在上面的天气预报电视屏幕上

《在上面的天气预报电视屏幕上》由会员分享，可在线阅读，更多相关《在上面的天气预报电视屏幕上（94页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第94页 共94页第二章 有理数22.1 正数和负数31. 相反意义的量32. 正数与负数43. 有理数62.2 数轴111. 数轴112.在数轴上比较数的大小132.3 相反数182.4 绝对值222.5 有理数的大小比较272.6 有理数的加法321. 有理数加法法则322. 有理数加法的运算律372.7 有理数的减法422.8 有理数的加减混合运算481. 加减法统一成加法482. 加法运算律在加减混合运算中的应用50阅读材料中国人最早使用负数532.9 有理数的乘法551.有理数的乘法法则552有理数乘法的运算律582.

2、10 有理数的除法662.11 有理数的乘方71阅读材料 1000和32.12 科学计数法75阅读材料光年和纳米772.13 有理数的混合运算792.14 近似数和有效数字842.15 用计算器进行数的简单运算90 阅读材料 从结绳计数到计算器小结94复习题96第二章 有理数在上面的天气预报电视屏幕上，我们看到，这一天上海的最低温度是-5，读作负5，表示零下5。这里，出现了一种新数负数. 我们将会看到，除了表示温度以外，还有许多量需要用负数来表示.有了负数，数的家族引进了新的成员，将变得更加绚丽多彩，更加便于应用.本章将引进负数，并研究有理数的大小比较和运算.2.1 正数和负数回忆我们已经学过

3、哪些数？它们是怎样产生和发展起来的？我们知道，为了表示物体的个数或事物的顺序，产生了数1，2，3，.; 为了表示“没有”，引入了数0；有时分配、测量的结果不是整数，需要用分数(小数)表示. 总之，数是为了满足生产和生活的需要而产生发展起来的.1. 相反意义的量在日常生活中，常会遇到这样的一些量：例1 汽车向东行驶3公里和向西行驶2公里；例2 温度是零上10和零下5；例3 收入500元和支出237元; 例4 水位升高5.5米和下降3.6米等等.例5买进100辆自行车和卖出20辆自行车。这里出现的每一对量，虽然有着不同的具体内容，但有着一个共同特点，它们都是具有相反意义的量，向东和向西、零上和零下

4、；收入和支出;升高和下降都具有相反的意义.这些例子中出现的每一对量，有什么共同特点?你能再举出几个日常生活中的具有相反意义的量吗?2. 正数与负数只用原来的那些数很难区分量的相反意义. 例如,零上5用5表示, 那么零下5就不能仍用同一个数5来表示.在天气预报的电视屏幕上我们发现，零下5可以用-5来表示. 一般地，对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数表示，把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数(零除外)前面放上一个“-”(读作负)号来表示.就拿温度为例，通常规定零上为正，于是零下为负，零上10就用10表示，零下5用 -5来表示.在例1中，如果规定向东为正

5、，那么向西为负.汽车向东行驶3公里记作3公里，向西2公里应记作-2公里.在例3中，如果规定收入为正，收入500元记作500元，支出237元应记作什么?在例4和例5中，我们如何表示这些具有相反意义的量呢？为了表示具有相反意义的量, 我们引进了象-5,-2,-237,-3.6这样的数, 这是一种新数,叫做负数(negative number). 过去学过的那些数(零除外),如10,3,500,5.5等,叫做正数(positive number). 正数前面有时也可放上一个+号, 如5可以写成+5, +5和5是一样的. 注意 0既不是正数,也不是负数.练习1. 将你所举出的具有相反意义的量用正数或负

6、数来表示. 2.在中国地形图上，在珠穆朗 玛峰和吐鲁番盆地处都标有表明它们的高度的数，如图所示.这个数通常称为海拔高度，它是相对于海平面来说的.请说出图中所示的数8844和-155表示的实际意义。海平面的高度用什么数表示? 3.下列各数中,哪些是正数?哪些是负数?+6；-21；54；0；-3.14；0.001；-9994.“一个数，如果不是正数，必定就是负数.”这句话对不对?为什么?3. 有理数引进了负数以后，我们学过的数就可以分为以下几类： 正整数，如1，2，3，.;零: 0;负整数, 如-1,-2,-3,.;正分数, 如, ,4.5(即);负分数, 如-,-0.3(即),.正整数、零和负整

