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1、初中数学专题复习（1） 分类讨论问题【简要分析】在中学数学的概念、定理、法则、公式等基础知识中，有不少是分类给出的，遇到涉及这些知识的问题，就可能需要分类讨论。另外，有些数学问题在解答中，可能条件或结论不唯一确定，有几种可能性，也需要从问题的实际出发进行分类讨论。把被研究的对象分成若干种情况，然后对各种情况逐一进行讨论，最终得以解决整个问题，这种解决问题的方法称为分类讨论思想方法。它体现了化整为零与积零为整的思想，是近年来中考重点考查的思想方法。分类讨论思想方法也是一种重要的解题策略。分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防
2、止漏解要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏【典型考题例析】 例1：已知一次函数与x轴、y轴的交点分别为A、B，试在x轴上找一点P，使PAB为等腰三角形。分析：本题中PAB由于P点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。PAB是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（1）PA=PB；（2）PA=AB；（3）PB=AB。先可以求出B点坐标，A点坐标（9，0）。设P点坐标为，利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出P点坐标有四解，分别为。（不适合条件的解已舍去）点拨：解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧
3、扣条件，分类画出各种符合条件的图形。另外，由点的运动变化也会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。例2：正方形ABCD的边长为10cm，一动点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到A点停止，求点P运动t秒时，P，D两点间的距离。解：点P从A点出发，分别走到B，C，D，A所用时间是 秒， 秒， 秒， 秒，即5秒，10秒，15秒，20秒。（1）当0t5时，点P在线段AB上，|PD|=|P1D|= (cm)（2）当5t10时，点P在线段BC上，|PD|=|P2D|= （3）当10t15时，点P在线段CD上，|PD|
4、=|P3D|=30-2t（4）当15t20时，点P在线段DA上，|PD|=|P4D|=2t-30综上得：|PD|= 说明：本题从运动的观点，考查了动点P与定点D之间的距离，应根据P点的不同位置构造出不同的几何图形，将线段PD放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。例3：如图2-4-2，正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动当DM= 时，ABE与以D、M、N为项点的三角形相似 分析与解答 勾股定理可得AE=当ABE与以D、M、N为项点的三角形相似时，DM可以与BE是对应边，也可以与AB是对应边，所以本题分两种情况：（1）当DM与BE是对应边时，即（2）当
5、DM与AB是对应边时，即 故DM的长是例4：如图2-4-3，在直角梯形ABCD中，ADBC，C=900，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动设运动时间为秒（1） 设BPQ的面积为S，求S与之间的函数关系式（2） 当为何值时，以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形？（2005年湖北省中考改编）分析与解答 （1）如图2-4-3，过点P作PMBC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形，PM=DC=12QB=1
6、6-，（3） 由图可知，CM=PD=2，CQ=，若以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形，可分为三种情况： 由图可知，PQ=BQ在RtPMQ中，解得 若PQ=BQ在RtPMB中，即，=，解得无解，若PB=PQ在RtPMB中，解得不合题意，舍去）综合上面原讨论可知：当秒或秒时，以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形说明 从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证【提高训练】 1已知等腰ABC的周长为18，BC=8
7、若ABCABC，则ABC中一定有一定有条边等于（ ） A7 B2或7 C5 D2或7 （2005年内蒙古自治区呼和浩特市中考题目）2A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过小时两车相距50千米，则的值是（ ）A2或25 B2或10 C10或125 D2或1253已知O的半径为2，点P是O外一点，OP的长为3，那么以P这圆心，且与O相切的圆的半径一定是（ ）A1或5 B1 C5 D1或则 （2005年黑龙江省哈尔滨市中考题目）已知点是半径为的外一点，PA是O的切线，切点为A，且PA=2，在O内作了长为的弦AB，连续PB，则PB的长为 （2005年湖北省黄冈市中考题）5在直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点B（1）苈以原点O这圆心的圆与直线AB切于点C，求切点C的坐标（2）在轴上是否存在点P，使PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由6. 已知一次函数与x轴、y轴的交点分别为A、B，试在x轴上找一点P，使PAB为等腰三角形。【参考答案】1D 2A 3A 4 5.（1） （2）满足条件的点P存在，它的坐标是6 P点坐标有四解，分别为。
初中数学专题复习分类讨论问题(含答案)
