-挠曲线的曲率半径；-材料的弹性模量；-弯矩；-梁截面的惯性矩。横力弯曲时，梁截面上又弯矩也有剪力。通常情况下，剪力对弯曲的影响可以忽略不计。则上式可看做是横力弯曲变形的基本方程。由上图，显然有 则（1-1）式化为： （1-2）由公式1，因为，上式成为将（1-2）式代入，即得挠曲线的微分方程： （1-3）该方程适用于弯曲变形的任意情况，是非线性的。在我们的实际工程中，梁的挠度一般都远小于跨度，所以在小变形的情况下，可将方程式（1-3）线性化。由于实际情况中挠曲线较平坦，很小，在