7、数统称整数(integers)，正分数和负分数统称分数(fractions).整数和分数统称有理数(rational numbers).我们可以作出如下的分类表：把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集(set of numbers).所有的有理数组成的 数集叫做有理数集.类似地，所有的整数组成的数集叫做整数集，所有的正数组成的数集叫做正数集，所有的负数组成的数集叫做负数集，如此等等.例6 把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里： -18, , 3.1416, 0, 2001, , -0.142857, 95% 正整数 负整数 整数集 有理数集解, 3,2001, 95% -18, ,

8、-0.142857 正整数 负整数18，0，2001 -18, , 3.1416, 0, 2001, , -0.142857, 95% 整数集 有理数集练习1. 请说出两个正整数, 两个负整数, 两个正分数,两个负分数.它们都是有理数吗?2. 有理数集中有没有这样的数,它既不是正数,也不是负数? 如有,这样的数有几个?3. 下面两个圆圈分别表示正数集合和整数集合,请在这两个圆圈内填入六个数,其中有三个数既在正数集合内, 又在整数集合内.这三个数应填在哪里? 你能说出这两个圆圈的重叠部分表示什么数的集合吗?正数集 整数集习题2.11. 下列各数,哪些是整数,哪些是分数? 哪些是正数,哪些是负数?

9、1， -0.10， ，-789， 325， 0，-20， 10.10， 1000.12.把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里：, 0.618, -3.14, 260, -2001, , , -5%整数集 分数集负数集 有理数集3.下面的大括号表示一些数的集合,把第1、2两题中的各数填入相应的大括号里:正整数集: 负整数集: 正分数集: 负分数集: 4观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的三个数，你能说出第100个数、第2000个数、第2001个数是什么吗?(1)1，-1，1，-1，1，-1，1，-1， ， ， ，.；(2)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ，

10、， ，.；(3)-1,-, , , ,.2.2 数轴1. 数轴我们在小学学习数学时，就能用直线上依次排列的点来表示自然数，它帮助我们认识了自然数的大小关系.如图2.2.1，温度计上有刻度，可以方便地读出温度的度数，并且可以区分出是零上还是零下。与温度计相仿，我们可以在一条直线上规定一个正方向，就可以用这条直线上的点表示正数、零和负数.(图2-2-1) 体做法如下：画一条直线(通常画成水平位置)，在这条直线上任取一点作为原点，用这点表示.规定直线 图2-2-1上从原点向右为正方向,画上箭头,那么相反方向为负方向. 再选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3

11、，；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，(图2-2-2). 图2-2-2概括象这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 .在数轴上画出表示有理数的点，可以先由这个数的符号确定它在数轴上原点的哪一个方向，再在相应的方向上确定它与原点相距几个单位长度.例1. 画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：4，-2，-4.5， ，0 .解 如图2-2-3所示图2-2-3练习 1.下列各图表示数轴是否正确?为什么? 2.指出数轴上点A、B、C、D分别表示什么数. 3.画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：-1.8,0,-3.5, ,再按数轴上从左到右的顺序，将这些数重新

12、排成一行.2.在数轴上比较数的大小在小学里，我们已经学会了比较两个正数的大小，那么，引进负数以后，怎样比较任意两个有利数的大小呢？例如，1与-2那个大？-1与0哪个大？-3-4哪个大？探索（1） 任意写出两个正数，在数周上画出表示它们的点，较大的数与较小的数的对应点的位置有什么关系？（2） 1和-2那个温度高？-1与0哪个温度高？这个关系在温度计上表现为怎样的情况？把温度计横过来放，就像一条数轴，能否从中发现在数轴上怎样比较两个有理数的大小？概括我们发现，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.根据有理数在数轴上表示的相对位置，在应用中我们也常说：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数

