网络控制系统的稳定性

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1、文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！ 附件 1附外文资料翻译（由导师根据论文需要指定，中文字数不少于4000字。）网络控制系统的稳定性Zhang W, Branicky M S, and Phillips S M.IEEE Control Systems Magazine, 2001, 21(1): 84-99.在实时网络中形成的闭环反馈控制系统被称为网络控制系统(NCSs) 1 - 4。网络控制系统在控制系统组件（传感器，控制器，执行器）组成的网络中交换信息（参考输入，设备输出，控制输入等等）。图1展示了一个典型网络控制系统的设置和信息流程。网络控制系统的优点是减少了系统的布线、易

2、于系统诊断和维修且提高了系统的灵活性。由于通信网络被应用到闭环控制中，使网络控制系统的分析与设计变得复杂。由于网络的加入是控制系统的分析和设计变得复杂。传统的控制理论的特点是假设系统中传感器和控制器之间信号的传输是在同步、无时延的理想情况下进行的，并且在将理论应用到实际的网络控制系统前必须进行反复评估。然而实时的网络并不是在理想的状态下进行的，我们还是要解决以下问题：首先，由于信息共享引起的网络诱导时延（传感器到控制器的延迟和控制器到执行器的延迟）。这种延迟，或者是固定不变的（去抖动）或者是随时间变化的，而且此种时延可能降低网络控制系统的性能，甚至破坏系统的稳定性；其次，传输网络是一个不可靠的

3、传输路径，信息在传输时不仅会发生时延，还可能发生数据丢失现象。而数据丢失所带来的影响也是我们要考虑的问题。另外，由于网络带宽和容量的限制，不可能在一个数据包中传输太大容量的数据，这时就需要多包传输，但是在多节点传输的网络中，有可能全部或者部分数据没有在规定的时间内到达。70年代初，霍尼韦尔首次提出分布式控制（DCS）。由于绝大部分的控制任务（传感，计算和驱动）是在独立的控制模块中进行的，因此在DCS控制中的模块是分散连接的。但是开/关的信号，监控信息，报警信息等，都是在串行网络中传输。随着专用集成电路芯片设计的发展，硅片、传感器和驱动器价格大幅度降低，可以通过配备独立的网络接口在实时的网络中形

4、成独立的节点。因此，在网络控制系统中，网络节点紧密联系来完成各个实时传感和控制数据在网络中的传输。网络控制系统利用的传输网络如设备网5，以太网6，串行网络7等等根据特定的应用范围设计各自的通讯协议。此外，网络控制系统的行为绝大部分取决于基础网络的性能参数，包括传输速率，介质访问协议，数据包长度等。我们有两种方法可以解决网络控制系统中的所有问题。其一，就是设计一种通信协议，最大限度的减少网络时延和丢包的发生，从而达到忽略时延和丢包；例如，利用各种拥塞控制和避免算法8，9可以获得更好的性能。当网络流量超过限额时，该网络能够很好的处理。其二，就是利用已给的网络协议和流量限制设计包含上述问题的流量控制

5、策略。为了处理延迟，可以利用微分方程10来处理时延控制策略。在这里，我们讨论网络诱导时延和丢包策略的分析与设计。本文通过以下几个方面讨论了网络控制系统的稳定性：首先，我们回顾以往学者在网络控制系统所做的工作，并提出了一些改进。然后，我们总结了网络控制系统中存在的基本问题，研究了不同的网络基础调度协议。并展示了具有时延的网络控制系统，根据稳定邻域和混杂系统理论分析了该系统的稳定性。随后，我们讨论了网络诱导时延的补偿方法，并通过一个物理网络验证了补偿的效果。然后，利用异步动态系统理论建立了单包和多包传输的网络控制系统模型，并分析了其稳定性。在最后我们给出研究结果的总结。前人工作回顾Halevi和R

