概率论与数理统计常用的统计分布学习教案

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1、会计学1概率论与数理统计概率论与数理统计(tngj)常用的统计常用的统计(tngj)分布分布第一页，共62页。12/nUFnVF,U V2212(), (),UnVnFF 12.( ,)FF n n12( ,)n nO12,()nFn12(,)F n n12( ,) Fn nReview第1页/共61页第二页，共62页。概率论与数理统计第2页/共61页第三页，共62页。X12,nXXXX222(), (), ()E XD XE Sn11()()niiE XEXn11()niiE Xn11()()niiD XDXn211()niiD Xn2n2 (1)nS2(),()E XD X21()()ni

2、iXX21()niiXX2211()2()()()nniiiiXXXnX221()()niiXn X2221()2 ()()niiXn Xn X2221 (1) ()()()niinE SE XnE X221ninn2(1)n22 ()E S概率论与数理统计第3页/共61页第四页，共62页。概率论与数理统计第4页/共61页第五页，共62页。概率论与数理统计第5页/共61页第六页，共62页。仍服从(fcng)正态分布),(2NX12,nXXX2( ,)XNn121()nXXXXn2( ,)N 12 ,nXXX由正态分布的性质知，线性组合2() , ()E XD Xn2 ( ,)XNn概率论与数理

3、统计第6页/共61页第七页，共62页。概率论与数理统计第7页/共61页第八页，共62页。概率论与数理统计第8页/共61页第九页，共62页。),(2NX12,nXXX2,X S) 1(/ntnSX) 1 , 0 (/NnXY 2222(1), (1)nSn Y2t2/YSn22/(1)/1XnnSn/XSn (1)t n概率论与数理统计第9页/共61页第十页，共62页。),2 ,21(2NX2521,XXX.24. 0|21|XP概率论与数理统计第10页/共61页第十一页，共62页。),2 ,21(2NX2521,XXX.24. 0|21|XP概率论与数理统计第11页/共61页第十二页，共62页

4、。概率论与数理统计%,7 .9909. 0|101 . 03|XPXP%.7 .9903. 0|1001 . 03|XPXP第12页/共61页第十三页，共62页。概率论与数理统计第13页/共61页第十四页，共62页。概率论与数理统计2222(1)(1)5050nSnP SP222(1)(1)nSn(1)由，得解解第14页/共61页第十五页，共62页。概率论与数理统计68. 1)(1012iiXP85. 2)(1012iiXXP第15页/共61页第十六页，共62页。概率论与数理统计1022211()(10)0.5iiX1022211()(101)0.5iiXX第16页/共61页第十七页，共62页

5、。总体均值、比率、方差等概率论与数理统计第17页/共61页第十八页，共62页。 参数(cnsh)估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数(cnsh)或者参数(cnsh)的某些函数.估计新生儿的平均体重、估计废品率、估计平均降雨量等。 在参数估计问题中，假定总体分布形式已知，未知的仅仅是一个(y )或几个参数.概率论与数理统计第18页/共61页第十九页，共62页。概率论与数理统计第19页/共61页第二十页，共62页。 设总体X的分布函数形式已知, 但它的一个或多个参数(cnsh)为未知, 借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数(cnsh)的问题称为点估计问题.概率论与数理统计第2

6、0页/共61页第二十一页，共62页。概率论与数理统计第21页/共61页第二十二页，共62页。.),(),(2121 来估计未知参数来估计未知参数用它的观察值用它的观察值一个适当的统计量一个适当的统计量点估计问题就是要构造点估计问题就是要构造nnxxxXXX.),(21的估计量的估计量称为称为 nXXX.),(21的估计值的估计值称为称为 nxxx., 简记为简记为通称估计通称估计 概率论与数理统计第22页/共61页第二十三页，共62页。概率论与数理统计()E X解X是 的估计量172.7x是 的估计值()XE X认为可以用代替第23页/共61页第二十四页，共62页。概率论与数理统计v那么(n