13、.例2 将有理数3，0，-4按从小到大顺序排列，用“”号连接起来.解 正数3，由正、负数大小比较法则，得-403 .例3 比较下列各数的大小： -1.3，0.3，-3，-5 .解 将这些数分别在数轴上表示出来(图2-2-4)： 图2-2-4所以 -5-3-1.30.3练习1.判断下列各式是否正确: 2.9-3.1； 0-14； -10-9； -5.4-4.52.用“”号或“”号填空： 3.6 2.5； -3 0； -16 -1.6； +1 -10； -2.1 +2.1； -9 -7习题2.21. 指出数轴上A、B、C、D各点所表示的数：2. 分别画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点： -2

14、.1，-3，0.5，； -50，250，0，-400 .3. 指出在数轴上表示下列各数的点分别位于原点的哪边，与原点距离多少个单位长度： -3，4.2，-1， .4. 如下图，一个点从数轴上原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度. 可以看出，终点表示数-2.已知A、 B是数轴上的点.(1)如果点A表示 数-3，将A向右移动7个单位长度，那么终点表示数 ；(2)如果点A表示数3， 将A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示数 ；(3)如果将点B向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，终点表示的数是0，那么点B所表示的数是 .5. 比较下列每对数的大小：

15、 (1)-8，-6； (2)-5, 0.1； (3,0； (4)-4.2；-5.1； (5) , ； (6) ,0 ； 6. 画出数轴，把下列各组数分别在数轴上表示出来，并按从小到大顺序排列，用“0.01，所以 -1 -0.01 .(2) 化简 -|-2|=-2，因为负数小于0，所以-|-2| 0 . (3) 这是两个负数比较大小，因为|-0.3|=0.3，且 0.3 ， 所以 (4) 分别化简两数，得因为正数大于负数，所以 练习1. 用“”填 空：(1)因为 ,所以 ； (2)因为 |-10| |-100| ；所以 -10 -100 .2. 判断下列各式是否正确：(1) (2) (3) (4

16、) 3. 比较下列各对数的大小；(1) 与(2) 与-0.6184. 回答下列问题：(1) 大于-4的负整数有几个?(2) 小于4的正整数有几个?(3) 大于-4且小于4的整数有几个?习题 2.5 1. 比较下列每对数的大小：(1) 与 ;(2)-9.1与-9.099； (3)-8与 |-8| ； (4)-|-3.2|与-(+3.2).2. 将有理数0，-3.14， ，2.7，-4，0.14按 从小到大的顺序排列，用“”号连接起来.3. 写出绝对值小于5的所有整数，并在数轴上表示出来.4. 回答下列问题：(1) 有没有最小的正数?有没有最大的负数?为什么?(2) 有没有绝对值最小的有理数?把它

17、写出来.2.6 有理数的加法1. 有理数加法法则问题小明在一条东西向的跑道，先走了20米，又走了30米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，相距多少米?我们知道，求两次运动的总结果，可以用加法来解答.可是上述问题不能得到确定答案，因为小明最后的位置与行走方向有关.试验我们必须把问题说得明确些，并规定向东为正，向西为负.(1)若两次都是向东走，很明显，一共向东走 了50米，写成算式就是(+20)+(+30)=+50，即这位同学位于原来位置的东方50米处.这一运算在数轴上表示如图2-6-1. 图2-6-1(2)若两次都是向西走，则他现在位于原来位 置的西方50米处，写成算式就是(-20)+(-3

18、0)=-50 . (3)若第一次向东走20米，第二次向西走30米，我们先在数轴上表示如图2-6-2. 图2-6-2写成算式是(+20)+(-30)=-10，即这位同学位于原来位置的西方10米处. (4)若第一次向西走20米，第二次向东走30米，写成算式是(-20)+(+30)=( ).即这位同学位于原来位置的( )方( )米处.后两种情形中两个加数符号不同(通常可称异号)，所得和的符号似乎不能确定，让我们再试几次(下式中的加数不仿仍可看作运动的方向和路程)：(+4)+(-3)=( )；(+3)+(-10)=( )；(-5)+(+7)=( )；(-6)+ 2 = ( ).再看两种特殊情形： (5