6、ay 1 综合了通信和控制系统（ICCS）的特点，利用离散分析法考研究了连续时间状态下的控制对象和离散时间状态下的控制器在非同步时钟驱动下时钟驱动的控制器的设计方法。使用以前被控对象的输入和输出的状态向量、现在时刻被控对象和控制器的状态向量，组成增广状态向量来重新改写该系统，得到有限维时变离散时间模型。在接受信息时拒绝空的采样周期信号。Nilsson2 进一步改进在离散时间领域中所建立的网络控制系统模型。他所建立的模型中的时延是恒定的、独立随机的或者是随机的，但其变化规律却遵从马尔可夫链过程。根据建立的模型，他研究了时变时延模型的LQG最优控制问题。同时，他也指出了记载历史记录的时间戳的重要性

7、。Walsh等人3研究了连续状态下的被控对象和控制器德的情况下所建立的模型。他们假设共享的控制网络只存在于传感器和控制器之间。他们提出了最大允许传输间隔(MATI)的概念，即最大允许传输间隔是指在连续发送两个传感器信号之间的最大间隔是秒。对于无反馈的网络控制系统（其中和代表被控对象和控制器的状态变量）如果是全局指数稳定的，则存在一矩阵使下式成立 （1）另外，网络效果可以通过被控对象输出与控制器输入之间的误差来体现。假设系统的状态向量，则闭环网络系统可以表示为其中的分块矩阵为 (2)Walsh等人研究了一次性丢弃法（TOD）和令牌环型静态调度这两种调度方法。假设有个控制器连接在网络控制系统中，静

8、态调度意味着每个节点每发送一次，就按固定的顺序传输个信息。在最大允许时延的限制下，控制器必须在每个秒内至少接受到一个传输信息。因此，在静态调度中，所有传感器值最多在中进行更新。网络控制系统的特点是控制系统的组成部分通过网络进行数据传输。TOD是一种调度协议，其中每个节点的最大加权误差来自该节点传输信息中最后到达值（到达控制器的值）。同样的，在最大允许时延的限制下，在每秒内至少有一个这样的传递信息。然而，TOD协议不能保证每个节点都可以一次传输个传递信息。对于这些协议中的每一种，我们可以计算出保证闭环系统的稳定性的最大允许时延的上界值。下面的定理给出了此结果。定理1 3, 定理2：在已给的网络控

9、制系中，个控制节点在TOD或静态调度下进行运行，令（其中已经在上边定义过）。如果最大允许时延满足则此网络控制系统是全局指数稳定的。根据下面的引理我们可以确定的上界。推论2：如果非网络的闭环系统的李亚普诺夫函数满足 (3)（比2式更具有一般性）其中是正定对称矩阵，并且有界值满足并且第三项总是最小的。因此 (4)则保证此网络控制系统是全局指数稳定的。证明见附录。推论2显示了最大允许时延的取值是依据和的；是使用（3）式的得到得的检测值。A和根据特殊的系统建立而被确定的；另外是在选择时唯一的变量。我们可以通过分析的方法找出使达到最小的值。例1：考虑下面的状态空间模型 (5)其连续的状态反馈控制律是，其

10、中（闭环极点是1/2 和 3/4）根据定理1，有模型知（即仅有一个节点是一个无网络的采样数据系统），于是，为了求解而选择适当的,根据推论2，以计算出。在200个序列中，我们发现最小的是s，而反馈控制系统中最大的时延周期是1.7 s（这是可以通过稳定邻域技术可以确定的，在下面将讨论），由此可以看出理论1和推论2具有保守性。在闭环控制网络的条件下，理论1和推论2通过网络的采样率，给出了使原有非网络的系统保持稳定的充分条件。这个结果具有很大的保守性，但却是实用的。下面我们使用一些特殊例子来研究有关稳定性方面的问题。网络控制系统的基本问题在这一部分，我们分析一些在网络控制系统中的基本问题，例如网络诱导