7、me)那一个估计量好坏的标准是什么?第24页/共61页第二十五页，共62页。则称是的无偏估计量，称具有(jyu)无偏性。否则，)(E是有偏估计量.偏差(pinch)= ）（E概率论与数理统计第25页/共61页第二十六页，共62页。无偏(w pin)估计的实际意义: 无系统误差.无偏性是对估计量的一个常见(chn jin)而重要的要求 .概率论与数理统计第26页/共61页第二十七页，共62页。X是的无偏(w pin)估计量221()1iSXXn是2的无偏估计量概率论与数理统计2221(1)nSn证 由抽样分布定理，有2211,nESn于是222211()1,nnESE Sn22()E S21()

8、iXXn是2的有偏估计量第27页/共61页第二十八页，共62页。概率论与数理统计例例 2 设总体), 0(2NX,12,nXXX是来自这一总体的样本. (1) 证明 2211niiXn 是2的无偏估计; (2) 求).(2D 0(0,1),iXN解 由于2211,niiEXn于是22221101()( )nniiiiXXn故22112 ,niiDXn第28页/共61页第二十九页，共62页。2211,niiEXn于是222221111 nniiiiEEXEXnn22221101()( )nniiiiXXn故442222211112.nniiiiDDXDXnnn0(0,1),iXN解 由于概率论与

9、数理统计22112 ,niiDXn第29页/共61页第三十页，共62页。概率论与数理统计例例 3 设nXXX,21是总体),(2N的一个简单随机样本. 求k使 ninjjiXXk11| 为的无偏估计. 2( ,),iXN 解 由于且相互独立，则22421|22xijE XXxedx2(0,2),ijXXNij第30页/共61页第三十一页，共62页。概率论与数理统计2( ,),iXN 解 由于且相互独立，则|0,ijijEXX时,且是无偏估计量22421|22xijE XXxedx22( )(),Ek nn22222442200122()422xxxxedxed2(0,2),ijXXNij222

10、022()|.xe .2 (1)kn n第31页/共61页第三十二页，共62页。121DD 21DD21与若都是的无偏估计量且 或 12则称较为有效估计量。1XX 较为正态总体的期望 的有效估计量。两个以上(yshng)的无偏估计量具有(jyu)最小方差最佳(zu ji)无偏估计量概率论与数理统计第32页/共61页第三十三页，共62页。概率论与数理统计第33页/共61页第三十四页，共62页。概率论与数理统计22( ,)( ,)iXNXNn (1)由，得解解22(),()/ .iD XD XniXX较有效。第34页/共61页第三十五页，共62页。概率论与数理统计例例 6 设分别自总体),(21N

11、和),(22N中抽取容量为21,nn的两独立样本.其样本方差分 别 为2221,SS. 试 证 , 对 于 任 意 常 数2221),1(,bSaSZbaba都是2的无偏估计, 并确定常数ba,使)(ZD达到最小. 22212,SS分别是的无偏估计，则解解222212()().E SE S，222212( )()E ZE aSbSab22()ab第35页/共61页第三十六页，共62页。2Z 是的无偏估计。由抽样分布定理，有概率论与数理统计2212112221111 .2nnSnSn22( - )，(- )4422111221112()(),(1)1nD SDSnn4422222222212()

12、(),(1)1nD SDSnn第36页/共61页第三十七页，共62页。概率论与数理统计2222221212( )()()()D ZD aSbSa D Sb D S22412(1)() 2.11aann12121211,22nnabnnnn第37页/共61页第三十八页，共62页。1limPn2Sx与则称是的一致(yzh)估计量，称具有一致性，可以(ky)证明均具有一致性。概率论与数理统计第38页/共61页第三十九页，共62页。 由于估计量是样本的函数, 是统计(tngj)量, 故对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 求估计量的问题是关键问题.估计量的求法: (两种)矩估计(gj)法和最大似然