19、)第一次向西走了30米，第二次向东走了30米.写成算式是(-30)+(+30)=( ). (6)第一次向西走了30米，第二次没走.写成算式是(-30)+ 0 =( ).探索从上述（1）-（6）中所写出的算式，你能总结出一些规律？概括综合以上情形，我们得到有理数的加法法则：1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2. 绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3. 互为相反数的两个数相加得0；4. 一个数同0相加，仍得这个数.注意一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，必须分别确定和的符号和绝对值.这与小学阶段学习加法运算不同.

20、例1 计算：(1) (+2)+(-11);(2) (+20)+(+12);(3) ;(4) (-3.4)+4.3解(1) (+2)+(-11)=-(11-2)=-9;(2) (+20)+(+12)=+(20+12)=+32=32;(3) ;(4) (-3.4)+4.3=+(4.3-3.4)=0.9练习1. 填 表：2. 计算：(1) 10+(-4);(2) (+9)+7;(3) (-15)+(-32);(4) (-9)+0;(5) 100+(-199);(6) (-0.5)+4.4;(7) +(1.25);(8)3. 填 空：(1)( )+(-3)=-8； (2)( )+(-3)= 8； (3

21、)(-3)+( )=-1；(4)(-3)+( )= 0 .4.两个有理数相加，和是否一定大于每个加数?2. 有理数加法的运算律在小学里我们知道，数的加法满足交换率，例如有5+3.5=3.5+5还满足结合律，例如有（5+3.5）+2.5=5+（3.5+2.5）引进了负数以后，这些运算率是否还成立？也就是说，上面两个等式中，将5、3.5和2.5换成任意的有理数，是否依然成立？ 探索（1） 任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列和内，并比较两个运算结果： + 和 + （2）任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列、和内，并比较两个运算结果： ( + )+ 和 +( + ).

22、概括有理数的加法仍满足加法交换率和结合律。加法交换率：两个数相加，交换加数的位置，和不变。a+b=b+a加法结合律:三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.( a + b )+ c = a + ( b + c )这样，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的几个数相加，使计算简化.例2 计算：(1) (+26)+(-18)+5+(-16)(2) 解 (1)(+26)+(-18)+5+(-16) =(26+5)+(-18)+(-16) = 31+(-34)= -(34-31)= - 3 .(2) =例3 10筐苹果，以每筐30千克为准，超过的千克数记作正数，不足

23、的千克数记作负数，记录如下：2，-4，2.5，3，-0.5，1.5，3，-1，0，-2.5.求这10 筐苹果的总重量.解 2+(-4)+2.5+3+(-0.5)+1.5+3+(-1)+0+(-2.5) = (2+3+3)+(-4)+2.5+(-2.5)+(-0.5)+(-1)+1.5 =8+(-4)= 4 . 3010 + 4 = 304 .答：10筐苹果总重量是304千克.练习1. 计算：(1) (-7)+(+10)+(-11)+(-2);(2) 2+(-3)+(+4)+(-5)+6; (3)2. 某天气温从早晨-3到中午升高了5，到晚上降低了3，到午夜又降低了4.求午夜时的温度.习题 2.

24、61. 计算：(1)(-12)+(+3)； (2)(+15)+(-4)；(3)(-16)+(-8)； (4)(+23)+(+24)；(5)(-102)+132； (6)(-32)+(-11)；(7)(-35)+0； (8)78+(-85).2. 计算：(1) (-0.9)+(+1.5);(2) (+6.5)+3.7;(3) 1.5+(-8.5);(4) (-4.1)+(-1.9);(5) ;(6)3. 计算：(1) (+14)+(-4)+(-2)+(+26)+(-3);(2) (-83)+(+26)+(-41)+(+15);(3) (-1.8)+(+0.7)+(-0.9)+1.3+(-0.2)