11、时延，在被控对象输入输出的单包传输或多包传输和网络中数据丢失现象。网络诱导时延网络诱导时延发生在传感器，执行器和控制器之间通过网络传输数据时产生。如果不考虑这种时延可能会降低控制系统的性能，甚至破坏系统。根据控制网络的媒介访问协议，网络的诱导时延可以是固定的、时变的，甚至是随机的。媒介访问协议大体可以分为两类：随机访问和调度。载波侦听多路访问（CSMA）在随机访问网络中是使用最频繁的，而其中的令牌传递（TP）和时分多址（TDMA）是普遍采用的调度网络方法。控制网络中使用的CSMA协议包括设备网5和以太网6，图2说明了这种类型网络在两个节点连续传输信息的情况（相对于固定的时间线）可能出现的的各种

12、情况。每个节点在网络进行传送前进行网络检测，当网络处于闲置状态时，它就会立即传送，如在图2显示的案例1。否则继续等待，直到网络不繁忙。当两个或多个节点同时尝试传输，就会有碰撞发生，我们可以依靠设备网的冲突协议解决此类碰撞，或者用位仲裁多址（CSMA / BA）协议来解决。由于CAN消息的优先级最高，所以在没有冲突或干扰时首先传送此类信息，然后传送优先级低的信息。当网络处于空闲状态时，将重新发送已发过的信息，如图2中显示的例2的情况。以太网采用了多址与碰撞检测（CSMA / CD的）协议。当有碰撞发生时，所有受影响的节点都将后退到前一时刻的状态，等待一个随机时间（通常取决于二进制指数后退算法6）

13、，然后重新转发，如图2显示的例3。此类型网络的数据包传输都受到随机延迟的影响，在最差情况下，数据包传输时间是无界的。因此，多址网络通常被认为是时不确定的。但是，如果网络消息优先级变高，高优先级的邮件更会及时传递。TP协议出现在令牌总线（IEEE标准802.4）上，构成令牌环（IEEE标准802.5）6和光纤分布式数据接口（FDDI）的MAC 13架构；TDMA是用在串接线上的7。图3显示了此类网络的时序图。因为共享网络允许每个节点根据预定的时刻表传输信息，因此消除了一些争议。在令牌总线上，令牌围绕一个逻辑环进行传送，令牌环网则围绕着一个物理环进行传输。在调度网络中信息是按照顺序周期性传输的。例

14、如，串行线中，一个传播周期（125s）被分成许多小时间段，在每个时间段内实现同步传输。在调度网络中数据包传输产生时延主要出现在令牌和时段等待上。周期性传输数据包所产生的时延是有界而且是恒定的。 单包与多包传输所谓的单包传输是指传感器或执行器的数据被装在一个数据包中在同一时刻向外传输，而多包传输是将传感器或者控制器数据装在几个数据包中按顺序在网络中传输，并且他们可能不是同时到达控制器或者是执行器。需要多包传输的一个重要原因是每个数据包所能容纳的信息量是有限的，因此当出现大量的数据时就需要把数据装在多个数据包中然后向外发送，另外由于网络控制系统中传感器和执行器经常分散在一个大的物理空间中，它们不可

15、能把数据收集起来装在同一个数据包中然后向外传输。在传统的采样数据系统中是假设被控对象的输出和控制器的输入是同步的，但多包传输的存在，在网络控制系统中它们是不可能同步的。由于网络传输存在时延，所以控制器不可能在控制的计算时间内将被控对象输出数据同时接受到。不同的网络适合不同的传输类型，以太网适合单包容量不超过1500个字节的文件，因此它最适合将传感器的数据装在一个数据包中传输单包传输。而设备网的特点是快速传输小容量的数据包，在每个数据包中最大容量是8个字节，因此传感器中的数据必须被装在不同的数据包中。网络丢包网络丢包主要发生在节点故障或信息冲突之时，虽然网络协议中有重发机制，但是只能在有限的时间