13、估计(gj)法.概率论与数理统计第39页/共61页第四十页，共62页。1、 矩估计(gj)法 其基本思想(sxing)是用样本矩估计总体矩 . 理论依据: 它是基于一种简单的“替换(t hun)”思想建立起来的一种估计方法 .是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 .大数定律概率论与数理统计第40页/共61页第四十一页，共62页。 用样本(yngbn)矩来估计总体矩,用样本(yngbn)矩的连续函数来估计总体矩的连续函数,从而得出参数估计，这种估计法称为矩估计法.记总体k阶中心矩为kkXEXE)( 样本k阶中心矩为nikikXXnB1)(1概率论与数理统计设 X1, X2, , Xn 来自(li

14、z)总体X的样本记总体k阶矩为)(kkXE 样本k阶矩为nikikXnA11第41页/共61页第四十二页，共62页。矩估计(gj)法的具体步骤:klXnAAnililll, 2 , 1;1,).2(1 令令.,21的的方方程程组组个个未未知知参参数数这这是是一一个个包包含含kk klXEkll, 2 , 1),()().1(21 求求出出,).3(21k 解出其中解出其中.,表示表示用用k21.,量量这个估计量称为矩估计这个估计量称为矩估计估计量估计量的的分别作为分别作为用方程组的解用方程组的解kk ,).4(2121概率论与数理统计第42页/共61页第四十三页，共62页。，nXXX,21)(

15、XEXXniin 11 XX)(P概率论与数理统计第43页/共61页第四十四页，共62页。.,),( ,21的矩估计量的矩估计量求求的样本的样本是来自总体是来自总体未知未知其中其中上服从均匀分布上服从均匀分布在在设总体设总体baXXXXbabaXn解1()E X,2ba 22()E X ,41222baba 2)()(XEXD 1111,niiAXn令22A,112 niiXn概率论与数理统计第44页/共61页第四十五页，共62页。 )(1222121AAabAba即即解方程组得到(d do)a, b的矩估计量分别为)(32121AAAa ,)(312 niiXXnX)(32121AAAb ,

16、)(312 niiXXnX概率论与数理统计第45页/共61页第四十六页，共62页。.,),( ,)10(), 2 , 1()1(,211的的矩矩估估计计量量求求的的样样本本体体是是来来自自总总未未知知其其中中即即有有分分布布律律服服从从几几何何分分布布设设总总体体pXXXXppkppkXPXnk 解1()E X11)1( kkppk,1p 111,AXp令.1的的矩矩估估计计量量为为所所求求 pXp 概率论与数理统计第46页/共61页第四十七页，共62页。., 0,221222的的矩矩估估计计量量和和求求一一个个样样本本是是又又设设均均为为未未知知和和但但且且有有都都存存在在和和方方差差的的均

17、均值值设设总总体体 nXXXX 解1()E X, ,22 222()() ()E XD XE X 2221AA 令令解方程组得到(d do)矩估计量分别为,1XA 2122AA niiXXn1221.)(112 niiXXn概率论与数理统计第47页/共61页第四十八页，共62页。上例表明(biomng): 总体均值(jn zh)与方差的矩估计量的表达式，不因不同的总体分布而异.的矩估计量的矩估计量即得即得未知未知例例222, ,),( NX,X 2 .)(112 niiXXn一般(ybn)地:,的的均均值值的的矩矩估估计计作作为为总总体体用用样样本本均均值值XXnXnii 11.)(1212的

18、的方方差差的的矩矩估估计计作作为为总总体体用用样样本本二二阶阶中中心心矩矩XXXnBnii 概率论与数理统计第48页/共61页第四十九页，共62页。 矩法的优点(yudin)是简单易行, 缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供(tgng)的信息 . 一般场合下,矩估计量不具有唯一性 .概率论与数理统计第49页/共61页第五十页，共62页。2、 最大似然估计(gj)法(MLE)最大似然法是在总体类型已知条件下使用(shyng)的一种参数估计方法 . 它首先是由德国数学家高斯在1821年提出(t ch)的 ,然而，GaussFisher这个方法常归功于英国统计学家费歇 . 费歇在1922