25、;(4) .4. 列式并计算：(1)求+1.2的相反数与-3.1的绝对值的和；(2) 与的和的相反数是多少? 5. 利用有理数加法解下列各题：(1) 存折中原有550元，取出260元，又存入150元，现在存折中还有多少钱?(2) 潜水艇原停于海面下800米处，先上浮150米，又下潜200米.这时潜水艇在海面下多少米处?(3) 仓库内原存某种原料3500千克，一周内存入和领出情况如如下(存入为正，单位千克)： 1500，-300，-650，600，-1800，-250，-200.问第七天末仓库内还存这种原料多少千克?(4) 某公路养护小组乘车沿东西向公路巡视维护.某天早晨从A地出发，晚上到达B地

26、.约定向东为正方向，行走记录如下(单位千米)：+18，-9，+7，-14，-6，+13，-6，-8.问B地在A地何方，相距多少千米?若汽车行驶每千米耗油a升，求该天自出发至回到A地共耗油多少?2.7 有理数的减法做一做珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地的海拔高度分别是8844米和-155米，问珠穆朗玛峰比吐鲁番盆地高多少？这一问题通常可列出算式8844-（-155）那么，怎样进行有理数的减法呢？我们不妨先看一个简单的问题：计算 (-8)-(-3)根据减法的意义，就是求一个数?使( ? )+(-3)=-8.根据有理数加法运算，有(-5)+(-3)=-8，所以 (-8)-(-3)=-5. 试一试填空：(-8)

27、+( )=-5，容易得到(-8)+(+3)=-5. 比较、两式，我们发现：-8“减去-3”与“加上+3”结果是相等的.即(-8)-(-3)=(-8)+(+3)概括从上述结果我们可以发现：减去一个数，等于加上这个数的相反数.这就是 有理数减法法则。例1 计算：(1)(-32)-(+5)； (2)7.3-(-6.8)；(3)(-2)-(-25)； (4)12-21 .解 减号变加号(1)(-32) -(+5)=(-32)+(-5)=-37. 减数变相反数 减号变加号 (2)7.3-(-6.8)=7.3 + 6.8 =14.1 .减数变相反数(注意：两处必须同时改变符号.)(3)(-2)-(-25)

28、=(-2)+25=23 .(4)12-21 = 12+(-21)= -9 .练习1. 下列括号内各应填什么数? (1)(+2)-(-3)=(-2)+( )； (2)0 - (-4)= 0 +( )； (3)(-6)- 3 =(-6)+( )； (4)1 - (+39) = 1 +( ).2. 计算：(1) (+3)-(-2);(2) (-1)-(+2);(3) 0-(-3);(4) 1-5;(5) (-23)-(-12);(6) (-1.3)-2.6;(7) ;(8)3. 填空：(1)温度3比-8高 ；(2)温度-9比-1低 ；(3)海拔高度-20m比-180m高 ；(4)从海拔22m到-50

29、m，下降了 .习题 2.71. 计算：(1)(-14)-(+15)； (2)(-14)-(-16)；(3)(+12)-(-9)； (4)12-(+17)；(5)0-(+52)； (6)108-(-11).2. 计算：(1) 4.8-(+2.3);(2) (-1.24)-(+4.76);(3) (-3.28)-1;(4) ;(5) ;(6)3. 计算：(1) (-4)-(+7)-(-5)；(2)3-(-3)-12；(3)8-(9-10)；(4)(3-5)-(6-10).4. 某地连续五天内每天的最高气温与最低气温记录如下，哪一天的温差(最高气温与最低气温的差)最大，哪天的温差最小?5.某一矿井的

30、示意图如右：以地面为准A点的高度是4.2米，B、C两点的高度分别是15.6米与30.5米。A点比B点高多少？比C点呢？6.求出下列每对数在数轴上对应点之间的距离。(1) 3与2.2;(2) 与；(3) 4与4.5;(4) 与。你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系吗？2.8 有理数的加减混合运算1. 加减法统一成加法算式(-8)-(-10)+(-6)-(+4)是有理数的加减混合运算，可以按照运算顺序，从左到右逐一计算.通常也可以应用有理数的减法法则，把它改写成(-8)+(+10)+(-6)+(-4)，统一为只有加法运算的和式.在一个和式里，通常把各个加号省略不写.如上式可写成省略加号的和的形