16、内重新发送数据，超出这个时间限就会丢弃这些数据。由于实时反馈控制网络对实时性要求很高，长时间的时延会导致数据失去利用价值以至于没有使用原先的数据，我们一直将不传送信息或者不传送新的信息，这样控制器一直接受控制器计算的刷新数据。正常情况下，在保证系统稳定性下，反馈控制系统中的被控对象允许有一定数量的数据丢失。具有网络诱导时延网络的稳定性具有诱导时延网络模型的建立我们建立的具有诱导时延网络模型如图4所示，此模型的连续被控对象是 (6)其离散控制律是 (7)其中，而是适维矩阵。这里的时延有两处，一处是传感器到控制器的时延，一处是控制器到执行器之间的时延。为了不是一般性，其他控制器的计算时延都包含在或

17、中2。为了确定控制律（时不变控制器），我们把和写在一起，即来表示总时延。对系统作如下假设a) 传感器采用时钟驱动，被控对象的采样周期是恒定的。b) 控制器采用事件驱动，事件驱动的控制器，通过外部事件中断机制，当传感器的信号到达时立即驱动控制器进行计算。c) 执行器采用事件驱动，即当数据一旦变化时，立即改变被控对象的输入值。当时信号的时序如图5所示。小于一个周期的时延我们首先研究在一个周期内的时延，即（下标表示采样间距）表示小于采样周期的时延。这种限制意味着，在第个周期中最多有和这两个采样数据被应用。该系统方程可以写成 (8)其中是分段连续的，并且在采样周期为的系统中只有在时刻才能改变数值。其中

18、定义增广矩阵，则闭环系统可以写成 (9)其中为了简化系统，假设时延是恒定的(即当时)并且系统始终是时不变的，在静态网络调度协议可以像令牌环或令牌总线一样提供恒定的时延。但是多长的时延才是系统允许的还有待解决。另一种看法是如果在一个时间戳（参见2）内信息被发送出去，则传感器、控制器之间的延迟可以由一个估计器来得以补偿。传统的单步预测估计中因为只是根据进行评估的，所以可以弥补低于一个采样周期内的时延。在较大的时延网络中解决补偿作用还有待我们研究。长时延当时延超过一个采样周期时(即)，在一个单采样周期内我们可接收0、1或更多个（多于1个）控制采样信号。在特殊情况下，如在所有时刻中，在时，我们在每个采

19、样周期内接受一个控制信号。在这种情况下， 14中的分析结果如下： (10)其中并且增广状态向量在更一般的情况下，即使块矩阵是时变的，而繁琐的记录也必须要执行，繁琐的记录必须执行，因为它影响着接受采样信号的时间表。稳定域传统上，我们采用性能接近连续系统的离散时间控制设计来得到更快的采样率，然而在网络控制系统中，高的采样率却增大了网络的负荷，导致更长的网络时延。因此在网络控制系统的设计中，找到一种合适采样率使网络诱导时延在允许的范围内，并保证系统的性能是很重要的。我们通过绘制稳定邻域来反映采样率和网络时延两个参数之间的联系。通过采用一个适当的网络协议来实现恒定的时延。综合案例和之间的关系可以通过一

20、个简单的向量系统分析来得到。例2：考虑的综合实例为 (11)在式（9）已经定义 此的情况，我们可以利用三角形的稳定性15明确计算和 h之间的关系。为了得到稳定的网络控制系统，时延必须满足 （12）或者 在时，得到的稳定区域如图6所示。当周期很小时，我们可以看到在这个稳定区域内系统可以允许达到一个周期的时延。当变得比较大时，的上界变得很小。可以看到当时即使没有时延系统也是不稳定的。通用标量系统如果想用分析的方法得到精确的稳定域是不可行的，但是我们可以通过仿真得到这样的稳定域。稳定域可以通过增加时延所组成的集合来描绘，并来测试闭环系统矩阵（9）和（10）。如果闭环系统矩阵是稳定的，这一点被标记在稳