19、年重新发现了 这一方法，并首先研究了这 种方法的一些性质 .概率论与数理统计第50页/共61页第五十一页，共62页。11122122121112(1),(),.,( , ),.(, )nnnnnniniiiniP Xx XxXxP XXXP Xxp xXx XxXxXXXx xxxp x 设总体 是离散随机变量 概率函数 分布律 为为未知参数设是来自 的样本 如果得到的样本观测值为则其发生的概随机事件发为生率了最大似然原理的直观想法是：在试验中概率最大的事件最有可能出现。因此(ync)，一个试验如有若干个可能的结果A,B,若在一次试验中结果A出现，一般认为A出现的概率最大概率论与数理统计第51

20、页/共61页第五十二页，共62页。似然函数实质(shzh)上是样本的联合分布律 niixpL1; 于是定义(dngy)下面的似然函数概率论与数理统计第52页/共61页第五十三页，共62页。12121212121(2),( ; ),.,(,)(,)(,)(;( ),.,nnnnnniiiiXf xXXXXx xxXXXx xxdx dxdxnf xdxLdx设总体是连续随机变量 概率密度为其中 为未知参数 设是来自 的样本 如果得到的样本观测值为则随机点落在点的邻域 边长分别为的 维立方体 内的概率近似地为所以应取 的估计值使该概率最大由于与 无关 所以只考虑函数121(,.).,;(; )nn

21、iiL x xxf x该函数就是连续随机变量的似然函数概率论与数理统计第53页/共61页第五十四页，共62页。求最大似然估计量的一般(ybn)步骤为： （1）求似然函数(hnsh) L（2）一般(ybn)地，求出 Lln及似然方程 0ln iL mi,.,2 , 1 （3）解似然方程得到最大似然估计值 niixxx,.,21 mi,.,2 , 1 （4）最后得到最大似然估计量 niiXXX,.,21 mi,.,2 , 1概率论与数理统计第54页/共61页第五十五页，共62页。.,), 1(21的最大似然估计量的最大似然估计量求求个样本个样本的一的一是来自是来自设设pXXXXpBXn,2121一

22、个样本值一个样本值的的为相应于样本为相应于样本设设nnXXXxxx解1 , 0,)1(1 xppxXPXxx的分布律为的分布律为似然函数(hnsh)iixnixpppL 11)1()(,)1(11 niiniixnxpp例1概率论与数理统计第55页/共61页第五十六页，共62页。),1ln(ln)(ln11pxnpxpLniinii , 01)(lndd11 pxnpxpLpniinii令令的最大似然估计值的最大似然估计值解得解得 p.11xxnpnii 的最大似然估计量为的最大似然估计量为p.11XXnpnii 这一估计量与矩估计量是相同(xin tn)的.概率论与数理统计第56页/共61页

23、第五十七页，共62页。.,),(22122的最大似然估计量的最大似然估计量和和求求的一个样本值的一个样本值是来自是来自为未知参数为未知参数设总体设总体 XxxxNXn解的概率密度为的概率密度为X,),;()(222221 xexpX 的似然函数(hnsh)为,21),(222)(12 ixnieL例2概率论与数理统计第57页/共61页第五十八页，共62页。,)(21ln2)2ln(2),(ln12222 niixnnL 0),(ln0),(ln222 LL令令,0112 niinx ,0)()(21212222 niixn 概率论与数理统计第58页/共61页第五十九页，共62页。解得解得由由0

24、112 niinx ,11xxnnii 解得解得由由0)()(21212222 niixn ,)(1212xxnnii 为为的的最最大大似似然然估估计计量量分分别别和和故故2 ,X .)(1212XXnnii 它们与相应(xingyng)的矩估计量相同.概率论与数理统计第59页/共61页第六十页，共62页。两种求点估计的方法(fngf): 矩估计(gj)法最大似然估计法 在统计问题中往往先使用最大似然估计法, 在最大似然估计法使用不方便时, 再用矩估计法.);();,()( niinxpxxxLL121似然函数似然函数概率论与数理统计第60页/共61页第六十一页，共62页。感谢您的观看(gunkn)。第61页/共61页第六十二页，共62页。