31、式(和式中第一个加数同时省略括号，若是正数，正号也省略不写.)： -8 + 10 - 6 - 4 .这个式子仍看作和式，读作“负8、正10、负6、负4的和”.按运算意义也可读作“负8加10 减6减4”. 例1 把写成省略加号的和的形式，并把它读出来.解=读作：“的和”。练习1.把下列各式写成省略加号的和的形式，并说出它们的两种读法. (1)(-12)-(+8)+(-6)-(-5)；(2)(+3.7)-(-2.1)-1.8+(-2.6).2.按运算顺序直接计算：(1) (-16)+(+20)-(+10)-(-11);(2)2. 加法运算律在加减混合运算中的应用联想在有理数加法运算中，通常适当应用

32、加法运算律，可使计算简化.有理数的加减混合运算统一成加法后，一般也应注意运算的合理性.例1 计算：（1） 243.2-16-3.5+0.3;（2） 解 (1)因为原式表示-24，3.2，-16，-3.5，0.3的和，所以可将加数适当交换位置,并作适当的结合进行计算，即-24+3.2-16-3.5+0.3=-24-16+3.2+0.3-3.5=-40 .(2) =练习1. 下列交换加数位置的变形是否正确?(1) 1-4+5-4=1-4+4-5 ;(2) 1-2+3-4=2-1+4-3;(3) 4.5-1.7-2.5+1.8=4.5-2.5+1.8-1.7;(4) 2. 计算：(1) 0-1+2-

33、3+4-5;(2) 4.2+5.7-8.4+10.2; (3) 30-11-(-10)+(-12)+18;(4) 习题 2.81. 按运算顺序直接运算：(1) (-7)-(-10)+(-8)-(+2);(2) ;(3) ;(4) (-1.2)+1-(-0.3)2.将下式写成省略加号的和的形式，并按括号内要求交换加数的位置：(1)(+16)+(-29)-(-7)-(+11)+(+9) (使符号相同的加数在一起)；(2)(-3.1)-(-4.5)+(+4.4)-(+1.3)+ (-2.5)(使和为整数的加数在一起)；(3) (使分母相同或便于通分的加数在一起)；(4) (使计算简便) 3. 计算：

34、4. 当a=-2.1，b=1.2，c=-3.4时，求下列各式的值： (1)a+b-c； (2)(b-a)-(c+b).阅读材料中国人最早使用负数九章算术和我国古代的“正负术”九章算术是中国古典数学最重要的一部著作。这部著作的成书年代，根据现在的考证，至迟在公元前一世纪，但其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。九章算术采用问题集的形式，全书246个问题，分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、赢不足、方程、勾股等九章，其中所包含的数学成就是十分丰富的。引进和使用负数是九章算术的一项突出的贡献。在九章算术的“方程术”中，当用遍乘直除算法消元时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，就需要引进负数九章

35、算术在方程章中提出了如下的“正负术”： “同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”这实际上就是正负术的加减运算法则。“同名”、“异名”分别指同号、异号；“相益”、“相除”分别指两数的绝对值相加、相减。前四句说的是正负数和零的减法法则，后四句说的是正负数和零的加法法则。用符号表示，设ab0，这八句话可以表示为： (a)(b)(ab)；(a)(b)(ab)；0aa；0(a)a；(a)(b)(ab),(b)(a)(ab)；(a)(b)(ab)；0aa；0(a)a。不难看出，所有这些是与我们所学的有理数加减法法则是完全一致的。九章算术以后，魏晋时期的

36、数学家刘徽对负数的出现就作了很自然的解释：“两算得失相反，要令正负以名之”，并主张在筹算中用红筹代表正数，黑筹代表负数。在国外，负数的出现和使用要比我国迟好几百年，直到七世纪时印度数学家才开始使用负数。而在欧洲，直到十六世纪韦达的著作还拒绝使用负数。2.9 有理数的乘法1.有理数的乘法法则问题1 一只小虫沿一条东西向的跑道，以每分钟3米的速度向东爬行2分钟，那么它现在位于原来的位置的那个方向，相距多少米?我们知道，这个问题可用乘法来解答：326，即小虫位于原来位置的东方6米处.注意： 这里我们规定向东为正，向西为负。如果上述问题变为：问题2 小虫向西以每分钟3米的速度爬行2分钟，那么结果有何变