21、定域的范围内。例3 假设通用标量系统已经在（9）中定义稳定域可以通过仿真确定，图7显示了这个特例。为了实现仿真，我们假设时延在到之间，在图中我们可以看到当时，在此区内有一部分形状与综合案例相似。稳定域的这部分形状也受反馈控制系统的制约（在此例题中是标量反馈控制增益）。利用混合系统分析技术分析稳定性利用混合系统稳定性分析技术同样也可分析具有诱导时延的网络控制系统的稳定性。混合系统包括连续动态和离散时间系统。我们所研究的模型类似于一类瞬间脉冲响应的混合系统，连续和离散系统稳定性在17中被进一步研究，其中被考虑的线性混合系统形式是： （13）其中，令 则 在附近是连续的，因为在间隔内i ，另外并且，

22、如果且成立，则系统的稳定性条件简化为评估的舒尔-内斯性质（即，是否所有的矩阵特征值的幅度小于1）其中定理317,推论14，如果是舒尔矩阵，（13）的零规则解是异步稳定的，如果把此应用在（8）中所建网络控制系统的模型中，可得到如图5所示的信号时序图，从而可得到 （14）用和表达则可得并且把此结果跟（13）作比较，我们可得到如下推论：推论4：恒定时延的网络控制系统的稳定性可以转变为检测的舒尔-内斯性质。我们可以利用此推论来重新评估（11）。如果我们令(14)中的 , 则可以发现因为是舒尔矩阵，所以一定满足（12），此在例2中已经得证。网络诱导时延的补偿传感器到控制器的时延和控制器到执行器的时延具有

23、不同的性质。控制器用传感器上的数据产生控制信号来得到传感器到控制器之间的时延，传感器和控制器的时钟是同步，并且此信息组成了时间戳。另外评估器可以重建结构近似于在无时延被控对象的状态，这在控制评估中是可行的。控制器到执行器之间的时延不同之处在于，控制器不知道有效信号什么时候到达。因此，在控制计算时间内得不到精确的修正。可以用被控对象的状态方程在时间域的解来评估无时延的状态。一个网络控制系统的评估器有两个基本作用：一个是像传统状态评估器一样用部分状态测量值（即被控对象的输出值）去评估所有被控对象的状态；另外一个是通过补偿传感器时延来得到更准确的评估，还可以通过分析系统全部或者部分状态反馈得到这两种

24、情况。被控对象的评估是根据在时间的传感器测量值和传感器到控制器时延来确定的。在这里我们假设系统是单包传输并且时延小于一个采样周期（即）。全状态反馈在全状态反馈中，评估器仅有的作用就是补偿时延，从而在控制信号的计算过程中得到更准确的被控对象的状态。根据（6）和（7）中已经给出了被控对象和控制器的模型，可得 （15）图8显示了这个估计过程。被控对象的状态和是到达时刻的状态评估，其中表示传感器到控制器之间的时延。假设此系统无扰动，则可以被表示为 （16）控制律为 (17)根据此控制律我们可以得到闭环系统为 （18）其中输出反馈当全状态信息在控制信号评估中是无效时，则可以通过建立状态评估器来评估被控对

25、象的状态。在（15）中介绍的被控对象的输出是一种传统对被控状态当前状态的评估器。则 （19） （20）其中是当前时刻评估增益。此评估过程分为两步：首先评估状态向前推进一个周期得到，然后根据被控状态的接受值修正。 根据当前时刻状态评估可以得到传感器测量时延的评估。图9显示了这个评估过程。在时刻的评估过程如下1）根据进行修正: (21)2) 推迟到时刻: （22） 3) 评估控制律: (23)4)推迟到时刻: （24）备注5：(21)-(24)描述了估计过程的步骤，令，其中是评估误差，可以表示为 （25）根据（18）中的定义，闭环系统的评估器可以写成 （26）其中证明见附录。根据评估过程，我们可以