37、化?这也不难，写成算式就是：(3)26，即小虫位于原来位置的西方6米处。比较上面两个算式，有什么发现?当我们把“326”中的一个因数“3”换成它的相反数“3”时，所得的积是原来的积“6”的相反数“6”，一般地，我们有：两数相乘，若把一个因数 换成它的相反数，所得的积是原来的积的相反数.试一试：3(2)?与326相比较，这里把一个因数“2”换成了它的相反数“2”，所得的积是原来的积“6”的相反数“6”，即3(2)6.再试一试：(3)(2)?把上式与(3)26对比，这里把一个因数“2”换成了它的相反数“2”，所得的积是原来的积“6”的相反数“6”，即(3)(2)6此外，如果有一个因数是0时，所得的

38、积还是0，如(3)00、020.概括：综合以上各种情况，我们有有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对植相乘.任何数同0相乘，都得0.例如：(5)(3)同号两数相乘(5)(3)( )得正5315把绝对值相乘所以 (5)(3)15.再如：(6)4异号两数相乘(6)4( )得负6424把绝对值相乘所以 (6)424.例1 计算：(1) (5)(6);(2)解(1) (5)(6)=30;(2)练习1.确定下列两数的积的符号:(1) 5(3)；(2) (3)3;(3) (2)(7)；(4)2.计算:(1) 3(4)；(2) (5)2；(3) (6)2；(4) 6(2)；(5) (6)0

39、；(6) 0(6)；(7) (4)0.25;(8) (0.5)(8)；(9) ;(10) ;(11) (5)2；(12) 2(5)3.计算:(1) 3(1)； (2) (2)(5)(1)；(3) ； (4)0(1)；(5) (6)1； (6) (6)21；(7) 01； (8) (8)1(1).2有理数乘法的运算律概括有理数的乘法仍满足交换率和结合律。乘法交换律： 两个数相乘，交换因数的位置，积不变。abba.乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相积乘，或者先把后两个数相乘，积不变.(ab)ca(bc).根据乘法交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其

40、中的几个数相乘.例2 计算：(-10) 0.16解(-10) 0.16= (-10) 0.1 = (-1) 2 = - 2能直接写出下列各式的结果吗?(-10) 0.16 = (-10) (-0.1)6 = (-10) (-0.1)( -6 )= 观察以上各式，能发现几个正数与负数相乘，积的符号与各因数的符号之间的关系吗?一般地，我们有几个:不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.几个不等于0的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘.思考三个数相乘，积为负，其中可能有几个因数为负数？四个数相乘，积为正，这四个数中是否可能有负数？

41、试一试：几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.例3 计算:(1) ;(2) 解(1) = = 8+3=11(2) =练习1.计算：(1) (2) (3) 2.计算：(1) (2) (3) (4) 小学里我们还学过乘法分配律，例如6*（1/2+1/3）=6*1/2+6*1/3概括有理数的乘法仍满足分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.a(bc)abac. 例4 计算：(1) ;(2) 解(1) ;(2)例5 计算：(1) 4(-12)+(-5)(-8)+16(2)解(1) 4(-12)+(-5)(-8)+16=8(-6+5+2)=81=8(2)由上面的例子可

42、以看出，应用运算律，有时可使运算简便. 也有时需要先把算式变形，才能用分配律，如例4(2)，还有时需反向运用分配律，如例5(1).练习1.计算:(1) (2) ;(3) ;(4) 2.计算:(1) ;(2) 习题2.91.计算(1)(6)(7)； (2)(5)12；(3)(26)(1)； (4)(25)14.2.计算：(1)0.5(0.4)； (2)10.50.2；(3)(100)(0.001)；(4)4.8(1.25)；(5)7.60.02； (6)4.5(0.32).3.计算：(1) ;(2) ;(3) ;(4) 4.计算：(1)2(3)(4); (2)6(7)(5);(3)100(1)(