26、设计被控对象和评估器，并且保证两者稳定。建立一种物理网络控制实验为了展示控制系统性能对网络的影响并检测补偿和控制策略，我们设计了一种物理网络控制实验。此实验允许反馈控制系统的被控对象在真实的网络中传输信息，所建的模型如图10所示。为了做此实验，我们使用凯斯西储大学全校园网络（CWRUnet）。此网络是一个广域网，物理层包含Ethernet和ATM，使用TCP / IP协议（分别存在于传输和网络层）将节点之间的通信连接起来。 TCP / IP协议可以使数据包的传输更可靠，但是在物理网络的传输媒介中可能会产生冲突。因此TCP/IP协议不但会有数据包传输时延而且可能发生数据包丢失。在控制系统的建立中

27、，两台计算机分别控制被控对象和控制器，并通过CWRUnet连接起来。每一台计算机各自运行着一VisualC+程序，使接口在他们之间建立协议连接，且接受各种数据参数，例如，采样周期、控制评估和同步时钟信号。我们用MATLAB是实现被控对象和控制器的仿真，MATLAB作为一种计算工具在计算机中运行每一条指令，并作为激活X的自动化服务器。在被控对象的计算机上，从网络中获得控制信号利用C+运行程序，使被控对象的状态在MATLAB中运行得到输出评估，然后将被控对象的输出发送到控制器计算机中。在控制器计算机中C+运行程序从网络中获得被控对象的输出值。然后运行MATLAB程序评估控制信号并发送到被控对象的计

28、算机中。通过这种方法传感器数据和控制器数据通过校园网络进行传输，但是在传输过程中可能发生碰撞和时延。18中详细描述了在因特网中控制系统的每个交替实验测试床。同步时钟在试验中被控对象和控制器发送的每个信息都是一个时间戳。为了正确的评估时延，被控对象和控制器时钟必须是同步的。我们可以采用软件实现同步、硬件实现同步或者通过两种方法混合达到同步的目的。为了使控制对象和控制器时钟实现同步，控制器发送信息到被控对象的同时，控制对象将时钟记录传给控制器，然后控制器接受时钟的关闭设置和运行一周所用的时间。进行多次测量后，控制器利用时钟的关闭设置得到循环一周所用的最短时间。下面的实例阐述了以上补偿设计的效果。例

29、4：假设被控对象的状态空间模型为状态反馈控制律，其中（闭环极点是）。 被控对象的混合控制器分别在两台计算机中运行两个上面提到的MATLAB的M文件。被控对象的状态和控制信号用TCP/IP协议发送出去。图11显示了全状态反馈的阶跃响应，并与无网络的采样数据系统作了对比。网络时延导致了欠阻尼的闭环被控对象，在阶跃响应中造成了较大的超调度效应。如果使用延迟补偿，此响应类似于非网络系统。事实上，他们的差别体现在控制器到执行器的延迟上，即是否被这种规划给补偿过。即使在被控对象的模型中有没有包含一个非线性模型，线性评估器同样工作的很好。例如下面考虑的被控对象在图12中显示补偿规划在此试验中仍然正常工作。具

30、有丢包的网络稳定性网络是一种不可靠的数据传输路径，因此在网络控制系统中，我们不但要考虑诱导时延还要考虑丢包。当数据包在传输时发生碰撞时，将导致节点传输失败。传输失败后，网络将会重新再发送一遍。有时丢弃旧的数据并不一定是坏事，甚至有时丢弃旧的数据接收新的数据可能控制效果会更好。另外，通过分析数据成功传输率而达到期望的稳定性是很有必要的。一个具有丢包的网络控制系统可以看成一个带有约束条件的异步动态系统。11中研究了此种类型系统的稳定性。我们要在这方面扩展网络控制系统的研究。具有速率约束的异步动态系统异步动态系统中结合了连续和离散的动态系统，因此像一个混杂系统。连续的动态系统用差分或差分方程来描述，

31、而离散的动态系统是异步动态系统，在具有确定性传输率的外部离散事件驱动下工作。我们用一个差分方程集合来描述具有速率约束的异步动态系统，即其中连续的状态值，是速率对应的离散状态集合，他们是事件发生的概率，且下面给出了此异步网络稳定性定理。定理6 11：如上面定义的异步动态系统，如果存在一李亚普诺夫函数，是每个传输率的响应值，且满足 (27)和 (28)则这个异步动态系统是指数稳定的，此时的衰减率强于。定理 6要求异步动态系统最好是匀称的，它不要求每一个差分方程都是异步稳定的，只要求保证总体是异步稳定的就可以了。如果给出的离散动态状态是，则寻求的李亚普诺夫函数形式是，标量可以通过求解一组线性矩阵不等

32、式得到11，则等式（27）和（28）可以重写为和这是一个包含和的线性矩阵不等式问题。具有丢包的网络控制系统的建模图13展示了可能发生丢包的网络控制系统的模型。我们假设网络只存在于被控对象与控制器之间，在无网络处系统是稳定的。用一个开关表示网络接通与否，此开关的具有固定闭合速率。当开关闭合时（开关在处）包含的数据包传输成功；当开关打开时（开关在），数据包丢失。于是切换的动态系统可以表示为令增广矩阵，则具有丢包的闭环系统可以重新表示为其中，当开关在位置时,当开关在位置时,正常状态下，反馈控制系统的控制律允许一定数量的反馈数据丢失，下面的推论可以用来测试具有一定数据丢失率的系统稳定性。推论7：为了上

33、面建立的系统，我们假设成功传输的概率为。如果存在一李亚普诺夫函数和标量和满足则此系统是指数稳定的。由于被控对象的状态传输率是，则有效采样周期变为，通过这个较慢的采样率，我们可使被控对象处于稳定状态。换言之，当我们有更快的采样周期，我们可以在一定的传输率下丢弃这个采样值，从而保持网络带宽保证稳定的反馈控制系统。例5：根据例1中的被控对象的状态空间模型，当采样周期时，我们可得则在连续控制器中闭环系统是一直稳定的。在图13所建的模型中，假设传输率，则通过求解线性矩阵不等20, 21，并根据推论7可以得到和此证明了系统是稳定的。这意味着，当被控对象的采样周期是, 如果有的数据成功传输到控制器，我们就可

34、以保证系统是稳定的。得到的有效采样周期，而这个系统实际的采样周期是，图14中对丢包的阶跃响应作了对比。我们可以看到当有的数据成功传输到控制器时曲线与原始图像相似。当只有的数据成功传输时才产生了很大的不同（但是此系统还是稳定的，这在下面我们将证明）。Walshet等人3用不同的方法研究了图13所研究的模型，并且确定了通过网络形成的闭环网络的最大允许时延，此种方法具有保守性。我们可以得到此实例中最大的允许时延是，但是如果要付于实际的话，那还需要更宽的网络带宽。这是一种保证网络指数稳定的可行方法，并且它只要求被控对象有一个确定的传输率。这样在不满足稳定性时减少了网络传输量。如果传输率更低的话，需要的

35、网络带宽也会变小。接下来需要解决的问题就是“在保证网络稳定的前提下，传输率的更低限是多少？”定理8中解决了在保证网络稳定的前提下的传输率的极限。定理8：根据图13所建立的模型，假设闭环系统在无丢包的情况下是稳定的（即满足舒尔性质）。l 如果开环系统()是平稳稳定的，则对所有的系统是指数稳定的。l 如果开环系统()是不稳定的，则对于所有的，这个系统同样也是指数稳定的。其中。其证明见附录 例6：因为例5中的是平稳稳定的，所以对于所有的控制器都是稳定的。建立多包传输的网络控制系统模型对于多包传输的网络控制系统的模型，我们同样可以看成为异步动态系统模型，只是在多包传输模型中，被控对象的状态和输出信息分