43、0.1);(4)(8)(1) 0.5;(5)21(71)043;(6)9(11)12(8).5.计算：(1) ;(2) (3) (4) 读一读队列操练中的数学趣题一次团体操排练活动中，某班45名学生面向老师站成一列横队.老师每次让其中任意6名学生向后转(不论原来方向如何)，能否经过若干次后全体学生都背向老师站立?如果能够的话请你设计一种方案，如果不能够，请说明理由.问题似乎与数学无关，却又难以入手.注意到学生站立有两个方向，与具有相反意义的量有关，向后转又可想象为进行一次运算，或者说改变符号.我们能否设法联系有理数知识进行讨论?让我们再发挥一下想象力：假设每个学生胸前有一块号码布，上写“+1”

44、，背后有一块号码布，上写“-1”，那么一开始全体学生面向老师，胸前45个+1的“乘积”是+1.如果最后全部背向老师，则45个-1的“乘积”是-1.再来观察每次6名学生向后转进行的是什么“运算”.我们也设想老师不叫“向后转”，而称这6名学生对着老师的数字都“乘以-1”.这样问题就解决了：每次“运算”乘上了6个-1，即乘上了+1，故45个数的乘积不变(数学上称不变量)，始终是+1.所以要乘积变为-1是不可能的.一个难题，被有理数的简单运算别出心裁地解决了.有理数的知识多么有用！可同学们的想象力更重要.试一试将一根绳子两端分别涂上红色和白色，再在中间随意涂上若干个白色或红色的圆点.在这些圆点中间剪开

45、，这样所得到的各小段两端都有颜色.试说明两端颜色不同的小段数目必是奇数. 2.10 有理数的除法回忆小学里学过的除法的意义是什么?它与乘法有什么关系？试一试计算： (6)2( ?) 根据除法的意义，这就是要求一个数“？”，使（？）2=(6)根据有理数的乘法运算，有2(3)6，所以，(6)2(6).这表明除法可以转化为乘法来进行.做一做 填空：8(2)8( );6(3)6( );6( )6;6( )6.做完上述填空后，你有什么发现？小学里我们学过倒数的意义，对于有理数仍然有：想一想乘积是1的两个数互为倒数(reciprocal).例如，2与、()与()分别互为倒数.这样，又历数的处罚都可以转化为

46、乘法： 除以一个数等于乘上这个数的倒数.注意：0不能作除数. 例1 计算:(1) ;(2) ;(3) 解(1) ;(2) ;(3)因为除法可化为乘法，所以有理数的除法有与乘法类似的法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0. 例2 化简下列分数：(1) (2) 解(1) (2) 例3 计算:(1) ; (2) 解(1) (2) 练习1.写出下列各数的倒数:(1) ; (2) ; (3) 5;(4) 1; (5) 1; (6) 0.22.计算:(1) ; (2) (3) (4) (5) (6) 3.计算:(1) (2) 4. 下列计算正确吗？为什么？习

47、题2.101.写出下列各数的倒数:(1) 15; (2) 0.25; (3) ; (4) 2.计算:(1) (-42) 12;(2) ;(3) ;(4)(5)(6)(7)(8)3.化简下列分数:(1) ; (2) ; (3) ; (4) 4.计算:(1) ;(2) (3) 5.(1)把图中第一个圈里的每一个数，各乘以2,请写出第二个圈里对应的数.(2)把图中第一个圈里的每一个数，各除以(2) , 请写出第二个圈里对应的数.(第5题) 2.11 有理数的乘方在小学已经学过，记作，读作a的平方(或 a的二次方)；aaa记作，读作a的立方(或a的三次方).一般地，我们有：n个相同的因数a 相乘，即aaa，记作n个 例如，22223；(2)(2)(2)(2)(2)4. 这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方(involution)，乘方的结果叫做幂(power)