36、布在不同的数据包中。图15显示了被控对象的状态信息分在两个数据中传输的情况。则动态网络模型可以写成假设令增广矩阵，则可以重新得到具有两个数据包传输的闭环系统模型为其中. 则当开关在位置时,当开关在位置时, 同样我们可以很容易的将系统拓展到多于两个数据包传输的情况下。调度网络的稳定性我们知道在调度网络中，数据包按照预定的顺序向外发送，如图16所示。控制器中接受数据包顺序是。备注9：如果具有舒尔性质，则如果被控对象的状态是静态调度规划的，则此网络控制系统是指数稳定的。这样我们就没有必要确认和都具有舒尔性质。如果具有舒尔性质，则此网络控制系统就是稳定的。例7：如例5中所给的具有被控对象的状态的系统，

37、在两个数据包中独立传输。当时，我们可得和都不具有舒尔性质，但是具有舒尔性质。如果此调度网被应用，那么此系统就是稳定的。在静态调度中，所打的两个包中每个包在一次传输，则有效采样周期，则所建立的双包传输的阶跃响应和原始系统相似。结语 本文研究了网络控制系统中的多个基础性问题，首先，研究了传感器向控制器传输数据所导致的网络诱导时延。根据所用网络控制协议，时延可能是恒定的或者是时变的。采样率和网络诱导时延之间的关系，可以通过稳定区域来体现。我们使用复杂系统稳定分析技术来解决网络控制系统稳定性问题。在时域中求解被控对象模型来得到网络诱导时延的补偿方法我们也做了研究。我们利用一个物理网络得到了实验结果。然

38、后我们根据异步动态系统理论建立了数据丢包和多包传输（因为控制网络一次性传输量的有限性）的模型，研究了在一定数据丢失率的网络控制系统中保证系统稳定性的条件，并寻求了在保证网络控制系统稳定的情况下，数据丢失的最高概率。附录证明（推论2）我们用向量和矩阵范数的定义和不等式22。则李亚普诺夫函数必须满足下列不等式：根据3，理论2，3可以重新写成之所以选，是因为结果与3相同，因此我们可以得：对于所有的其中所以我们可知：对于所有的，。 假设网络控制系统存在有界误差信号干扰，则系统可以写成假设初始状态在时刻，且初始状态为零，即。则我们可得到对于所有的当选择以上时，。这部分剩下的证明将在3中继续。现在我们证明

39、在以上三个表达式中，在第三个边界是最小的。我们首先证明我们假设则因为大于，所以可得和它下面的结果。然后我们证明删除通用表达式，我们必须得到因为有定义知，所以满足对3式两边取范数得此不等式是根据三角不等式和矩阵2范数的性质得到的。又因为是正定对称矩阵所以，根据范数的定义我们很容易得到，因为后者是前者的子集。因此，并且证明（推论5）：已给的被控对象模型是其中在（18）中已经给出。 评估规划在（21）-（22）中已经给出，从（21）和（24）中我们可得到并且从（22）我们可得（25）定义了评估误差，误差方程为 （29） 我们使用的闭环系统控制律是则闭环系统可以写成 （30）综合（29）和（30）可得（26）。证明（定理8）：根据推论7考虑的模型，假设，用取代，如果传输率满足 （31）其中，是恒定的正数，并且正定对称矩阵，如果满足则系统是指数稳定的。传输与和有关，必须满足。根据（31）我们可以使和的值最小，从而从等式中找到可能的较低界。我们知道因为两个矩阵的普相同（尽管前者的特征向量是后者两倍）。同样我们知道满足当且仅当是稳定时才能满足上面的等式。24 / 24